江苏高考数学试卷及答案

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1、2008年普通高等学校招生全国统一考试绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必

2、须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。锥体体积公式其中为底面积，为高球的表面积、体积公式，参考公式：样本数据,的标准差其中为样本平均数柱体体积公式 其中为底面积，为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分1若函数最小正周期为，则。【解析】本小题考查三角函数的周期公式。【答案】102若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是【解析】本小题考查古典概型基本事件共66 个，点数和为4 的有、共3个，故。【答案】3若

3、将复数表示为是虚数单位）的形式，则。【解析】本小题考查复数的除法运算， 0，1，因此。【答案】14若集合，则中有个元素。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由得,，因此，共有6个元素【答案】65已知向量和的夹角为，则 【解析】本小题考查向量的线性运算=，7【答案】76在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域。向中随机投一点，则所投点在中的概率是 。【解析】本小题考查古典概型如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此【答案】7某地区为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随

4、机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 。【解析】由流程图 【答案】6.428设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法 ，令得，故切点，代入直线方程得，所以【答案】9如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为；点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数。设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程：。请你完成直线的方程：( )。【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜想填事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直

5、线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程【答案】10将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列的规律，数阵中第（）行从左向右的第3个数为 。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为【答案】11设为正实数，满足，则的最小值是 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由得，代入得，当且仅当3时取“”【答案】312在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为2c，以点O为圆心，为半径作圆，若过点所作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。

6、设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故，解得【答案】13满足条件的三角形的面积的最大值是 。【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想（方法一）：设，则，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=，由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值【答案】 （方法二）：简单，技巧性强因为（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以为圆心，为半径的圆上运动。又。14设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 【解析】（方法一）：本小题考查函数单调性的综合运用以及导数的有关知识若，则不论取何值，

7、显然成立；当，即时，可化为设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当即时，可化为， 在区间上单调递增，因此，从而综上【答案】4（方法二）：本小题考查函数单调性及不等式恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立当时，所以，不符合题意，舍去当时，即单调递减，舍去。当时 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知。答案：4二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆

8、交于两点已知两点的横坐标分别是、（1）求的值；（2）求的值【试题解析】先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，先求出的值，再根据范围确定角的值。【考点分析】本小题主要考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式以及两角和（差）的三角函数公式，考查运算求解能力。【标准答案】（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因故，从而同理可得 ，因此.所以=（2）从而由 得 16如图，在四面体中，点分别是的中点求证：（1）直线平面；（2）平面平面【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直

9、，由线面垂直推出面面垂直。【考点分析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。【标准答案】证明：（1）在中，分别是的中点，EFAD，AD面ACD，EF平面ACD，直线EF平面ACD；（2）在中，ADBD，EFAD，EFBD，在中， ，F是BD的中点， CFBD又平面，平面， BD平面EFC，BD面BCD，平面平面17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记排污管

10、道的总长度为ykm（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【考点分析】本小题主要考查函数的概念、解三角形、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力【标准答案】 （1）（i）如图，延长交于点由题设可知在中，所以，又易知，故用表示的函数为（ii）由题设可知，在中，则，显然，所以，用表示的函数为（2）选用（1）中的函数函数关系，来确定符合要求的污水处理厂的关系因为，令得因，故当时，；当时，所以函数在时取得极小值，这个极小值

11、就是函数在上的最小值当时，18在平面直角坐标系中，设二次函数（）的图象与两个坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为（1）求实数b的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论【考点分析】本小题主要考查含有参变量的二次函数、圆的方程以及曲线过定点等有关知识，考查运算求解能力和探究问题的能力解：（1）显然否则，二次函数的图象与两个坐标轴只要有两个交点，这于题设不符由知，二次函数的图象与轴有一个非原点的交点，故它与轴必有两个交点，从而方程有两个不相等的实数根，因此方程的判别式，即所以，的取值范围是（2）由方程，得于是，二次函数的图象与坐标轴的交点是设圆的方程为因

12、圆过上述三点，将它们的坐标分别代入圆的方程，得解上述方程组，得所以，圆的方程为（3）圆C 必过定点证明如下：假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为 （*）为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得，解得经检验知，点均在圆C上因此，圆C 过定点19（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查应

13、用分类讨论思想方法进行探索、分析及论证的能力。解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差事实上，设这个数列中的三项成等比数列，则由此得（1）（i）当时, 由于数列的公差，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为或 若删去，则由成等比数列，得因，故由上式得，即此时数列为，满足题设若删去，则由成等比数列，得因，故由上式得，即此时数列为，满足题设综上可知，的值为或（ii）当时，则由满足题设的数列中删去一项得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列的公差必为，这与题设矛盾所以满足题设的数列的项数又因为题设，

14、故或当时, 由（i）中的讨论知存在满足题设的数列当时, 若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故，及分别化简上述两个等式，得及，故，矛盾因此，不存在满足题设的数列的项数的等差数列综上可知，只能为（2）假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列，其中三项成等比数列，这里则有，化简得 （*）由知，与或同时为0，或均不为0。若，且，则有，即，得，从而，矛盾。因此，与不同时为0，故由（*）得因为均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数。于是，对于任意的正整数，只要取为无理数，则相应的数列就是满足题意要求的数列。例如，取，那么，项数列满足要求20已知函

15、数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足，且若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为。（闭区间的长度定义为）【考点分析】本小题主要考查函数的概念性质、图象以及命题之间的关系等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*）易知函数的最大值为， 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当时，由（1）知（对所有实数）则由及易知， 再由的单调性可知，函数在

16、区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则于是 当时，有，从而当时，有从而 ；当时，及由方程， 解得图象交点的横坐标为 显然，这表明在与之间由易知 综上可知，在区间上， 故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 故由、可知 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学附加题参考答案21：从A，B，C，D四个中只能选做2题，每小题10分，共计20分。A选修41：几何证明选讲如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D求证：证明：如图，因为 是圆

17、的切线， 所以，, 又因为是的平分线， 所以 从而 因为 , 所以 ,故. 因为 是圆的切线，所以由切割线定理知， , 而，所以。B选修42矩阵与变换在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 则有 ，即，所以 又因为点在椭圆上，故，从而 所以，曲线的方程是 C选修44参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值解： 因椭圆的参数方程为 故可设动点的坐标为，其中. 因此 所以，当时，取得最大值2。D选修45不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：证明：因为为正实数，由平均不等式可得 即 所以

18、， 而 所以 。22【必做题】如图，设动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围解：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有, 由，得，所以 显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于，即 ，得因此，的取值范围是23【必做题】请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或者其他方法），试由等式 （，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）； （ii）； （iii）证明：（1）在等式两边对求导得 移项得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得 所以 （ii）由（1）知两边对求导，得在上式中，令 ，即 ，亦即 又由（i）知 由+得（iii）将等式两边在上对积分， 由微积分基本定理，得， 所以 17