课时1导数的概念及运算

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1、泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人 ：卢毅课时1 导数的概念及运算课时目标：了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数yc，yx，的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数知识梳理：1.导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作 .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在

2、开区间内的导函数.记作f(x)或y.2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x) f(x)x(为常数)f(x) f(x)sin xf(x) f(x)cos xf(x) f(x)exf(x) f(x)ax(a0，a1)f(x) f(x)ln xf(x) f(x)logax(a0，a1)f(x) 4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x) (2)f(x)g(x) (3) 5.复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则

3、yxyuux，即yxyua.基础自测：1.(教材改编)若f(x)xex，则f(1) .2.(教材改编)(cos x)sin x；若y，则y；().其中正确的个数是 .3.(教材改编)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为 .典型例题：题型一导数的计算例1求下列函数的导数.(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)ysin(2x)；(5)yln(2x5).小结：例2(1)(2016南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为 .(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1

4、)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 .小结：课堂训练：(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0 .(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1) .(3)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为 .课堂小结：布置作业：课时2 导数的运算课时目标：掌握导数运算的相关方法基础自测：1、(教材改编)若过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为 .2、(教材改编)函数f(x)x3的斜率等于1的切线有 条.典型例题命题点1求参数的值例1(1)(2016徐州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .(2)(2016苏州暑假测试)已知函

5、数f(x)x1，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，则实数k .命题点2导数与函数图象的关系例2如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的 .小结：例3 若存在过点O(0，0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.小结：课堂训练：(1)(2016泰州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 .(2)(2016昆明模拟)设曲线y在点(，1)处的切线与直线xay10平行，则实数a .课堂小结：布置作业：课时3 用导数研究函数的单调性课时目标：掌握利

6、用导数判断函数单调性及求单调区间的方法.知识梳理：函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x) 0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.基础自测：1.(教材改编)f(x)x36x2的单调递减区间为_.2.(教材改编)函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_.3.(教材改编)函数y3x39x5的极大值为_.典型例题：题型一不含参数的函数的单调性例1(1)函数yx2ln x的单调递减区间为_.(2)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_.小结：题型二含参数的函数的单调

7、性例2(2016江苏新海中学月考改编)已知函数f(x)2x3tx23t2x(t0)，求f(x)的单调区间.小结：课堂训练：(1) 函数y4x2的单调增区间为_.（2）已知函数f(x)xln x，则下面关于函数f(x)单调性的判断正确的是_.在(0，)上递增； 在(0，)上递减；在(0，)上递增； 在(0，)上递减.(3)讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.课堂小结：布置作业：课时4用导数研究函数的单调性（2）课时目标：掌握函数单调性及单调区间的求法.典型例题：例1(2016南通模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调

8、递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求a的取值范围.变式训练：1.本题(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围.2.本题(2)中，若h(x)在1，4上存在单调递减区间，求a的取值范围.小结：例2已知函数f(x)exln xaex(aR).(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围.小结：例3已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2

9、)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.小结：课堂训练：1.(2015课标全国改编)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.2.已知函数yf(x)在定义域4，6内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_.3.(2016苏州模拟)若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1，3)，则bc_.4.若函数f(x)x3x22ax在，)上存在单调递增区间，则a的取值范围是_.课堂小结：布置作业：课时5 函数的极值课时目标：掌握函数求极值、最值的方法.知识梳理：函数的极值(

10、1)求函数yf(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程 的根；考察f(x)在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .基础自测：1.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)_.2.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_.3.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则

11、a的取值范围是_.典型例题：命题点1根据函数图象判断极值例1(1)(2016淮安模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是_.(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2).小结：命题点2求函数的极值例2设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方

12、程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.小结：命题点3已知极值求参数例3(1)若函数f(x)在x1处取极值，则a_.(2)(2016南京学情调研)已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为_.小结：课堂训练：(1)函数f(x)(x21)22的极值点是_.(2)函数y2x的极大值是_.(3)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_.课堂小结：布置作业：课时6 用导数研究函数的最值课时目标：会求一些实际问题的最大值及最小值.知识梳理：函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f

13、(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.基础自测：1.函数f(x)x23x4在0，2上的最小值是_.2.(2016徐州模拟)已知函数f(x)x3x2xm在0，1上的最小值为，则实数m的值为

14、_.3.若函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为_.典型例题：例1已知aR，函数f(x)ln x1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值.小结：例2已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.小结：例3已知函数f(x)ln xax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值.小结：课堂训练：（1）设函数f(x)x32x5，若对任意的x1，2，都有f(x)a，则实数a的取

15、值范围是_.（2）若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是_.（3）.(2016扬州模拟)函数f(x)ax3bx2cx34(a，b，cR)的导函数为f(x)，若不等式f(x)0的解集为x|2x3，f(x)的极小值等于115，则a的值是_.课堂小结：布置作业：第7课时导数与函数的综合问题课时目标：会利用导数研究函数的有关性质.基础自测：1. 函数f(x)(x1)2(x2)2的极大值是_.2. 已知曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为_.3.如果不等式对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为_.典型例题

16、：命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有0的解集是_.小结：命题点2证明不等式例2(2016全国丙卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，11，证明：当x(0，1)时，1(c1)xcx.小结：命题点3不等式恒成立或有解问题例3已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间(a，a)上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围.小结：变式训练：本题(2)中，若改为存在x01，e，使不等式f(x)成立，求实数k的取值范围.课堂训练：1. (2015福建)已知函数f(

17、x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1).课堂小结：布置作业：第8课时导数与函数的综合问题课时目标：会利用导数处理实际问题.基础自测：1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.2.(2017南京质检)直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为_.3.已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_.典型例题：题型一 利用

18、导数研究函数零点问题例1(2016扬州模拟)设函数f(x)xexasin xcos x (aR，其中e是自然对数的底数).(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x0，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间(0，)上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.小结：题型二利用导数研究生活中的优化问题例2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品

19、的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.小结：例3设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.小结：课堂训练：1.(2016南通模拟)已知函数f(x)aln x(aR).(1)求f(x)的单调区间；(2)试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.2.(2016苏北四市调研)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0)；月需求量为y2万吨，y2x2x1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.课堂小结：布置作业：22