函数导数中的恒成立问题解题技巧

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1、精选优质文档-倾情为你奉上临沂市高三二轮会材料 函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.一、利用函数的性质解决恒成立问题例1 已知函数 (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； (2)若函数在区间上不单调，求的取值范围解：(1)由题意得 又 ，解得，或 (2)函数在区间不单调

2、，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得 所以的取值范围是.【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题.二、利用数形结合思想解决恒成立问题例2 已知是函数的一个极值点（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若直线与函数的图象有个交点，求的取值范围【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求的值；（2）求函数的单调区间借助可以求出单调递增区间，可以求出单调递减区间；（3）根据函数的单调性可以求

3、出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出的取值范围.解：（1）因为，所以，因此（2）由（1）知，当时，；当时，所以的单调增区间是，的单调减区间是（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.三、分离参数解决恒成立问题例3 已知函数，(1)当时，判断在定义域上的单调性；(2)若在上恒成立，求的取值范围【方法指导】（1

4、）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决解：(1)由题意：的定义域为，且，故在上是单调递增函数(2) 令，在上是减函数，即，在上也是减函数， 令得，当在恒成立时，的取值范围是【方法点评】分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.四、利用两个函数的最值解决恒成立问题 例4 2014新课标全国卷 设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，

5、)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e，故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x，所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.五、不等式中的恒成立问题 例5 (2016山东)已知.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明对于任意的恒成立解：(1)的定义域为，当时

6、，若，则单调递增，若，则单调递减当时，.(i)当时，.当或时，单调递增当时，单调递减(ii)当时，在区间内，单调递增(iii)当时，.当或时，单调递增，当时，单调递减综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明：由(1)知，当时，设，则由，可得，当且仅当时取得等号又.设，则在上单调递减因为，所以，使得当时，时，.所以h(x)在上单调递增，在上单调递减由，可得，当且仅当时取得等号所以，即对于任意的成立六、利用恒成立问题求参数的取值范围例6 (2015

7、北京)已知函数 。(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)求证：当 时， ；(3)设实数k使得 对 恒成立，求k的最大值。解：(1) ，所以切线方程为(2)原命题造价于任意 ，设函数 ， 。当 时， ，函数 在 上是单调递增函数。 ，因此任意。(3)由(2)知，当时，f(x)k对x(0，1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减故当0x时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立综上可知，k的最大值为2.【方法总结】研究不等式在区间上恒成立，求其中参数的取值范围问题，一般有两种方

8、法：直接转化为研究带参数的动态函数在区间上的最小值由于函数带有参数，它在区间上的单调性会由于参数的不同而变化，因此需要分类讨论由于函数的单调性和其导函数在区间上的零点个数有关，问题最后都归结为就函数在区间上的零点个数进行分类讨论问题(2)中的方法一就是遵循这一思路；是将不等式作变形，将参数和变量进行分离，将不等式转化为(或)，利用极值原理，将问题转化为研究函数在区间上的最大值（或最小值）的问题七、变形构造函数解答恒成立问题 例7 已知函数(1)求证在区间(0，1)上单调递减；(2)若不等式是自然对数的底数）对任意的都成立，求实数的最大值【方法指导】(1)这是一个函数的单调性问题，所以用导数法，即证明函数在区间(0，1)上的导函数恒小于零；(2)先将不等式两边取自然对数，转化为恒成立，再用导数法求函数在上的最小值即可解：(1)， 设函数，当时，所以函数在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减 (2)不等式等价于不等式，由知， 设函数， ， 设函数， ，由(1)知时，所以函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以 故函数在上的最小值为，即，所以的最大值为 专心-专注-专业