数学课堂教学中有效利用错误资源的策略研究

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1、2006年杭州市数学会评选论文数学课堂教学中有效利用“错误”资源的策略研究杭州西兴中学 胡奇龙【内容提要】在初中数学课堂上，每天都有学生在出错。课堂是学生出错的地方，错误是伴随着学生一起成长的。作为新时代的教师，应本着以人为本的教育观，面对学生已出现的错误换位思考，不斥责、挖苦学生，应更多地关注学生的情感体验，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，促进学生的全面发展；并从课堂教学出发，正确引导对错误的分析评价，从错误中领略成功，实现学生的全面发展。【关键词】数学课堂教学有效利用 错误资源 策略 一、问题的提出俗话说：“人无完人，金无足赤。”。在课堂教学中，在平时的教学过程

2、中由于种种原因会产生很多始料未及的错误。对于这些错误，如果我们能进一步分析学生犯错误的原因，并能透过错误发现有关问题，在错误上面做些文章，就可变“废”为“宝”，利用错误这一资源为教学服务。然而在现实的课堂实践中，我们往往看到的是另一番景象：不少错误，常常被忽略。有些是由于教师对正确答案期待使他有选择性地知觉到了“正确”，而对错误“视而不见”；有些是由于教师认为个别学生的错误，在课堂上用宝贵的45分钟来处理，对其他学生而言是个浪费；还有些是由于对学生出其不意的发言，教师常常不能做出准确及时地判断而不知所措种种原因导致这些错误最后未作处理，学生根本没有得到任何关于正确与否的或含蓄或直接的反馈。叶澜

3、教授在重建课堂教学过程一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、积极性、注意力、学习方式和思维方式、合作能力与质量、发表的意见、建议、观点，提出的问题与争论乃至错误的回答等，无论是以言语，还是以行为、情绪方式的表达，都是教学过程中的生成性资源。”我们教师应用资源的眼光看待错误，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，促进学生的全面发展。数学实践中学生出现错误是美丽的，是他们最朴实的思想最真实的暴露。学生出现的错误，教师一定要平和、理智地看待，并辅之以策略处理，充分利用，再生资源，让“错误”美丽起来。二、有效利用“错误资源”的策略（一）正视错误 通过容错培养学

4、生的自信心我们的学生，有着不同的知识背景、不同的情感体验、不同的表达方式，也就有着参差不齐的思维水平，难免就会出错。出错，是因为学生还不成熟，哪怕确实明显有错，也是正常的，又何况“正确”正是从“错”的辨析、筛选中逐步形成的；出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的，有的错往往是学生对既定思维的反判、修正。正因为出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越。对待错误，许多教师视为洪水猛兽，唯恐避之不及。或“快刀斩乱麻”，以一个“错”字堵上学生的嘴，接二连三提问学生，直至得出“正确答案”；或亲自“上阵”，把答案“双手奉上”。或“堵”或“送”，都是置学生的实际于不顾。可以想到，不拨“

5、乱”反“正”，不让学生经历实践获得体验，阻住了学生迈向“错”的脚步，也就打击了他学好数学的自信心。其实，“学生的错误都是有价值的”（布鲁纳语）。著名教育家卡尔威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括“错误”。这一点，特级教师魏书生给我们做出了榜样。他经常外出上示范课，每每告诉那些陌生的学生：“魏老师上课最喜欢发言说错的学生，我要给他发特等奖”其实，这不仅仅是调动学生的发言积极性，还在于魏老师一个清晰的教育理念：“错误，也是一种宝贵的教学资源”。因此，我们要宽容、理性地对待学生的错误。不要轻易否定，要肯定学生的积极参与，用鼓励的语言去评判。只有这样，学生才会毫无顾忌地发表自己的

6、意见，树立学好数学的信心；师生间就会有认识上的沟通，心灵的对话，才会出现“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”那样一幅生气勃勃、生动活泼的教育画卷。（二）自主纠错通过寻错提高辨析能力费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”对待纠错这一学习过程，教师的态度也应同样如此。在教学过程中，教师要引导学生自己对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生明白为何出错，才能使学生避免重蹈覆辙。在学完整式的运算一章中同底数幂的乘法和除法运算之后，学生对同底数幂的乘法和除法

7、运算法则总是不熟练，不知指数是加还是减,对此，针对学生练习之中出现的易错点、常错点而专门设计了这样一组练习：例1 下面的计算是一名同学所做，是否正确？如有错误，请你帮他改正过来。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) ； (6) 让学生做这样从错误中找错误的练习，他们为之一振，气氛活跃，情绪盎然，很快进入主体角色，加深了对幂的运算知识的理解与掌握。这种本不应有却又极难避免的失误往往会在学生的脑中留下深刻的印象，例题处理得好，可以久久难忘！学生出现失误好像是坏事，但通过师生的努力，对症下药，完全可以将它变为好事。因为通过对错解的辨析与反思，能让学生充分尝到失误的“苦头”“吃一堑”，

8、又尝到了掌握全面知识的“甘甜”“长一智”，他们的思维就会日臻完善，逐渐成熟，这也正是良药苦口利于病！新课标指出：“让学生在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。”学生在数学实践时常常会出现一些意想不到的错误，如抄错数字、符号，混淆了概念，弄错了运算顺序等。很多教师为学生的错误而烦恼、困惑，甚至怨声载道。其实，学生的错误是不可避免的，学生产生错误原因是多方面的，同样的错误结果可能由不同的原因和过程引起。教师要帮助学生认真寻“错”、纠“错”，寻“错”是为了纠“错”，寻“错”是为了尽量减少学生的错误。1.小学数学的干扰而产生的错误 在初中一开始，学生学习小学数学形成的某些认识

9、会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。 例如，在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时出现混乱与错误。原题是这样的： 礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位?第3排呢?设m为第n排的座位数，那么m是多少?求a=20,n=19时，m的值。学生在解答上述问题时，其结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹。 又如，小学数学中形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的。在小学，学生对数之和不小于其中任何一个加数，即a + b a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a + ba也是可能的

10、。也就是说，习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题错误。另外，“+”号和“-”号在小学长期作为加、减号使用，学生对于3-5+4-6，习惯上看作3减5加4减6，而初中更需要把上式看成正3、负5、正4与负6之总和。对习惯看法的印象越牢固，新的看法就越难牢固树立。再有，学生习惯有理数的运算，这会对学生学习二次根式的运算产生干扰。如：计算5+3 +2 ，有的学生的结果是10 ，这显然是错的。由此可以看出学生拘泥于有理数的运算的痕迹。我们学习二次根式的运算后。其正确的结果为5+5。还有，学生习惯于算术解法解应用题，这会对学生学习代数方法列方程解应用题产生干扰。例如，在求两车相遇

11、时间时，甲、乙两站间的路程为360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km，两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇?列出的“方程”为x=。由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹。而初中需要列出 48x+72x=360 这样的方程，这表明学生对已知数和未知数之间的相等关系的把握程度。 总之，初中开始阶段，学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。讲清新学知识的意义(如用字母表示数)、范围(正数、0、负数)、方法(代数和、代数方法) 与旧有知识(具体数字、非负数、加减运算、算术方法)的不同，有助于克服干扰，减少错误。 2.初中数学前

12、后知识的干扰而产生的错误 随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前 面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正 3与负7之和，“-”又成了负号。学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑。这种困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。 又如，了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就是受等式的性质2以及方程的解是一个数的干扰。事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两

13、者的异同，有助于学生学好不等式的内容。可见对比教学法对学生错误的形成，前后知识的干扰有一定的影响作用。 学生在解决简单问题与综合问题时的表现也可以说明这个问题。学生在解答简单问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。 总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。 （三）将错就错通过用错激发创新能力 英国一位心理学家说过，“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的”。数学实践是一个动态的、变化发展的过程，学生随时可能发生各种预想不到的错误。我们应把

14、错误看成教学的资源，充分利用数学实践中“错误”这一“财富”，化弊为利，将错就错，培养学生正确归因错误，正确地、巧妙地利用错误，培养创造性思维。让课堂因此而精彩，让“错误”因此美丽起来。1.让“错误”成为学生学习新知的切入点【案例】 线段如图1，点A，B，C在同一直线上，以其中两点为端点的线段共有几条？ ABC图1 ABCD图2 由于题目简单，学生很快“数”出共条线段。为让学生把握其内在规律，在图2中继续探索直线上标有（A，B，C，D）4个点的情况。个点，个点哪？结果一语刚出，学生忙得不亦乐乎！数呀，数呀！“条，条，不对条，条”，回答之中，混杂着错误答案这时我不失时机让学生静下心来，“直线上标有

15、个点，个点，同学们的答案就这么不一致，要是标有个点哪？个点哪？大家可怎么数呀？本题数线段的条数有没有规律可寻呢？”学生感到“山重水复疑无路”。经过启发诱导，学生立刻兴趣盎然，全身心的投入到“数”的规律探索之中，通过合作交流，终于豁然开朗，达到“柳暗花明又一村”的境界。得到结论：直线上取一个点时，有条线段，取两个点时，是条线段取个点，有条线段。这时，我又问：“若题目中的点不是排在一条直线上，而是散落在一个平面内，问题的结果有变化吗？”学生又陷入了沉思探索完成后，我又出示了：例2 两个人握一次手，若每两个人握一次手，则三个人共握几次手？个人共握多少次手呢？学生又“轰”地一响，又互相握起手来，很快找

16、到答案，同上题是一样的思路和结果。对于上述问题的处理，教师这个导演，让学生演员们在迷惑好奇的情景中，在跃跃欲试的状态下，激起思维波澜，进行着思维活动，将“数”与“形”结合起来，让学生初步体会到“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，也同时激发学习兴趣，拓宽思维领域，提高解决问题能力。2.让“错误”成为学生自主学习的探索点教师在教学中要不断引导学生透过问题的表面现象，深入细致地考虑，努力培养自己思维的严密性，去感受数学发现的乐趣，以充分提高学生分析问题和解决问题的能力，促进自主学习的养成。有时设计答案不唯一、有两解或多解的数学问题时，学生考虑会不全面，思维不严谨，容易出现漏解

17、，就进入了设置的“陷阱”中。 例3 已知三角形两边长为3，4，要使这个三角形为直角三角形，求第三边的长。许多同学误解：设第三边长为，由勾股定理得：教师马上不失时机地评析：在直角三角形中，同学们只看到边长为3，4马上联想到勾三股四弦五，这说明大家对这组勾股数很熟悉。但题目中有没有说明第三边就是斜边？（学生此时也豁然开朗），因此应分两种情况：(1) 当两条直角边为，时，则第三边为斜边等于。(2) 当一条直角边为，斜边为，则第三边为直角边等于这种自主学习的培养是一个必须经历的一个过程，学生在训练中要面临很多困惑、挫折、甚至失败，也会耗费一些时间与精力。虽然付出了一定的代价，但是留给自己的是终身有用的

18、东西，是一种难以言说的丰厚回报。3.让“错误”成为学生创造思维的生长点教学应以丰富多彩的数学活动、数学实践的形式展现在学生面前。在应用数学知识解决问题时，往往会出现失误，他们不会将数学知识与现实生活相联系，缺少思维的灵活性，不熟悉把实际问题转化成为数学问题的方法。正如美国数学家斯蒂恩曾说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，而且能创造性地思索问题的解法。”这就需要我们教师在教学过程中，应立足于课本，对教材中的一些典型例题、习题进行适当的变化和引申，并把问题置于恰当的实际背景中，多方位的探索，以提高学生应用数学知识解决问题的意识。如 “台球活动与角”一节课中例题

19、：例4 如图3，打台球时，可以选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋。此时1=2。针对此例题又巧妙设计出：MNC图4MNC12图3D例5 如图4，击打白球到桌边哪一点反弹后能击中红球，并画出两球运动路线? 实际场景的变换，又让学生一头“雾水”，怎么做呢？想象处就是一个球，那么，对例4种的红球而言，两道题目有本质的不同吗？学生立刻心领神会，得到了同样的作法。再联系教科书中的例题：要在街道旁修建一个奶站，向两个居民区提供牛奶，使其距离之和最短。学生对上述几个同类问题的本质有了比较深入地了解。通过上述训练，使学生在有趣的活动中学习了推理，掌握了知识间的内在联系。作为教师要做这方面的有心

20、人，力求从学生实际出发，以他们熟悉和感兴趣的问题情节，引入学习主题，作为学生了解和学习这些知识的有效切入点，通过对一个个问题的研讨，解决学生学习中的困惑。使学生经历地“做数学”和“用数学”的过程，让他们感到数学不抽象了，感到数学有用了。（四）引导评错通过议错加强真情体验 议“错”是学生对自己错误的一种反思，同时也是教师对自己教学的一种反思。从心理学的角度来说，反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在议错赏错的过程中，放松思维，体验成功。调查表明，频繁的考试和高强度的解题训练，造成了较多学生遇到错误有“失败者”的心态。因此，教师应更多地关注学生

21、的情感体验，从课堂教学出发，正确引导对错误的分析评价，从错误中领略成功，实现学生由“失败者”向“成功者”的转变。这学期听过的一节课就让我深有感触。上课教师以三位学生对同一道题的三种错误解法为研究对象，展开了一堂容知识、技能、情感于一体的数学课，感触颇深。他首先出示了学生反馈的三道错题：a.-0.5-2.41b. -0.5-2.41 c.- 0.5-2.41- 3-2 +21-5 2 2“面对这些错误，你有什么感觉？”学生回答：害怕、讨厌、不喜欢，显然他们是不自信的。这位老师从学生的心理因素入手，后让学生评析产生错误的原因。学生各抒己见，并从书写习惯、数的感知及知识点的掌握等方面找到原因。得出对

22、策：避免粗心。他没有就此打住，教育学生应把粗心的原因去掉，体现错题的价值所在，告诉我们学会从错题中找到知识漏洞，避免下次再犯。使学生在评析错误的过程中，总结经验，养成良好的学习习惯。出现错题，再纠正错误，指出错误原因。我们对错题的利用往往到此为止，但这位老师并没有就此结束。怎样让更多的学生找到自信，体验成功。他最后安排学生来欣赏这些错误，找找其中的优点，使学习错误再次成为课堂教学的亮点。如它们的运算顺序都对，有些分数、小数的互化也很正确。让学生主动参与找错、议错、评错、赏错，对学生来讲是一种可贵的成功体验。这时候再让学生说说面对错题的感觉，他们不再那么讨厌、也不害怕了。这一课始终围绕错误展开，

23、时时关注学生的心理变化，让学生在纠错改错、评错赏错的过程中感受到学习的成功和快乐。 （五）设置陷阱通过诱错培养质疑能力音乐界有这样一个故事，世界著名指挥家小泽征尔当初参加一次世界性的比赛时，曾连续三次中断了指挥，因为他认定乐谱中出现了“错误”。其实，这正是评委们故意设下的“陷阱”。事实上，对这个“陷阱”的大胆否定，正验证了小泽征尔作为音乐指挥家的真正实力。教师也应善于恰当设置一些这样的“陷阱”，让学生在这种真实、饶有兴趣的考验中摔打，这样，他们的选择、质疑、批判能力将会得到很大的提高。案例 乘法公式例6 求的个位数字许多同学是忙于用计算器，结果告知计算器显示错误（用科学记数法表示），得不到正确

24、答案。却有一名同学在短暂的几秒钟后回答，结果等于吧？那场景就如同德国数学家高斯小时侯计算，那样让人大吃一惊！在许多学生笑声中（认为该同学不可能这么快做出来，答案肯定不对），教师却说：“这个结果是正确的！没有错误，有请这位同学说出充分的理由来。”教师肯定的赞许激起了这位学生的热情讲解，一个妙法诞生了：在原式的前面添上，则原式变为，利用平方差公式计算其结果是，显然其个位数字为。解法非常简单了，结果也一目了然，教室里掌声刚要响起来了，又有一个男同学说“我这个方法更简单，用一休哥的感觉，不用动笔计算，一看就出来结果的。”“快说吧”，下面的其他同学也闹着、喊着，其实作为教师的我也着急了，我还真不知另有法

25、，我真以为他胡说（他平日表现并不突出）。该男同学说 “其实，我是看到同桌在用计算器计算时候，发现它们乘积个位数字总是，再加上就等于6。”“哎，这么简单呢，”“我怎么没发现呢”。一片哎声后，教室里掌声真正响起来了。这么一题激起这么大的波澜，真让我们教者深思？新课程改变学生的学习生活，也改变教师的评价方式。初中生可塑性强，学习行为受情感的影响较大，所以，教师要鼓励学生的每一次成功，哪怕是“错误”中的成功因素、点滴成功，使学生充分感受到探索数学知识的情趣，自然而然的将自己的身心融入特有的感情氛围中。这不仅会使学生的心理上感到满足、激发更强烈的成功欲望，而且，会把教师的评语、活动中的成绩当作自己成功道

26、路上的新起点、加油站，努力的从成功走向成功。 （六）错误日记通过理错培养自我评价能力为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误以及错误产生的原因、矫正对策进行搜集、整理、记录。可以通过多种形式进行对比练习，让学生辨析提高。而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成错误日记的习惯。一位学生在周记中写道“当时老师讲过a2-b2=(a + b)(a-b)后，让我们自己分解x4-y4。很快大家就做完了。老师一边巡视一边督促检查。但在最后教师宣布只有6人做正确时，我们都感到非常吃惊 。我们把x4-y4分解为(x2+y2)(x2-y2)错在哪里呢?做正确同学的答案是

27、(x2+y2)(x + y)(x-y)，两相对照，我们发现原来x2-y2还可以继续分解。于是，分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止给每个同学都留下了深刻的印象。”在数学知识的探索中，有错误是难免的，正如在人生的旅程中，总是难免有各式各样的错误。因此，检验改错的习惯正是学生必不可少的一个发展性学习习惯。由此，在日常练习中应把检查和验算当作不可缺少的的步骤，养成检验的习惯。1.自检。就是学生自己复查发现错误，就会真正体验出错的原因。所以要把检查监督的着重点，放在学生自检上，只有这样才能培养学生改错的习惯。要求学生在每日自检的基础上，每月都检查总结一下数学学习的情况。自检发现“违法”现象怎么办？

28、可以给予自惩方式中挑选出一种：写一份说明书。写一份心理病历。总之务必使学生牢固地树立自己是错误的负责人。2.互检。就是两个性格、成绩相近的同学要求组成互助组，在一个时期内搞数学学习互助，互相督促检查对方数学学习的情况。有时也可以临时组成的互助组，发现的错误现象，及时给予批评纠正。 3.班干部检查。值日班长、数学学习委员按照自己的职责范围，检查监督同学执行数学错误的情况。4.班集体检查。对不认真学习的学生形成一种批评帮助的集体舆论，这是最重要的集体检查监督方式。他们不定期地评选“学习最认真的人”、“学习最不认真的人”、“错误最负责人”、“错误不负责人”等。5.建立错误档案，给学生一个“错题集”，

29、让学生把每次作业中的错题抄在“错题集”上,找出错误的原因,把正确的答案写出。学生在分析错误的原因多是马虎，有利于认识错误的危害，下决心改正。错题集是自我教育的好办法。三、结束语所谓“错误”是指师生在认知过程中的偏差或失误，“错误”伴随着教学的始终，“错误”是不可避免的。教师在遇到“错误”时，首先要冷静分析错误的原因，宽容对待学生的错误。教师要针对不同的原因，帮助学生灵活纠正错误，带领学生从“错误”走向“正确”。“错误”也是一种宝贵的教学资源，我们要正确、合理地加以利用，使学生在知识能力、数学思考、解决问题、情感态度等方面得到进步和发展。“不经历风雨，怎么见彩虹！” 学生的“错误”是宝贵的，只有

30、在“容错”、“寻错”、“用错”、“议错”、“ 诱错”、“理错”的探究过程中，课堂才是活的，教学才是美的，教与学的活动才是最具有价值的。让“错误”美丽起来，让课堂因“错误”而更精彩！参考文献：1 景盛 错误 一种可以利用的教学资源J 小学数学教师 2004（7.8月合刊）.1252 薛法根 错误的价值J. 江苏教育 2005.2B3 陈宇 失败也有营养J. 江苏教育 2004.3B . P464 李烈 我教小学数学M .北京 人民教育出版社5 冯周卓 彭剑飞 薛剑刚 小学数学心育艺术M 长沙：湖南人民出版社, 2005.56 钟启泉 崔允郭 新课程的理念与创新师范生读本M 高等教育出版社 200311