广东省华南师大附中高三5月综合测试三模理科数学试题及答案

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1、120152015 年华南师大附中高三综合测试年华南师大附中高三综合测试数学（理科）数学（理科）2015.52015.5本试卷共本试卷共 4 4 页页，2121 小题小题， 满分满分 150150 分分 考试用时考试用时 120120 分钟分钟注意事项：注意事项：1 1 答卷前答卷前， 考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用 2B2B 铅笔将试铅笔将试卷类型（卷类型（A A）填涂在答题卡相应位置上）填涂在答题卡相应位置上2 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答

2、案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑选项的答案信息点涂黑，如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选再选涂其他答案，答案不能答在试卷上涂其他答案，答案不能答在试卷上3 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动如需改动，先划先划掉原来的答案掉原来的答案，然后再写上新的答案然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效液不按以上要求作答的答案无效4 4作答选做

3、题时，请先用作答选做题时，请先用 2B2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5 5考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁考试结束后考试结束后，将试卷和答题将试卷和答题卡一并交回卡一并交回2第一部分第一部分选择题（选择题（4040 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 4040 分分在每小在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 1设设i为虚数单位为虚数单位, ,若

4、复数若复数2282 izmmm是纯虚数是纯虚数, ,则实数则实数m：A A2 2B B4或或 2 2C C2或或4D D42 2已知命题已知命题 p p： R R，coscos ( ( ) ) = = coscos ；命题；命题 q:q: x xR R，x x2 2+ + 1 1 0.0. 则下面结论正确的是则下面结论正确的是：A A. .p pq q 是真命题是真命题B B. .p pq q 是假命题是假命题C C. . q q 是真命题是真命题D D. .p p 是假命题是假命题3 3若若 x x、y y 满足约束条件满足约束条件2x2x + + 2y2y1 1x xy y2x2xy y1

5、 1且向量且向量 a a = = (3,2)(3,2)，b b = =(x,y)(x,y)，则，则 a ab b 的取值范围的取值范围是：是：A A. . 5 54 4,4,4B B. . 7 72 2,5,5C C. . 5 54 4,5,5D D. . 7 72 2,4,44.4.同时具有性质同时具有性质“最小正周期是最小正周期是，图象关于直线图象关于直线3x对称对称；在在3,6上是增函数上是增函数”的一个函数是：的一个函数是：A A)62sin(xyB B)32cos(xy3C C)62cos(xyD D)62sin(xy5.5.函数函数 f(x)f(x)|log|log2 2(x(x1

6、)|1)| 的图象大致是的图象大致是：6.6. 已知点已知点 F F 是抛物线是抛物线 y y2 2= = 4x4x 的焦点的焦点，M M、N N 是该抛物线上两点是该抛物线上两点，| | MFMF | | + + | | NFNF | | = = 6 6，则，则 MNMN 中点的横坐标为中点的横坐标为：A A. .3 32 2B B. . 2 2C C. .5 52 2D D. . 3 37.7. 设函数设函数在在 R R 上有定义上有定义，对于任一给定的正数对于任一给定的正数 ，定义函数定义函数， 则称函数则称函数为为的的“ 界函数界函数”若给定若给定函数函数，则下列结论，则下列结论不不成

7、立的是成立的是：A.A.B.B.C.C.D.D.8.8. 若直角坐标平面内两相异点若直角坐标平面内两相异点 A A、B B 两点满足：两点满足： 点点 A A、B B 都在函数都在函数 f f (x)(x) 的图象上；的图象上； 点点 A A、B B 关于原点关于原点对称，对称，4则点对则点对 ( (A A， B B) ) 是函数是函数 f f (x)(x) 的一个的一个“姊妹点对姊妹点对”. . 点对点对 ( (A A，B B) ) 与与 ( (B B， A A) ) 可看作是同一个可看作是同一个“姊妹点对姊妹点对”. . 已知函数已知函数 f f (x)(x)= =x x2 2+ + 2x

8、2x，x x bbn nBAC1A1B1CD72020 （本题满分本题满分 1414 分分）如图如图，O O 为为坐坐标原点，点标原点，点 F F 为抛物线为抛物线 C C1 1：)0(22ppyx的焦点，且抛物的焦点，且抛物线线C C1 1上点上点 P P 处的切线与圆处的切线与圆 C C2 2：122 yx相切于点相切于点 Q Q。（）当直线）当直线 PQPQ 的方程为的方程为02 yx时，求时，求抛物线抛物线 C C1 1的方程；的方程；（）当正数当正数p变化时变化时，记记 S S1 1，S S2 2分别为分别为FPQFPQ，FOQFOQ 的面积的面积，求求21SS的最小值的最小值2 2

9、1 1 （本题满分（本题满分 1414 分）分）已知函数已知函数ln( )1xxf xx和和( )(1) ()g xm xmR（）m=1m=1 时，求方程时，求方程 f f (x)(x) = = g(x)g(x)的实根；的实根；（） 若对于任意的若对于任意的1,),( )( )xf xg x 恒成立恒成立， 求求m的取值范围的取值范围；（）求证：）求证：1007214ln201541iii20152015 年华南师大附中高三综合测试年华南师大附中高三综合测试数学（理科）答案数学（理科）答案一、选择题：一、选择题：DACDDACDABBCABBC二、填空题：二、填空题：9.9. (-(-,-1)

10、,-1)(0,+(0,+) )10.10. 6 60 011.11. 9 912.12.7 713.13. 232314.14. 7 715.15. 5 5三、解答题：三、解答题：1616解解： （I I）根据三角形面积公式可知：）根据三角形面积公式可知：1133sin222SabCab推得推得xyOFPQ84ab ；又 根 据 三 角 形 余 弦 公 式 可 知 ：又 根 据 三 角 形 余 弦 公 式 可 知 ：2222214cos228abcabCab推 得推 得228ab。综上可得综上可得2ab。4 4 分分（）sinsin()2sin2CBAA, ,sin()sin()4sincos

11、BABAAAsincos2sincosBAAA6 6 分分当当cos0A时，时，2A7 7 分分当当cos0A时，时，sin2sinBA, ,由余弦定理得由余弦定理得2ba，联立联立2242ababba，得，得2 34 3,33ab1 10 0分分222bac，,36CA，综上综上2A或或6A。1 12 2分分解二：解二：sinsin()2sin2CBAA, ,sin()sin()4sincosBABAAAsincos2sincosBAAA6 6 分分当当cos0A时，时，2A7 7 分分当当cos0A时，时，2312sinsinsin()cossin322ABAAA, ,933sincos0

12、223sin()0,650,6660.66AAAAAAA即综上综上2A或或6A。1 12 2分分1717解解： （I I）依题意，掷一次骰子，掷出）依题意，掷一次骰子，掷出 1 1 点的概率为点的概率为61, , 掷掷出出2 2 点或点或 3 3 点的概率为点的概率为3162，掷出，掷出 4 4 点或点或 5 5 点或点或 6 6 点的概率为点的概率为2163；2 2 分分记事件记事件 A=A=“, ,x y z依次成公差大于依次成公差大于 0 0 的等差数列的等差数列”，则则x=0,y=1,z=2x=0,y=1,z=2； 即甲即甲、 乙乙、 丙三盒中分别放进丙三盒中分别放进 0 0、 1 1

13、、 2 2 个球个球. . 4 4分分P P（A A）= =41)21(31213C；6 6 分分（IIII）z z 的取值为的取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，7 7 分分而而1zB(3, )2，03311(0)( )28P zC13313(1)( )28P zC；23313(2)( )28P zC1033311(3)( )28P zC1010 分分随机变量随机变量 z z 的概率分布列的概率分布列z z0 01 12 23 3P18383818数学期望为数学期望为23812813832831810E.-12.-12 分分1818解法解法1：( () )1AD 平面平面ABC, ,平面

14、平面11AAC C 平面平面ABC, ,又又BCAC, ,BC 平面平面11AAC C, , 得得1BCAC, ,又又11BAAC, ,1BCBAB，1AC 平面平面1ABC. .4 4 分分( () )1AC 平面平面1ABC，11ACAC, ,四边形四边形11AAC C为菱形为菱形, ,故故12AAAC, ,又又D为为AC中点中点, ,知知160A AC. .即即ACAACA1 1为等边三角形，为等边三角形，取取1AA中点中点F, ,则则 CFCFAAAA1 1, ,由由(1)(1)可知可知BC 平面平面11AAC C, ,BCBCAAAA1 1, , C CF FBC=CBC=C，1AA

15、 平面平面BCF,AA,AA1 1平面平面 A A1 1ABAB，从而面，从而面1A AB 面面BCF, ,6 6 分分过过C作作CHBF于于H, ,则则CH 面面1A AB, ,在在Rt BCF中中, ,32,BCCF, ,则则 BF=BF=7，由面积法可得，由面积法可得2 217CH , ,即即1CC到平面到平面1A AB的距离为的距离为2 217CH . .9 9 分分（用体积转移法同样给分）（用体积转移法同样给分）( () )过过H作作1HGAB于于G, ,连连CG, ,则则1CGAB, ,从而从而CGH为二面角为二面角1AA BC的平面角的平面角, ,在在1Rt ABC中中, ,12

16、ACBC, ,2CG , ,1010 分分在在Rt CGH中中,CH=,CH=7212, ,2CG 则则 HG=HG=714，coscosCGH=CGH=772714CGHGBAC1A1B1CDGHF11故二面角故二面角1AA BC的余弦值为的余弦值为77. .1414 分分解法解法2：( () )如图如图, ,取取AB的中点的中点E, ,则则/DEBC, ,BCAC, ,DEAC, ,又又1AD 平面平面ABC, ,以以1,DE DC DA为为, ,x y z轴建立空间坐标系轴建立空间坐标系, , 1 1 分分则则(0, 1,0)A, ,(0,1,0)C, ,(2,1,0)B, ,1(0,0

17、, )At, ,1(0,2, )Ct, ,1(0,3, )ACt , ,1( 2, 1, )BAt , ,(2,0,0)CB , ,由由10AC CB , ,知知1ACCB, ,又又11BAAC, ,1BCBAB，从而从而1AC 平面平面1ABC. .4 4 分分( () )由由21130ACBAt , ,得得3t . .设平面设平面1A AB的法向量的法向量为为( , , )nx y z, ,13(0,1,)AA , ,(2,2,0)AB , ,130220n AAyzn ABxy , ,设设1z , ,则则33(,1)n . .6 6 分分点点1C到平面到平面1A AB的距离的距离1|2

18、217|ACnnd . .9 9 分分( () )设面设面1ABC的法向量为的法向量为( , , )mx y z, ,13(0, 1,)CA , ,(2,0,0)CB , ,13020m CAyzm CBx . .1010 分分设设 z=z= -1-1, ,则则(0,3, 1)m , , 设二面角设二面角1AA BC的平面角为的平面角为，则，则27cos7| |72m nmn ，可知二面角可知二面角1AA BC的余弦值为的余弦值为77. .1414 分分1919解解： （I I）在已知式中，当）在已知式中，当 n=1n=1 时，时，2131aa a a1 100a a1 1=1=11 1 分分

19、当当 n n2 2 时，时，23333231nnSaaaa2131333231nnSaaaa得，得，322111nnnnnnnaSSSSSSBACD1A1B1Cxyz12a an n002na= =1nnSS=2S=2Sn na an na a1 1=1=1 适合上式适合上式3 3 分分. .当当 n n2 2 时，时，21na=2S=2Sn n1 1a an n1 1得得2na21na=2(S=2(Sn nS Sn n1 1) )a an n+a+an n1 1=2a=2an na an n+ + a an n1 1= = a an n+ +a an n1 1a an n+a+an n1 1

20、00a an na an n1 1=1=1数列数列aan n 是等差数列是等差数列， 首项首项为为1 1， 公差公差为为1 1， 可可得得a an n=n=n6 6 分分（）113( 1)23( 1)2nannnnnnnanb 02) 1(3322) 1(32) 1(311111nnnnnnnnnnnbb11)23() 1(nn. .8 8 分分当当 n=2kn=2k1 1，k=1k=1，2 2，3 3，时时，式即为式即为22)23(k依 题 意 ，依 题 意 ， 式 对式 对 k=1k=1 ， 2 2 ， 3 3 都 成 立 ，都 成 立 ， 1bbn n1 14 4 分分2020 解解：

21、（） 设点设点)2,(200pxxP， 由由)0(22ppyx得得，pxy22， 求导求导pxy ， 2 2 分分因为直线因为直线 PQPQ 的斜率为的斜率为 1 1，所以，所以10px且且022200pxx，解得，解得22p，所以抛物所以抛物线线C C1 1的方程为的方程为yx242。5 5 分分或：将直线代入抛物线由或：将直线代入抛物线由=0=0 解出解出 p p 同样给分。同样给分。（ ） 因 为） 因 为 点点 P P 处 的 切 线 方 程 为 ：处 的 切 线 方 程 为 ：)(20020 xxpxpxy， 即， 即022200 xpyxx， 6 6 分分根 据 切 线 又 与 圆

22、 切 ， 得根 据 切 线 又 与 圆 切 ， 得rd ， 即， 即14422020pxx， 化 简 得， 化 简 得2204044pxx，7 7 分分由由04420402xxp，得得20 x，由方程组由方程组200222201x xpyxxy，解得，解得)24,2(200pxxQ，9 9 分分所以所以2222022000002002|211=(2)2PQpxxxxPQkxxxxpxpxp，14点点)2, 0(pF到切线到切线 PQPQ 的距离是的距离是2220220022012444pxxdxpxp，所以所以32010|1(2)216xSPQ dxp，02221xpxOFSQ，1 12 2

23、分分所以所以424200001242200(2)(2)82(4)xxxxSSpxx32234424)4(2)2(2020202020 xxxxx，当且仅当当且仅当44242020 xx时取时取“”号号，即即22420 x，此时此时，222p，所以所以21SS的最小值为的最小值为223。1 14 4 分分2121解解： （）m=1m=1 时，时，ln( )( )11xxf xg xxx即而而 x x 0 0，所以方程即为，所以方程即为1ln0 xxx1 1分分令令1( )lnh xxxx，则，则2222213()11124( )10 xxxh xxxxx ，而而 h(1)=0h(1)=0，故方程

24、，故方程 f(x)=g(x)f(x)=g(x)有惟一的实有惟一的实根根x=1.x=1.4 4 分分（）11,),( )( ),ln()xf xg xxm xx 即，设设1( )ln()F xxm xx，即，即1,),( )0 xF x 22211( )(1)mxxmF xmxxx6 6分分15若若0m ，则则( )0F x ，( )(1)0F xF，这与题设这与题设( )0F x 矛盾矛盾7 7 分分若若0m ，方程，方程20mxxm的判别式的判别式214m ，当当0 ，即，即12m 时，时，( )0F x ，( )F x在在(1,)上单调递减，上单调递减，( )(1)0F xF，即不等式成，

25、即不等式成立立8 8 分分当当102m时，方程时，方程20mxxm有两正实根有两正实根，设两根为，设两根为12,x x，221212114114()(0,1),(1,)22mmxxxxmm当当2(1,),( )0,( )xxF xF x单调递增，单调递增，( )(1)0F xF与题设矛盾，与题设矛盾，综上所述，综上所述，12m 。所以，实数所以，实数 m m 的取值范围是的取值范围是1,2-10-10 分分（）由（）由（）知，当）知，当1x 时，时，12m 时，时，11ln()2xxx成立成立不妨令不妨令211,()21kxkkN，所以所以2211 21214ln()212 212141kkkkkkkk，24ln(21)ln(21),()41kkkkkN1111 分分162224ln3ln14 1142ln5ln34214ln(21)ln(21)41nnnn1212 分分累加可得累加可得214ln(21)41niini()nN取取 n=1007n=1007，即得，即得1007214ln201541iii1414 分分