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1、浅谈微积分在初等数学中的应用摘要：解决中学数学问题时运用微积分知识，能够达到使解法简便、研究深入的效果。本文通过举例，具体说明了微积分在初等数学尤其是在判断初等函数的单调性、求函数极值、不等式的证明、讨论方程的根、求曲线的切线、研究函数的性态与作图等方面的应用。关键词：微积分；初等数学；应用。初等数学和高等数学有本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学, 用高等数学方法解决中学数学问题，能够拓广解题思路和技巧,并提高教师专业水平，从而促进中学数学教学。运用微积分知识解决中学数学问题，能够达到使解法简便、研究深入的效果。一、微分的应用1、 用微分法判断初等函数的单调性用初等方法研究初等函数的单
2、调性，多是用定义或从函数图像加以判断的。但对于一些复杂的函数，用定义来判断其单调性，并不是一件容易的事；对于一些用初等方法画不出图像的函数，要用函数图像研究它的单调性，更加无从谈起。而微分中值定理却给出了一个研究函数单调性的高等方法。有了微分中值定理对初等函数单调性的研究，求可导函数的单调区间，便可以通过求导的方法来实现，与初等数学方法比较，这种方法既显得高出一等，又可以解决一些用初等数学的方法无法解决的较为复杂的函数单调性问题。例1 确定函数的单调区间。解：显然，的定义域为，且。令解得：或，这两个根把定义域分为三个区间，即 和时，时，时，。由以上推论可知：函数在和上是增函数，在上是减函数。例
3、2 已知函数,其中,为自然对数的底数，讨论函数的单调性。解：.当时，令，则, 从而在上单调递增;令，则, 从而在上单调递减. 当时,令，则, 从而在上单调递增;令，则或, 从而在上单调递减， 在上单调递减.2、 用微分法求函数极值 初等数学中,经常用不等式、配方等方法求极值.这些方法的特点是学生熟悉,易于掌握.但这些方法往往有两个缺点:一是技巧性要求较高,特别是对较复杂的问题;二是适用面较窄,只能解一些较特殊的问题,我们可以按下法求已知函数的极大值与极小值:首先写出,然后求使此导数为零的点;其次研究这些值中哪些是极大值点哪些是极小值点,通常观察的正负号,我们不仅能够确定极植,还可作出函数图象的
4、形状.以上方法指明了取极值的值;为了获得自身相应的值,只需将求得的值代入即可,用微积分方法求极值,有固定程序可循,技巧性要求低一些,适用也广一些.例3 求的极值,解：，令解得，令令，因此, 具有极大值,极小值.反思:此题若用初等数学的解法解则较为困难.例4 已知函数在处取得极值，讨论和是函数的极大值还是极小值。解：，依题意，即，解得。所以，令若则故在上是增函数，在上是增函数。若上是减函数。所以例5 已知函数,其中,为自然对数的底数，求函数在区间0,1上的最大值.解：由例2得，当时，在上单调递增，则在区间0,1上的最大值当时,在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.则当时, 在区间0,1上的最
5、大值，当时, 在区间0,1上的最大值.综上 当时, 在区间0,1上的最大值当时, 在区间0,1上的最大值.当时, 在区间0,1上的最大值.3、 用微分法求曲线的切线在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但与抛物线也只有一个交点，但却不是的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。切线的定义：设是曲线上一定点，是该曲线上的一动点，从而有割线，令沿着曲线无限趋近于，则割线的极限位置就是曲线在的切线（如果极限存
6、在的话）。这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线。导数的几何意义就是曲线在点的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。例6 求曲线在时的切线方程。解： 当时，又当时，当时，所求的切线方程为：即反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线的切线定义都难得给出，更别说讨论与的切线有关的问题了。例7 已知函数在处取得极值，过点作曲线的切线，求此切线方程。解：由例4，曲线方程为，点不在曲线上。设切点为则点的坐标满足，由于，故切线的方程为.注意到
7、点在切线上,有化简得,解得.因此,切点为,切线方程为.4、 用微分法证明不等式不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，往往需要较高的技巧。利用微积分的知识和方法，判断函数的增减性、求函数极值，可简化证明过程，降低技巧性。例8 证明不等式： 证明： 设，所以递增，又，故，即反思：利用函数单调性证明不等式。例9 证明：当时，. 证明： 令 则= 令 且当时,; 当时, ,所以是极大值也是最大值,从而得:,即当时，.反思：利用函数极值证明不等式。5、 用微分法讨论方程的根例10 试证：当时，方程有唯一解.证明： 设,当时,因为,所以由连续函数变号零点的性质，在上有解,即,使此外,因为.所以在上
8、单调递减,故方程在只有一个根.由结论可知,当时,的图像与直线有且只有一个交点.反思：关于函数的图象与直线是否有交点的问题,可通过对方程根的讨论得到完满的答案. 6、 用微分法研究函数的性态与作图例11 判断函数的零点个数。.解： 定义域为()，.令令，因此, 具有极大值,极小值.且，由连续函数变号零点的性质，在至少存在一个变号零点，又在函数单调，则在存在唯一一个变号零点，又当，当，所以函数有三个零点。7、 实际应用问题例12 如图2-1平地上有一条水沟,沟沿是两条长100m的平行线段,沟宽为2m,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直,沟深1.5m,沟中水深
9、1m.(1)求水面宽; (2)现在要把这条水沟改按成截面为等腰梯形的沟,沟的底面与地面平行,两腰分别与抛物线相切(图2-2),改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?解：(1)如图2-3建立直角坐标系. 设抛物线方程为,则由抛物线过点(),可得于是抛物线方程为.当时,. 由此可以得到,水面底为.(2)设切点为是抛物线弧OB上的一点,过点P作抛物线的切线,得如图2-3所示的直角梯形OCDE.由于,故切线CD的方程为即于是.设梯形OCDE的面积为,则.由于,故=.当且仅当即时,等号成立.于是当时,取最小值,此时所挖的土最少.当时,可求得C点的坐标为,因此,要使所挖掉的土最少,改挖后的沟底的宽()必
10、须为. 二、积分的应用 由两条曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。 左图，右图，以上面积的计算方法可概括为“以上、下曲边函数之差作为被积函数”.例13 求曲线与轴在区间上所围成的阴影部分的面积 .解: . 例14 求曲线与直线所围成的图形的面积。解：联立方程交点坐标为。微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些,在其它因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用。本文通过介绍微积分在初等数学中的一些应用，我们解决一些初等数学问题提供了一些新的思想，使微积分对初等数学的指导作用得到具体体现。参考文献：1 薛金星，高考总复习全解（数学B版）M. 西安、陕西人民教育出版社，2005.2 俞宏毓， 例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 J;高等函授学报(自然科学版)，2006年02期3 魏本成，吴中林，微积分在中学数学中的应用J . 天中学刊，2001，（5）：54-55.4 吴向群，庄认训，微积分在中学数学中的应用J. 青海师专学报，2002，（5）：77-78.5 钱佩玲，邵光华. 数学思想方法与中学数学M. 北京师范大学出版社，1999，7.6 薛金星. 中学教材全解（高三数学）M. 西安、陕西人民教育出版社，2004，3.7
浅谈微积分在初等数学中的应用
