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1、会计学1计算三重积分详细方法计算三重积分详细方法第一页，编辑于星期三：一点 十二分。2第1页/共26页第二页，编辑于星期三：一点 十二分。3一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结第2页/共26页第三页，编辑于星期三：一点 十二分。4规定：简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标 + z 坐标第3页/共26页第四页，编辑于星期三：一点 十二分。5柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面rz第4页/共26页第五页，编辑于星期三：一点 十二分。6如图，柱面坐标系中的体积元素为于是，再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。一般，先对 z 积分
2、，再对 r ，最后对 积分。第5页/共26页第六页，编辑于星期三：一点 十二分。7例1 利用柱面坐标计算三重积分其中解(1) 画 图(2) 确定 z，r， 的上下限将 向 xoy 面投影，得或过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得44第6页/共26页第七页，编辑于星期三：一点 十二分。84即过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得于是，第7页/共26页第八页，编辑于星期三：一点 十二分。9第8页/共26页第九页，编辑于星期三：一点 十二分。10解求交线：xyz将 向 xoy 面投影，得或第9页/共26页第十页，编辑于星期三：一点 十二分。11xyz即过 (r, )D 做平行于 z 轴
3、的直线，得或第10页/共26页第十一页，编辑于星期三：一点 十二分。12例3 计算三重积分其中 是由曲解将 向 xoy 面投影，得或HH过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得第11页/共26页第十二页，编辑于星期三：一点 十二分。13即或过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得HH第12页/共26页第十三页，编辑于星期三：一点 十二分。14即第13页/共26页第十四页，编辑于星期三：一点 十二分。15规定：第14页/共26页第十五页，编辑于星期三：一点 十二分。16如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面球面坐标与直角坐标的关系为第15页/共26页第十六页，编辑于星期三：一点 十二
4、分。17球面坐标系中的体积元素为如图，再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。第16页/共26页第十七页，编辑于星期三：一点 十二分。18例4 用球面坐标计算其中解画 图。确定 r， ， 的上下限。(1) 将 向 xoy 面投影，得(2) 任取一过 z 轴作半平面，得(3) 在半平面上，任取一过原点作射线，得第17页/共26页第十八页，编辑于星期三：一点 十二分。19(3) 在半平面上，任取一过原点作射线，得即第18页/共26页第十九页，编辑于星期三：一点 十二分。20第19页/共26页第二十页，编辑于星期三：一点 十二分。21例5 计算其中
5、由曲面和围成。将 向 xoy 面投影，得 任取一过 z在半平面上，任取一过原点作射线，得解轴作半平面，得第20页/共26页第二十一页，编辑于星期三：一点 十二分。22即在半平面上，任取一过原点作射线，得第21页/共26页第二十二页，编辑于星期三：一点 十二分。23解由三重积分的性质，有第22页/共26页第二十三页，编辑于星期三：一点 十二分。24解由三重积分的性质，有第23页/共26页第二十四页，编辑于星期三：一点 十二分。25柱面坐标的体积元素球面坐标的体积元素柱面坐标球面坐标第24页/共26页第二十五页，编辑于星期三：一点 十二分。26第25页/共26页第二十六页，编辑于星期三：一点 十二分。
计算三重积分详细方法学习教案
