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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020届全国第二次（3月）在线大联考（山东卷）数学（理）试题一、单选题1已知集合，集合，则AB或CD【答案】C【解析】【详解】由可得，解得或，所以或，又，所以，故选C2已知为虚数单位，若复数，则ABCD【答案】B【解析】【详解】由可得，所以，故选B3命题：的否定为ABCD【答案】C【解析】【详解】命题为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题的否定为，故选C4设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为A或11B或11CD【答案】A【解析】【详解】圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得
2、，解得或，故选A5函数的图象大致为ABCD【答案】D【解析】【详解】由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，所以排除选项A、C，故选D6设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为A8B16C24D36【答案】B【解析】【详解】方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B7年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，
3、若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为ABCD【答案】B【解析】【详解】甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B8在棱长为的正方体中，为线段的中点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为ABCD【答案】C【解析】【详解】分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设的外心为，则，设球的球心为，半径为，则，所以，解得，所以，所以球的表面积为，故选C二、多选题9某校高三年级共有名学生参加了数
4、学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是 （ ）AB这名学生中数学成绩在分以下的人数为C这名学生数学成绩的中位数约为D这名学生数学成绩的平均数为【答案】BC【解析】【详解】由频率分布直方图可知，解得，故A不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故B正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故C正确；对于D，这名学生数学成绩的平均数为，故D不正确综上，正确答案为BC10设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（ ）A若，则B若为R上的增函数，则C若，则D函数为R上奇函数【答案】AB【解析】【详解】
5、对于选项A，因为，所以，所以选项A正确；对于选项B，欲使得该函数为增函数，则满足，解得，所以选项B正确；对于选项C，使得，此时且，与条件不符，所以选项C错误；对于选项D，该函数为非奇非偶函数，所以选项D错误，综上只有选项AB符合题意，故选AB11已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A若，则B若为R上的增函数，则C若，则D函数为R上奇函数【答案】BCD【解析】【详解】对于选项A，所以选项A错误；对于选项B，因为，所以，所以，所以函数的图象是轴对称图形，所以选项B正确；对于选项C，易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的最大值即可当时，且，令，得，可知函数在处取得
6、最大值为，所以选项C正确；对于选项D，由，得，所以函数的最小值为，所以选项D正确故选BCD12双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A双曲线C的离心率为B双曲线与双曲线C的渐近线相同C若，则的面积为D的最小值为2【答案】ABC【解析】【详解】对于选项A，因为所以，则离心率为，所以选项A正确；对于选项B，它们的渐近线都是，渐近线相同，选项B正确，对于选项C，结合，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，则直线PF的方程为，即，联立方程组，解得，故点，所以的面积为，故选项C正确；对于选项D，因为点，其中一条渐近线的方程为，所以的最小值就是点
7、F到渐近线的距离，因为该距离为，所以选项D错误，综上，只有选项ABC正确，故选ABC三、填空题13函数的定义域是_（写成区间的形式）【答案】【解析】【详解】要使函数有意义，需满足，即，解得，故函数的定义域是14设为锐角，若，则的值为_【答案】【解析】【详解】为锐角，故.15如图，在菱形ABCD中，AB=3，E，F分别为BC，CD上的点，若线段EF上存在一点M，使得，则_，_（本题第1空2分，第2空3分）【答案】 【解析】【详解】根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有 .16已知是函数的极大值点，则的取值范围是_【答案】【解析】【详解】方法一：令，则，当，时，单调递减，时，且，在上单调递增，
8、时，且，在上单调递减，是函数的极大值点，满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，时，所以，这与是函数的极大值点矛盾综上，方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，由知须在的左侧附近，即；在的右侧附近，即易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得四、解答题17 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）已知的内角，所对的边分别为，三边，与面积满足关系式：，且 ，求的面积的值（或最大值）【答案】见解析【解析】【详解】若选择，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到， 将代入，得又，当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为，此时 若选择，结合三角
9、形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则，此时为等腰直角三角形，.若选择，则结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则18已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：【答案】(1) （2）证明见解析【解析】【详解】（1）因为，所以，所以，即，又因为，所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，则，即.设的公差为，则，所以（），则（），所以，因此，综上，（2）设数列的前n项和为，则两式相减得，所以， 设则，所以.19如图所示，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足ADBC，E为AD的中点，AC与BE的交点为O.（1）设H
10、是线段BE上的动点，证明：三棱锥的体积是定值；（2）求四棱锥的体积；（3）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【详解】（1）因为底面ABCD为梯形，且，所以四边形BCDE为平行四边形，则BECD，又平面，平面，所以平面， 又因为H为线段BE上的动点，的面积是定值，从而三棱锥的体积是定值. （2）因为平面，所以，结合BECD，所以，又因为，且E为AD的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以，结合，则平面，连接，则， 因为平面，所以，因为，所以是等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，所以，且，所以平面，所以PO是四棱锥的高，又因为梯形ABCD的面积为
11、，在中，所以.（3）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则B（，0，0），C（0，0），D（，0），P（0，0，），则，设平面PBD的法向量为，则即则，令，得到， 设BC与平面PBD所成的角为，则，所以，所以直线BC与平面PBD所成角的余弦值为20某景点上山共有级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；（2）证明：数列是等比数列；（
12、3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析 （3）【解析】【详解】（1）由题可得的所有可能取值为，且，所以的分布列为所以的数学期望 （2）由题可得，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列（3）由（2）可得21设函数f(x)=x24xsinx4cosx （1）讨论函数f(x)在，上的单调性；（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点【答案】见解析【解析】【详解】（1）f(x)=2x4xcosx4sinx+4sinx=， 由f(x)=0，x，得x=0或或当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x0f(x)0+00+f(x)单调递
13、减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增（2）由（1）得极大值为f(0)=4；极小值为f()=f()f(0)0，所以f(x)在，上各有一个零点 显然x(，2)时，4xsinx0，x24cosx0，所以f(x)0；x2，+)时，f(x)x24x462464=80， 所以f(x)在(，+)上没有零点因为f(x)=(x)24(x)sin(x)4cos(x)=x24xsinx4cosx=f(x)，所以f(x)为偶函数，从而x0，即f(x)在(，)上也没有零点故f(x)仅在，上各有一个零点，即f(x)在R上有且仅有两个零点22设椭圆的右焦点为，过的直
14、线与交于两点，点的坐标为（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围【答案】(1) AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）【解析】【详解】设.（1）因为直线的倾斜角为，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，故线段AB的中点的横坐标为（2）根据题意得点，若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理得，则，设直线BM、CM的斜率分别为、，则，即=，即M，B，C三点共线 （3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，设，联立方程组，消去并整理，得，由，整理得，又，所以， 结合，得，当时，该直线为轴，即，此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意； 当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，再结合，得到，即，综上，得到实数的取值范围是专心-专注-专业
2020届全国第二次(3月)在线大联考((山东卷))数学(理)试题(解析版)
