中考数学专题20特殊平行四边形

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1、学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：3课 题特殊平行四边形教学目的教学内容一、【中考要求】掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，掌握矩形、菱形、正方形的性质，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件。二、【三年中考】1(2008台州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OEa，则菱形ABCD的周长为()A16a B12a C8a D4a解析：在菱形ABCD中，ACBD，又OE平分AB，AB2OE2a，菱形ABCD的周长为8a.答案：C2(2009杭州)如图，在菱形ABCD中，A110，E，F分别

2、是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC()A35 B45 C50 D55解析：过F作FNAB，交PE于点N，则FNEP且FN平分EP，FEFP，FEPFPE，FPCFEB55.答案：D3(2010舟山)如图，边长为(m3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()A2m3 B2m6 Cm3 Dm6解析：设另一边长为a，由面积法可得：(m3)2m23a，a2m3.答案：A4(2008温州)如图，菱形ABCD中，A60，对角线BD8，则菱形ABCD的周长等于_解析：菱形ABCD中，ABAD，又A60，ABD是

3、等边三角形，ABBD8，菱形ABCD的周长是32.答案：325(2010丽水)如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD，BC上一点在AECF，BEDF，12中，请选择其中一个条件，证明BEDF.(1)你选择的条件是_；(只需填写序号)(2)证明解：(解法一)(1)选_；(2)证明：ABCD是正方形，ABCD，ACRt.又AECF，AEBCFD.BEDF.(解法二)(1)选_；(2)证明：ABCD是正方形，ADBC.又BEDF，四边形EBFD是平行四边形BEDF.(解法三)(1)选_；(2)证明：ABCD是平行四边形，ABCD，ACRt.又12，AEBCFD.BEDF.6(2008湖州)如图，在

4、ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE.(1)求证：BDECDF.(2)请连结BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由证明：(1)CFBE，EBDFCD.又BDECDF，BDCD，BDECDF.(2)四边形BECF是平行四边形由BDECDF，得EDFD.BDCD，四边形BECF是平行四边形三、【考点知识梳理】（一）矩形的定义、性质和判定1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点3判定：(1)

5、有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形（二）菱形的定义、性质和判定1定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形3判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形（三）正方形的定义、性质和判定1定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形2性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直

6、平分，每条对角线平分一组对角3判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形温馨提示：1. 矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质；2. 平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键。（四）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系四、【中考典例精析】类型一 矩形的性质与判定(1)如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若ADC20，则BDC的度数为_例1(1)题例1(2)题(2)如图，已知矩形ABCD中

7、，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EFEC，DE4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长【点拨】(1)本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设BDCx，则ADB(90x)，x90x20，x55.(2)本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质【解答】(1)55(2)解：在RtAEF和RtDEC中，EFCE，FEC90，AEFDEC90.而ECDDEC90，AEFECD.又FAEEDC90，EFEC，RtAEFRtDCE，AECD.矩形ABCD的周长为32 cm，ADAE4，2(AEAE4)32解得AE6(cm)类型二 菱形的性质与判定(1)已知菱形的两对角线长分别为6

8、 cm和8 cm，则菱形的面积为_ cm2.(2)如图，已知菱形ABCD的一个内角BAD80，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BEBO，则EOA_度(3)如图，在ABCD中，EFBD，分别交BC、CD于点P、Q，交AB、AD的延长线于点E、F.已知BEBP.求证：EF；ABCD是菱形【点拨】本组题考查菱形的面积公式和菱形的性质与判定【解答】(1)24S菱形6824.(2)25在菱形ABCD中，BAD80，BAO40，ABO50，又BEBOBOE65.又AOB90，EOA25.(3)证明：在ABCD中，BCAD，1F.BEBP，E1.EF.BDEF，2E，3F.EF，23，ABAD，

9、ABCD是菱形方法总结：条件中有菱形时，除了应用菱形的性质外，同时也可以应用平行四边形的性质。类型三 正方形的性质与判定(1)下列说法不正确的是()A一组邻边相等的矩形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的矩形是正方形D有一个角是直角的平行四边形是正方形(2)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连结BE、DF，12，34.证明：ABEDAF；若AGB30，求EF的长【点拨】(1)当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形(2)考查正方形的性质【解答】(1)D(2)四边形ABCD是正方形，ABAD.在ABE和DAF中，A

10、BEDAF.四边形ABCD是正方形，1490.34，1390，AFD90.在正方形ABCD中，ADBC，1AGB30.在RtADF中，AFD90，AD2，AF，DF1.由得ABEADF，AEDF1.EFAFAE1.方法总结：正方形的性质和判定是平行四边形知识的综合，是中考命题的热点之一，解决正方形问题的关键是理解正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的关系。五、【易错题探究】在菱形ABCD中，DAB120，如果它的一条对角线长为8 cm，求菱形ABCD的边长【解析】分两种情况，连结AC，若对角线AC8 cm.由菱形性质知，BACBAD60，ABC60.ABC是等边三角形，即菱形ABCD的边长为8

11、cm.连结BD，若对角线BD8 cm.ABC180DAB60，OBBD4.OBAABC30，OAAB，由OA2OB2AB2.所以AB4.6 cm.所以菱形ABCD的边长为4.6 cm.由、知菱形ABCD的边长为4.6 cm或8 cm.【易错警示】由条件“菱形的一条对角线长为8 cm”可知，有AC8 cm或BD8 cm两种情况，只凭主观印象作出结论易漏解六、【课堂基础检测】1把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB3 cm，BC5 cm，则重叠部分DEF的面积是_ cm2.答案：5.12如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AEAC，则BCE的

12、度数是_.答案：22.53如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？解：(1)四边形EFGH为平行四边形，连结AC.E、F分别是AB、BC的中点，EFAC，EFAC.同理HGAC，HGAC.EFHG，EFHG.四边形EFGH是平行四边形(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等七、【课后达标练习】一、选择题1菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为()A31 B41 C51 D61解析：由已知可求出菱形的一个内角为30，另一个内角

13、为150 .答案：C2如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为()A90 B60 C45 D30解析：连结AC，可证得ACB是等腰直角三角形，ABC的度数为45.答案：C3如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DEAC交BC的延长线于E，则图中与ABC全等的三角形共有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：根据矩形的性质，CDA、BAD、DCB与ABC全等，因为DEAC，所以CDEDCA，因为CDDC，ADCECD，所以ADCECD，所以与ABC全等的三角形有4个，故选择D.答案：D4如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC6，BD8，则此菱形的边

14、长为()A5 B6 C8 D10解析：菱形的两条对角线互相垂直平分，则由勾股定理得菱形的边长是5.答案：A5下列命题中，真命题是()A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C圆的切线垂直于经过切点的半径D垂直于同一直线的两条直线互相垂直解析：注意真命题是正确的命题A错在对角线还应互相平分，B错在等腰梯形不是中心对称图形，D错在结论应是互相平行答案：C6如图，菱形ABCD中，AB15，ADC120，则B、D两点之间的距离为()A15 B. C7.5 D15解析：ADC120，A60.ADAB，ABD是等边三角形ABBD15.即B、D两点之间的距离为15.答案

15、：A7如图，矩形ABCD中，ABAD，ABa，AN平分DAB.DMAN于点M，CNAN于点N，则DMCN的值为(用含有a的代数式表示)()Aa B.a C.a D.a解析：设AN与DC交于点P，可证DMPM，CNPN.设DMx，则CNPNax，DMCNa.答案：C8如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与BEG相等的角的个数为()A4 B3 C2 D1解析：与BEG相等的角有HEG、EAH、EHA共3个答案：B二、填空题9如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长

16、方形的周长可以是_解析：因为所拼成的长方形有三种情况，易得周长分别为14或16或26.答案：14或16或2610如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2 010米停下，则这个微型机器人停在_点解析：机器人每走8米为一循环，余数为2，则最终停在C点答案：C11如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C处，折痕为EF，若ABE20，那么EFC的度数为_度解析：在矩形ABCD中，ABE20，AEB70.点D与点B重合，BEFDEF55，ADBC，BFEDEF55.EFC18055125.点C的对应点是C，EFC1

17、25.答案：125三、解答题12如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD.(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AB6，BC8，求四边形OCED的面积解：(1)四边形OCED是菱形DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OCOD，四边形OCED是菱形(2)连结OE.由菱形OCED得CDOE，OEBC，又CEBD，四边形BCEO是平行四边形OEBC8，S四边形OCEDOECD8624.13如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形

18、AFCE是矩形解：(1)在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，DAC30.又ADE为等边三角形，DAE60.CAEDAEDAC30.(2)由(1)知，EAF90，由F为AB的中点知，CFA90，CFEA.在等边三角形ABC中，CFAD.在等边三角形ADE中，ADEA.CFEA.四边形AFCE为平行四边形又CFA90，四边形AFCE为矩形14如图所示，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.(1)求证：AFCE；(2)若ACEF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论证明：(1)在ADF和CDE中，AFBE，FADECD.又D是AC的中点，ADCD.ADFCDE，ADFCDE，AFCE.(2)若ACEF，则四边形AFCE是平行四边形由(1)知AFCE，AFCE，四边形的AFCE是平行四边形，又ACEF，四边形AFCE是矩形