高考数学2.4 幂函数与二次函数 文

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1、2 2. .4 4幂函数与二次函数幂函数与二次函数-2-3-知识梳理考点自测1.幂函数(1)幂函数的定义:形如(R)的函数称为幂函数,其中x是,是.(2)五种幂函数的图象y=x 自变量 常数 -4-知识梳理考点自测(3)五种幂函数的性质 R R R 0,+) x|xR,且x0 R 0,+) R 0,+) y|yR,且y0 增 x0,+)时,增,x(-,0)时,减 增 增 x(0,+)时,减,x(-,0)时,减-5-知识梳理考点自测2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.f(x)=ax2+bx+c(a0) f(x)=a(x-h)2+

2、k(a0) (h,k) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) x1,x2 -6-知识梳理考点自测(2)二次函数的图象和性质 -7-知识梳理考点自测-8-知识梳理考点自测1.幂函数y=x在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x(0,1)时,越大,函数值越小;当x(1,+)时,越大,函数值越大.-9-知识梳理考点自测-10-知识梳理考点自测 -11-知识梳理考点自测2.(教材习题改编P39A组T1(1)已知函数y=x2+ax+6在内是增函数,则a的取值范围为()A.a-5B.a5C.a-5D.a5C3.如图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大

3、小关系为()A.abcB.abcC.bcaD.acbD解析解析:根据幂函数的性质,可知选D. -12-知识梳理考点自测A.bacB.abcC.bcaD.cabA1或2 -13-考点一考点二考点三幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质例1(1)若幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()(2)已知幂函数 (nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)内是减函数,则n的值为 ()A.-3B.1C.2D.1或2CB-14-考点一考点二考点三(2)因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.又幂函数f(x)在(0,+)内是减函数,所以n2-3n0时,幂

4、函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)内单调递增.(3)当1时,曲线下凸;当01时,曲线上凸;当cb -17-考点一考点二考点三求二次函数的解析式求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式.-18-考点一考点二考点三-19-考点一考点二考点三思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式?解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交

5、点式.-20-考点一考点二考点三对点训练对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为.f(x)=x2+2x 解析解析:因为f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a0),此时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a.因为f(x)有最小值-1,因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x. -21-考点一考点二考点三二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质(多考向多考向)考向1二次函数在闭区间上的最值问题例3(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上有最大值2,则a的值为;(2)若函数y=x2-2

6、x+3在区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为.-1或2 1,2 -22-考点一考点二考点三解析解析: (1)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a.当a1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2.综上可知,a=-1或a=2.(2)作出函数y=x2-2x+3的图象如图所示.由图象可知,要使函数在区间0,m上取得最小值2,则10,m,从而m1.当x=0时,y=3;当x=2时,y=3,所以要使函数取得最大值为3,则m2.故所求m的取值范围为1,2.思考如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?-23-考点一考点二考点三考向2与二次函数有关

7、的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.-24-考点一考点二考点三思考如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)?-25-考点一考点二考点三考向3与二次函数有关的恒成立问题例5(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,则k的取值范围为.(-,1) -26-考点一考点二考点三解析解析:(1)作出二次函数f(x)的草图,对于任意xm,m+1,都有f(x)k在区间-3,-1上

8、恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上递减.g(x)min=g(-1)=1.k0,且a0),若对任意的x11,2都存在x2-1,2,使得f(x1)0,f(1)0或a0.当a0时,由f(1)=a+(a+1)+a2-40,得0a1;当a0,得a0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;当0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.-35-考点一考点二考点三1.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,那么交点一定是原点.2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a0.当题目条件中未说明a0时,就要分a=0和a0两种情况讨论.