多元函数微分学复习题及答案

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1、第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答、选择题提小：令 y k2x2 B21极限lim1x0xyy01(A)等于0(B)不存在(C浒于髀)存在且不等于1-1xsin ysin- 2、设函数 f(x,y)y y x0xyxy,那么极限xi叫f (x,y)=y 0提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小(A)不存在(B)等于1(C)等于0(D)等于23、设函数f (x,y)xy22. x y00十，那么0f(x,y)提示：在x22y 0, f(x, y)处处连续；在x 0, y 0 ,令 y kx ,一 kxlim x 02y 0 . xy2 0,函数亦连续.所以,lim2kx_0f(0,0),故

2、在x2x01k2f(x,y)在整个定义域内处处连续.(A)处处连续(B)处处有极限，但不连续(C)仅在0,0点连续(D)除0,0点外处处连续4、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的A(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件5、设uarctany,那么一uxxB(A)(B)-yL-(C)(D)xyxyxLxL6、设f(x,y)arcsin,那么fx(2,1)Ax4422_、L*7、设zarctan,xuv,yuv,刃B么zuzvCyAB2A-UyD义二uvuvuvuv8、假设f(x,2x)x23x,fx(x,2x)

3、6x1,那么fy(x,2x)D33(A)x-(B)x(C)2x1(D)2x1229、设zyx,那么()(21)Axy(A)2(B)1+ln2(C)0(D)110设zxyexy,那么zx(x,x)D22x2)ex (D) x(1 x2)ex22(A)2x(1x2)ex(B)2x(1x2)ex(C)x(111、曲线x2sint,y4cost,zt在点（2,0,一）处的法平面方程是C2(A)2x z4(B)2xz-4(C)4yz(D)4yz22212、曲线4x5y ,lz,在点（8,2,4）处的切线方程是A (A)(C)x 820x 85泸B)4z 4I4x 12i20(D)3 5z 441 z41

4、& 曲面 xcoszy cosx z 2一在点2-,o处的切平面方程为 2dAx z1Bx yCx y D14曲面x2yz xy2z36在点(3,2,1)处的法线方程为x 5 y 5 z 19 rA - B8318z 118C8x 3y 18z 0D8x3y 18z 121S设函数z 1科一厂,那么点(0,0)是函数A极大值点但非最大值点B极大值点且是最大值点C极小值点但非最小值点D极小值点且是最小值点1&设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P0)0,fy(P。)0,fxx(P。)fyy(P0)。,fxy(P0)fyx(P0)2,那么CA点F0是函数z的极大

5、值点B点P0是函数z的极小值点C点P。非函数z的极值点D条件不够，无法判定17、函数f(x,y,z)z2在4x22y2z21条件下的极大值是C(A)1(B)0(C)1(D)2二、填空题1、极限s啜二yx2、2、极限lim1n(ye)=/x022y1xy3、函数zn&一y)的定义域为ln24、函数zarcs的定义域为.答：1x1,y0y5、设函数f(x,y)x2y2xyln-,那么f(kx,ky)=x.答:k2f(x,y)6、设函数f(x,y)-xy-,那么f(xy,xy)=xy2xy,xy)(xy)(xy)(xy)(xy)22xy2x7、设f(x,y)ln(1x2y2)A2x2x2y2y1/2

6、人1/2,要使f(x,y)处处连续，那么A=ln28、设f(x,y).22、tan(xy)22xyA(x,y)(0.0),要使f(x,y)在0,0处连续,(x,y)(0,0)那么A=29、函数zx2L的连续点是答：直线x10上的所有点1R函数f(x,y)-cos-的连续点为yx.答：直线yx及x011、设zsin(3xy)答：3cos512、设f(x,y).x2y2，那么fy(01)=1&设u(x,y,z)-y(1,2,3)答：3dxdy816-In2dz814k那么在极坐标系下，r1S1&17、函数y丫由1x2yey所确定，那么黑2xyy2ex18、设函数zz(x,y)由方程xy2zxyz所

7、确定，那么=y2xyz1-r1xy19由方程xyzky2Z222所确定白函数zz(x,y)在点1,0,1处的全微分dz=.答：dx22dy2R曲线xt答：x 3y 11e2 022、曲面xeyy2e2z z3e3x- 1在点(2, 1,0)处的法线方程为e答：x 2工工卫 2e 2e2&曲面arctany 在点(2,1,0)处的切平面方程是 答：y 2z 1 1 xz 424、设函数z z(x, y)由方程；x2 3xy y2 5x 5y ez 2z 4确定，那么函数z的驻点是 答：一1, 2 27、函数 z 2x2 3y2 4x 6y 1 的驻点是 答：1, 12S假设函数f (x,y) x

8、2 2xy 3y2 ax by 6在点(1, 1)处取得极值，那么常数 a , b 答：a 0, b 42&函数f(x,y,z)2x2在x2 y2 2z2 2条件下的极大值是 答:4 二、计算题1、求以下二元函数的定义域，并绘出定义域的图形 .(1)z J x2 y2(2) z ln(x y)，一 1，、(3)z(4)z ln(xy 1),y2t,z1t3在点(1,2,1)处的切线方程是33答：x_Jz122321、曲线x2te2t,y3e2t,zt2e2t在对应于t1点处的法平面方程是(2)要使函数zln(xy)有意义，必须有xy0.故所有函数的定义域为D(x,y)|xy0,图形为图3.2y

9、)0 ,即 x y 0 且 x y 1.1(3戌使函数z有息义，必须有ln(xln(xy)故该函数的定义域为D(x,y)|xy0,xy1,图形为图3.3(4度使函数zln(xy1)有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为D(x,y)|xy1,图形为图3.4图3.1图3.2图3.3图3.42、求极限y0ysin2x,xy11解：limx0y0ysin2xysin2x(xy11)_4xy一一-13、求极限limx0y0+sin(xy).xy解：原式=呵y0x3y2(1,x2y1)sin(xy)lim1sxy01h2y1xyx4、求极限limxyex04,16y0%xy解：y0xxye4J6xyl

10、imx0y0xyex(416-xy)_8xy5、设uxsinyycosx,求Ux,Uy.解：Uxsinyysinxuyxcosycosx6、设zxeyyex,求zx,zy.解:Zxeyxyezyxey7、设函数zz(x,y)由yzzxxy3所确定,试求,其中xy0.解一：原式两边对x求导得解二:FxFy8、求函数2x2解：由zxzy4x3xzxxzyxzxyzyyzxx3xy3y4y9、设z3xeFyfx2y20,函数z在点（2y，而xcost,y4x3y得驻点（1的极值.1,0)1,0）处取极小值z（1,0）解：dt3x2y3x3e(sint)2e,2dzt,求一dt2y(2t)(3sint

11、4t)e3x2y1R设zyxln(xy),求-z,-z.xy解：zxyxInyInxy-yxzyxyx1ln(xy)yxxy11、设uaxyzInxa(a0),求du.解:xyz1uaInaax,yxyzuxyzazlna,yaInazdu(axyzlnaax1)dxaxyzlna(zdyydz)12、求函数zln(x2y2exy)的全微分.解:2xyexy22xyez2yxexy一22xyyxye1x2y2exy(2xxyxy、ye)dx(2yxe)dy四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池

12、的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a.那么水池造价Sxy4xz4yza且xyz128令Lxy4xz4yzxyz128Lxy4zyz0tLyx4zxz0ILz4x4yxy0Lxyz1280得xy8z28米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y件，总本钱函数C(x,y)8x2xy12y2元.商品的限额为xy42，求最小本钱.解：约束条件为(x,y)xy420，构造拉格朗日函数F(x,y,)8x2xy12y2(xy42)，Fx16xy0解方程组Fyx24y0，得唯一驻点(x,y)(25,17)，Fxy420由实际情况知，(x,y)(25,17)就是使

13、总本钱最小的点，最小本钱为C(25,17)8043元.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是4002x3y0.01(3x2xy3y2)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x,y)表示获得的总利润，那么总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L(x,y)(10x9y)4002x3y0.01(3x2xy3y2)8x6y0.01(3x2xy3y2)400,(x0,y0)，Lx80.01(6xy)0令x，解得唯一驻点120，80.Ly60.01(x6y)0又因ALxx0.060,BLxy0.01,CLyy0.0

14、6，得23ACB23.51030.得极大值L(120,80)320.根据实际情况，此极大值就是最大值故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设求证x2x2z所以(1317(1-)1证明：因为二exy2二exy4xx2yy,2Z2、证明函数y“22,kn2e kn2t sinnxknsinnx满足关系式-yk一ytx2证明：因为ekn2tsinnx(kn2)-nekn2tcosnxx2yx2n2ekn2tsinnx,2ykq2kn2ekn2tsinnxkJykx23、设zxyxF(u)而u2F(u)为可导函数证明:xyF(u) xF(u)T yxxF (u) yxyF(u)yF(u)yxF(u)xxyxF(u)xyzxyln(xy)解：(1度使函数zJ1x丁有意义，必须有1x2y20,即有x2y21.故所求函数的定义域为D(x,y)|x2y21,图形为图3.1