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1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(17-40):三角形面积公式的向量式(458) 1179 三角形面积公式的向量式 母题(17-40):在ABC中,若=(x1,y1),=(x2,y2),则SABC=|x1y2-x2y1|.解析:由SABC=|sinA=|x1y2-x2y1|.点评:我们把上述三角形面积公式称为三角形面积公式的向量式,该面积公式在解析几何中有广泛且深刻的应用. 子题(1):(原创题)在四边形ABCD中,若对角线向量=(x1,y1),=(x2,y2), E D则四边形ABCD的面积S= .
2、F C解析:作平行且等于,DFAC交AE于F,则点E到直线AC的距离h=点E到 G直线DF的距离h1+点F到直线AC的距离h2;由DEFABG(G是AC与BD的交点) A B点B到直线AC的距离=h1;由DFAC点D到直线AC的距离=h2四边形ABCD的面积S=ABC的面积+ACD的面积=|AC|h1+|AC|h2=|AC|(h1+h2)=|AC|h=ACE的面积=|x1y2-x2y1|. 注:在四边形ABCD中,若对角线向量=(x1,y1),=(x2,y2),则四边形ABCD的面积S=|x1y2-x2y1|. 子题(2):(2014年四川高考试题)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛
3、物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C) (D)解析:设A(a2,a),B(b2,b),则ABO的面积=|a2b-ab2|,由F(,0)AFO的面积=|a|;由=2(ab)2+ab=2ab=-2(ab0)ABO与AFO面积之和=|a2b-ab2|+|a|=|a-b|+a=a+a=a+3.故选(B). 注:由于抛物线上的点易于用参数表示,所以,有关抛物线上的点构成的三角形面积问题,可用其向量式解决. 子题(3):(2013年全国高中数学联赛辽宁预赛试题)椭圆+=1(ab0)的离心率为,斜率为1且过点M(b,0)的直线与
4、椭圆交于A、B两点.设O为坐标原点,若=cotAOB,则该椭圆的方程是 .解析由e=a=2b;又由=cotAOB|sinAOB=SAOB=;把直线y=x-b代入椭圆得:5x2-8bx=0A(0,-b),B(,)SAOB=|-b|=b2=b2=4a2=16椭圆:+=1. 注:在ABP中,=2mcotAPBSAOB=m. 子题系列:1.(2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内,己知点A(1,3),点B(3,1),若点C在抛物线y2=-2x上,则ABC面积的最小值是 .2.(2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系xOy中,AB
5、C的两个顶点是A(3,0), 1180 母题(17-40):三角形面积公式的向量式(458) B(0,4),若点C在抛物线y2=-2x上,则ABC的面积的最小值是( ) (A) (B) (C) (D)3.(2013年全国高中数学联赛试题(A卷)在平面直角坐标系xOy中,点A,B在抛物线y2=4x上,满足=-4.F是抛物线的焦点,则SS= .4.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(,-)且与抛物线交于A、B两点,向量,若点C位于抛物线的弧AOB(O为坐标原点)上,则ABC的面积最大可达到( )(A) (B)5 (C)10 (D)
6、205.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆+=1,过椭圆中心的直线l交椭圆于A、B两点,且与x轴成600角,设P为椭圆上任意一点,则PAB的面积的最大值是 .6.(2012年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若FAB的面积为8,则直线l的斜率为 .7.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知平面直角坐标系内的点A(2,2)和B(4,-1),又点P在椭圆+=1上,则PAB的面积的最小值是 ,这时P点的坐标是 .8.(1998年第九届“希望
7、杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆+=1的内接三角形的最大面积是 . 子题详解:1.解:设C(-2t2,2t),则=(-2t2-1,2t-3),=(-2t2-3,2t-1)SABC=2t2-2t+4.2.解:设C(-2t2,2t),则=(-2t2-3,2t),=(-2t2,2t-4)SABC=4t2-3t+6.故选(A).3.解:设A(a2,2a),B(b2,2b),由=-4ab=-2SS=|ab|=2.4.解:由F(1,0)kFM=-1直线l:y=x-4A(6+2,2+2),B(6-2,2-2),设C(t2.2t)(1-t0),则B(-x,-x),16x2+9(x)2=916x=;设P(3
8、cos,4sin)=(3cos-x,4sin-x),=(3cos+x,4sin+x)PAB的面积=|3cos-4sin|=12.6.xyOBAF解:设A(x,kx)(k0,x0),则B(-x,-kx),x2-3(kx)2=12x2=x=;由F(4,0)=(x-4,kx),=(-x-4,-kx)FAB的面积=|(x-4)(-kx)+(x+4)(kx)|=4kx=;由=8=1k2=1-3k2k=.7.解:设P(3cos-2,2sin+1)FAB的面积=|4sin+9cos-14|(14-),P(-2,+1).8.解:设A(acos,bsin),B(acos,bsin),C(acos,bsin)内接ABC的面积=ab|(cos-cos)sin+(sin-sin)cos-sin(-)|ab|-sin(-)|=ab|2sin-sin(-)|ab.
40三角形面积公式的向量式
