工程数学线性代数课后答案

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1、同济大学数学系习题一习题解答1-利用对角线法则计算下则三阶行列式;201abc(1)L-4-14 fbawt-183cab111JC7H+ JabCtyX+ yX2 a胪r2X+ jXy解(1)原式二2X(-4) X3 + 0X (1)x(-1)+1X1X8-lx(-4)x(-l)-2x(-)xg-0xlx3=-4?(2) 原式=ach bac 十 cba - c* - a3 - 61 3abc - a3 b3 cy i(3) 原式二1讣弋2十 1弋+ 护一=be1 + ca1 + ab2 ba1 cb2 # Je2(b a)+ ab(ba) c(bL - a1) ac)(c ?);(4) 原

2、式=工(鼻 + jx(需+ y) + (jc + yw (工 +，F - 一 j?=-2(宀；/)2. 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数：(1) 1234；(2) 4132；3421：2 4】3：(5) 13(2jj 1)2 4(2?)；(6) 13(2 -1)(2n)(2n -2)2*解(I)此排列为自然推列*其逆序数为(h(2) 此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元 素3的逆序数为X末位元盍2的逆序数为2令披它的逆席数为0+ 1 + 1+2=4;(3) 此排列的前两位元素的逆序数均为山第3位元素2的逆序数为2;末 位元素1的逆序数为3披它的逆序数

3、为Q + 0 + 2 + 3 = 5;(4) 类働干上Ifi,此排列的从首位元素到末炕元素的逆序数依次为0、仇2, 故它的逆序数为0 + 0十2+1=3：(5) 注意到这2川个数的排列中，前沖位元累之间投有逆序对”第托卡1位 元素2与它前面的亓-1个数构成逆序对”故它的逆序数为打-X同理，第u+2 倍元察4的逆悍数为 -2；未位元素2的逆悸数为0*故此排列的逆弊数为(期+柑-2) + * + O = -h(j - 1);(6) 与(5相仿，此播列的前 + 1位元累没有逆序对$第算+2位元累 (2n-2)的逆序数为2傑 + 3位元素2n -4与它前面的2” -3,2舁-12心 2n2构成逆序对，

4、故它的逆序为4厂r来位元素2的逆序数为2(/t -1),故此 排列的逆序数为 2 + 4 + 4 + 2( - 1) = /t( - J).3. 写出四阶行列式中含有因子心却的项.解 由押列式建义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累* 而它们又分别位于第2列利第4列，的叱和弘或和.注您到排列口24与1342的逆序數分别为1与2,故此行列式中含有的项为412 42 4112 0 23-121: 10 5 2 012 3 20 11750 6 24.计算下列各行列式:3同济大学数学系#同济大学数学系ah阳hfac一 cd叮aede-efa-I001b-101202120241244口0-

5、72-410520n-IOr,0-152-2001170 1011711202|1202011心* 15门P1b7-152-20017850-72-4；1Io0945-1dD=0 （因第3.4 tT成比例）;12222515102I04636=0 (固有两行相同”4同济大学数学系5同济大学数学系-bcf-1 1 囂C| T tb c z * abcdef1 -1 1bcC*3 T F1 1 -1 4abc(Uf *jfi a(3) D adfrj v aabcdef-L 1 10 0 20.2 00 i +沙 1 b0 - 10 01 + a-1 c0 -I1 4-10ad1 + cd0=(1

6、 + ai )(1 4* ad5.求解下列方程：-1(1)1互不相等.鸣(7(F解左式=肓芍=（*）(龙 + 3 尤十3)1 + ad-1 1+cJ=0$其中 a,b,c=(工 + 3)(/3).于是方程的解为:j| = 3rx2 =V3, jj = *75;6同济大学数学系(2) 注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例12的结果得 - b)(ct - C ) ( A -匚)=0.因sb互不相等，故方程的解为山产力皿=C6证明:a2 ab b12a a + b 2 = (a 一 fr)3:1 1 1ax + by ay + bz az 4 biay + ba az + bx qjc 4- b

7、yaz + bx ax 十 by ay + bz= (/ + )yz7同济大学数学系卅(a + l)2 (口十 2) (a -h3)2 61(6+l)z (6 + 2)2 GT)?X (c 十 1)，(c + 2)12 十 3尸f (rf + 1)2 (T + 2 尸 2 + 3 尸aa1bed b2 c2 d1 b4 / J4=(a - b)(a- c)(a - db - c(b - d)(c - d)(a + b c d)证a3 - f?1 ab -子 b22(a b) a - b lb0 0 1fi *2c*i0 a b 260 0 1(L左式=(a - 6)J * 右式;(2)将左式按

8、第1列拆开得ax ay + bz az + biby ay + bz az + bx左式=ay az + b工 ax + by十bz az + bx ar + by=aD, + bD21a z cur + by ay + bzbx ax + by ay 4 bz#同济大学数学系8同济大学数学系其中ar + Ztr3：十妙uy + bz“一屁ia y az + Aj? x s at + by yj u.x + byC7 一 C Iar + uj I by ay 十 bzy haz + bxZ -Tg + by工 yay + bzjry士y% X1z工 y#同济大学数学系H ， 土于是D = D

9、+ BD厂沪)y =上卜右式*z jt y(3)左式=c; 2 + 1b1 2Z? + 12w + 326 + 52c 4-3#同济大学数学系#同济大学数学系2d + 3宀一rtri-ao左式1000ftp gfF2a + I2d + l2r + I2卄11b ab(tj - a22221=0 (因有前列拥同n1d - a- a)(b1 - aa ) J(f-J)屮(屮卫)(b q )(rf - abed(k + a) cl c a (d a)#同济大学数学系#同济大学数学系Fi -& + a )rj:X b - a)c ad a)0 c b d b0 x yb d-bi y具中：j: = c

10、：(r + (Zt)(i + ii) c(cJ + ac - at c(q + + c)(c - 6)： 萝 口屮(ti + a ) - 6d(Z+u)J(a + b + rf )(/ fr) L ( U + Z* + C ) t/(u + b + tl)-(c - b)(d b)d(u + b + d - c(a +c)-(c b)(d b)(d c)at + i) + dz - c= (c-/)(d-fr(d-c)(a + fr + c + if)t禺此*左式=(存-口)()(d - r)(a + Zf +匚十川=右式” (5) EE- 递推按一按第1列廡开，以建立递推公式.-1JT -

11、1%严吗1”4K=工D. + -l)zra4 =工亠 + %” 又归纳基础为：(注宜不是工人于是D#t, -jcD, + a.=j( jD,-( + Ht)* flajfD + a,_ i x11 + *- + a( j: + an % + atx + ft； j + + ua -证二按最后一行展开猖9同济大学数学系冋7.设阶石列式曲(务人把d上下翻转咸逆时针碇转g叭或依副对甬线翻转，依阮得10同济大学数学系证 仃)先计算口，为此通过交换行将久变换盛，从面找出D,与D 的关轧D,的杲后一行是D的第I行杷它依次可前面的行交换直至换刮第I行共进行刑-L次仝换;这时昴后一行是D的第2行，把它依次与前

12、面的行交 换，直至换到第2行，共世行 -2次交換；一，玄至毘后一行是D的第n-1 行再通过一次交换将它换到第卄】抒,这样就把D,变挽成D.共进行(n - I) + ( M - 2) +1 = -5-ii(h _0衣交摆，故D严(1扣“和入注 T上述交撫行列式的行(列)的方淡*在解腫时，经常用到.它的特点垦 在把嫌后一行换到某一行的同时保捋其余” -1牛行之间原冇的先石次序(但 斤的序号可盅改亚*才同理把D產右翻转所得行狎式为(-1汁小D.计算注意到D,的第1 2行恰好依次是D的第1列，抜若把0上下翻转得戸”啊D1的第】，2，行依次是D的第1, 2宀列即DD于是由I)03 = (- l)iun(

13、3) 计算D*注倉到芝耙口逆时针施转90*方；则戸的第仁2,小 列枪好是D的第科-1,1列，于是再把D左右關暮就得到D.由(D之注 及.有nl = (-1)T(ci 1)Jl(il f!)(a - I)*-1 (a - n*_捉示：利用范腮蒙鳴行列式的结果. d1h =bx其中未写出的元索都是S(5) DdetCaJ.其中划=IDm =，其中旳巴0工0.(1) ffi-JII T把6按第一行展开得0 U0D” =护 + (-1)小峯第一刑圧开a1 1)-解二由例10(2) +M+ D是核材例*中行列式的一般形式，它迪一牛菲常頁用的行列 式.在且后各章中有不少应用.解利用各列的元素之和相同,提取

14、公因式.= (x-g)，LX + (ji - I )a,(3) 9把所给行列式上下SI转，即为范穗眾德行列式，若再将它左右翻 转，由于上下嘲转与庄右拥转所用交換次数相等，枚行列式经上下翻转再左右翻 转(相当于转怡(T,舉看题7)其值不变.于是按范禅蒙德行列式的结果可得1 1 * 】a - n a - jf + 1a_*口hi =*，* =匚(i j):文 a+i(u - rr)* (a - Fi + ),r* a(4) 解 本題与(Hlltt仿，懈法也大致相同，用递推法. ! BTi0- Dk.-AiW 10 y（斗心呕询即有递推公式D* = (aKd. f.QD我另一方面,归纳基珊为0厂 5

15、? 町利用这些结果，递推得I G如D* = (a.d.-卜山.)(4右一乩角)=| (乩-). I久=1-1-1V *V V1-1(6)解 卅曲行列式牝为上三幽形冇列式.为此.从第2置观*各行均减去 第I行得与4ll.3tt的行列式215同济大学数学系#同济大学数学系茸中b = 1十叭十叭舟+ =叭（1 * 右）于是h0乍右）1 -1 2D的元的代诙余子式i己作儿求 I13-40 1 -53-SA” + 3Ajj 2 Ajj * 2A” .媲 与例门相仿，加丸零于用13 -2.2替换D的第 3行对应元素所福行列式.即#同济大学数学系16同济大学数学系2 2 4-2A+2Am=31-11+ 22

16、20I3-201I-530H 2-1401111-100-1-2#同济大学数学系x + 5工4 1,= 24.10.用克拉歐法则解下列方程组：JT| + Xi + Xj + J：4 = 5;t. + 2x2 - .Ft + 4z* = - 2;(1)彳 宀2jT| - 3 J3 5 =1SX| + Tj + 2.rj + I = Ot#同济大学数学系#同济大学数学系11111111D =12-14rl I1 -232 -3-15也-10-5-3-7312Lil二 Jr02 -18111ii01-23Lii1738 142;r00-13n0151400-5#同济大学数学系5l1ll15111-2

17、2-14 _21i.3305 2- 3 1- 51屯* II 3 20-4012n I，+ 2rt| -1C-10917同济大学数学系#同济大学数学系按f3展开2723i -10-22-)0-1-2 3-3 -7-L 8#同济大学数学系18同济大学数学系-7-2-1233-15-13-3123-13-31 -284;1151115112-2401-732-3-2*5n-2n0-5-12731611r40-2- 158331-7E 1-4780 1-2914=_42&#同济大学数学系-29115|1L】5J21-2口 -r*0I 7! -7-2 -312r*0-5 7J -12r4 - Jg31

18、210-2 71I15+ 5r.01-2-713 47= 142,+ 2rt0-13-47-5-2900-5-29(*)由克拉默法则得5 & 0 05 6 06 0 015 6 0JK 幵S15 615 60 15 60 1 50 1 50 D I 5D二550甘石2二甘二3,斗二卡二-114,3于是 D = 325-114 = 211|5 6 06 0 015 6一5 6 0|u L 5L 5 6me* 武Hr c； Ri i .亠131 ；5100160500Dj =1060056+160(J05601505(J115=-19 + 180= 161 t56015 05 6 00 1 6-1

19、 5 00 0 50 1 6= 5-114 = 109;56 0111565 6 015 & 0做心MJF0154-15 6015 (J0 0 10150 0 1 1|副*】式1 + 65 = 64.由克拉默陆则，得20同济大学数学系#同济大学数学系miXa0, iip-nr_ _ 64巧一万二-血山产#同济大学数学系口何a屮取何值时再齐次线性方程俎AX) + j3 +-0,彳JT *尸J十直1 = 0, 站 +2/43?! +Xj=0 有非零癖？解 由定理寸此时方程组的暴数行列式必殖为0H 1- - A -P o 故只有当/i = 0sEa = 1时方程组才可能有非零給当尹7原方程组城为Zx

20、i + xa + Xj D0X| + x( = 0.显然X, = hxj I *- 4 tXj53 - 1垦它的一平韭零解;当八口 1佩方程组成为f I + Ji + j i 0* 工* + 巧二0*q +2弹“十 z3 =Q显然心=-1 /严XhL I是它的一个非零屏.因此当严=0或；时方程组有非零解.注 定理5(衣定理5J仅表明齐次巍性方程給蜜有非零解它的系敗行列式必为零.至于这条件是否充分将血集三章中予以解険，目前还是应验证它有非 零解.下飆也是同样情形*12.问A取何值时，齐洗线性方程组1(1 A)jj -2Ji +4ti iS012it + (3 - iT +工汙xi +xa + (

21、i-A)jO有菲零解？若方程级有非零解，由宦理它的系数行列式D = 0.I1; (4 + B)(A -= Af + BA - AB -由(I人 AEMBA ,故 BA 从而(A +i*)(4B久举反例说盟下列侖趙处错课的(1)若 A2Ot则 A = O;若 AA A = O 4=E;若 AX = AY,且则 X = F.解(1)取 A - (A2 = Otffi 4=0;0 0/取A = Q 0),有屮工儿但AH O且AE;取T和叫；)彳;存EW宀工6 但6.设 A = (； ：) 求直接计算得A=1 0屮 0 入UU )26同济大学数学系#同济大学数学系C胱:皿朮:卜翼)一般可诲(2 3)#

22、同济大学数学系事实上当 = 1时.(2-3)式亂然成立；设当k = n时,(2.3)武底立，那么当i = w + 1 JHf#同济大学数学系由归纳扶*知d.3式成立.A107. iS .4 =DA1，求材.004解把A写戲祠个矩阵之和A0 LD1 NA =0A 0+0c L=；戕+ B.00 A.00 0,Q 100 01其屮三拚是阵0 01摘足0 00= O (Jfe3).,0 0c0 0A#同济大学数学系27同济大学数学系于捷 A* 二（AE+ HF+K + H-Cfi*卑 UfE + UfTR+ （：鼻皿 /8.设几为沖阶矩阵，且A为对称阵，证明BtAB也垦对称阵. 证覘据矩阵乘积的转餐

23、规则+有 n2”#同济大学数学系（Bt AJ）t = JUt（Bt）t - Bt （因 A 为对称阵）.故由定义*知BrAB为对称阵.9, 设為/都是r阶对称阵证明AB是对称阵的充要条件是AB - B4 . 证因 AT = A = K.ftAB为对称阵= Afl BT4T = ABBA = AB求下列矩阵的逆阵；#同济大学数学系cos &（3）4-4Lisin 0(1)由二阶方阵的求逆公武(敦材例10)得#同济大学数学系/cos &_ sin dY-1 ccs 9sin0 ain &ct & ieos 0 + sin! 8 sm 9CO30-m13-4-B.-322614%-%_2B2一 16

24、旳01(3) HI Al-1 234-I-2= 2H0,敵百可逆并且5 *414-22 -11Mn-41* -4*1=4三 _2、Mi(=Mu =;11-=15;=6 *M 阳=M 5 J| = -32Af星-152-4=-14M 扫=4于是413cos d 血 &sjn & cos 928同济大学数学系#同济大学数学系I引a工0t -i是有意义的，并且倒，氛于是矩阵B =AB =diag(d| , 5 m, )diag(右*占)曲定理1的推论.知A町臥且& J 沪加（右右*討.注 本题结论值得记取*可普作公式用. 11，解下列矩阵方程：C 一;0101(11-43100X杠012(1-i0J

25、J1Q1-20.22解(门因矩阵約行列式=1不为零*故它可从面用它豹逆矩阵左乘方程两边得+4 -fi2 IH4 DC 1)=(o V(2)记矩阵方程为A于是1(:-%1 MiM1SMU1叩*1 3i73 2/z-36154)=-2 2-4，J 2kc =X =BA .则新阵方樨可写为1y3 -23 0T11AXB-C.o 13 -23 029同济大学数学系因lAl =6O.|B| =20,故A均可逆.依次用A W B 左柬和右乘 方程两边得42训:Io Q0； fL0 fll 01J LO0o oo 1的行列式都是-1 故L山#同济大学数学系#同济大学数学系均是可逆阵并且0 1 O1-1fo

26、1 1 0 0-11 0 o11 0 0=1 0 00 0 1=0 0 10 0 Lo in】o,0 1 0J010故得 X =1001.001.0 ) 01 h1 0 0 2-40-2一 4(-23I0( n112利用逆矩阵解下列线性方程组:Xi +2jt3 + 3xj = 1 (1) 2xj 2j3 +5列=2*3zt +5-r3 +- 3;解将方程组写作矩阵孫戎这里鼻为系数矩阵，工眄，轨I1 2 3 因|Al= 2 2 53 51Ji - Xi -= 2,(2) i *2*3的线性变换，解 记严心)T珂出亠小八则线性变换的矩阵形式为X-2 2 1Ay.其中吕为它的系数極陈”曲ckt/4=

27、 31 5故必是可逆阵，于13 23,是从变位r n 封变址山*“卅的线性变撫的矩阵畛式为 yAlx.-7-495L ,-4 1 = rA * = A =63 一7 ,A3 2-4j于是| n _ 7 叭-4jt2 + 9列，彳力+ 3叭-7jjt14. 设A为三阶矩阵訂求丨(為) 5 |解因IAI =*工0,故A可逆.于是由A = lAlA-yA-* 及(2A)得(24)1 -5A=昇“ 一号八=-2A两端取行列式褂|(2A)*1-5A J = |-24*,| = (-2)slA|*, = -l6.注先化简矩阵，再取行列式拄往使卄負变得简单.0 3 315. 设 A 二1 1 0 ,AB =

28、 A + 2BP求取-I 2 3解 由 AB-A +2B=(A -2E)B Af-23 3因 A -2E =-1 0，它的行列式det (A -2E)= 2Ot故它是可逆阵.用(A -ZE)*左乘上式购边得32同济大学数学系#同济大学数学系101020.101、且 E = A1 + B 求0 6 60 3 31-246-12 3、2 2 0.【10#同济大学数学系解 由方程E=A*+ B 合并含有未知矩阵B的项，得(?4-E)B = A,-E = (A-E)(A + )-00.10 110 其行列玄dec(A - E)= - 1工叽故A - E可逆*用0山 (A-E)1左乘上式两边即得2 0

29、1B = A + E - 0 3 0,1 0 2,117.设 A =d5ag(l, -2JJ.4 BA =2BA -E求 H.解 由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵盘，因此仍从公式山血= MIE着手.为此，用A左乘所给方程两边，得AA BA =2AflA t又JA| = -20t故A是可逆矩阵，用A r右乘上式園边，得AB=2AB -8(24 + 2)1# = 8(A + B =4E.注意到 A + E = diag(!, - 2 J) + ding( 1.1,1)-diag(2t - 1.2是可連矩阵，且于是B=4(A + )* -diRg(2, -4,2). 已知矩阵的伴随阵 A * =d

30、iag(hljt8),且 ABA*1 =BAX +3E,jR B.解 先由A来确定|心|*由題意知1存在有4- - | A | A1,得 |A*l=8,#|A|=2.再化简所給矩阵方程ABA1 =曲+3E=(A- E)B4_, =3Ef ( A - E) B = 3A=(E-A，,)B = 3E.S I A I =2知 A _1 = = ydiag(l*U .8) - diagy,y ,y t4 j,(44434同济大学数学系得(E-A l) =diag(2,2t2t*-jj4干是B = 3(E-A1羽击昭(2*2.2,-寺卜我叔64-i).19. ft P“二 A,其中 P=：)tA = (

31、 0 ；)求 A”.解 本题与教材例13相仿.因P lAP = A,故 于艇 A =PAnP_, 叮；：)鳥)： ;) if; *:)(;)(-: 一:) _ ! J 1 + 2*4 + 2u/2 7312 732)_7- J -4-2nJ -663-664/1I1-120.设AP = PAt其中卩=i0-2.A =1J -11i5求 y() = A*C5E-6A + A2)111解 因|P|- 10-2 =-6A0,故P是冈逆阵于是由AP = PA1 -11得A = PAP 并且记多頊式誓（工=工（5-6盂+ ）有 护十P因A是三阶对饬阵，故A ) = diag( f( - 1).护仃= d

32、ieg( 12,010),1 1于是 (A)= 10Ll -1 ll 0 = -2100I 0 -2 L 0 .1 0L 11=4 t L 1 .I 111注，曲于氛応)除元外均是乩故在求P肘，只箫计St P的(1元J2J) 元J3J)元的ft数余子式和Au.-即 设A6 = O (4为正整敷人证阴E-A吋逆.井且基逆矩阵(E- A ) = + 4 + A3 + +证由(E4)(+ A十片屯十*十A二JE十舟十*十沖I _冲_丸2 _一百“ =E-O-E.由定理2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵(E-A)_, = E +A + -+A,_,i.注 判断矩阵旧是否为+的逆矩阵最直接、垠简单的方法就

33、是验证ABr *1 - 1(或者B/I)是西等于单位腿阵.就像判斷3是酉为+的逆只需验证* x3是齒筛 于1 一拝 下一题及例2都是遠一思想酌应用.22,设方阵4滴足- A -2E- 0.(2,4)证明A S4+2E都可逆并求AhJ5(A解 先血片可逆由(2M)武律A(A - E) = 21i,.-也就是A - ) j=.由定理2之推论知A是町逆的.且厂丄壬 d再证A +2E可逆用例2.1的解法由(A 2E)(A -3E) -A - 6E-2E-6E = - 4 rII即(A 2(4-T可逆且(A )1 = ” A .f A I另一方面、困=丨迪“IE.-用A左集此式两边得(A 1 = I A

34、 1 I A TTT * I A | 比较上面两个式子，即知结论成立.24.蛙押阶矩阵A的伴随阵为证明匸(1) 若UI =0.则口 | =(h(2) lAf l = |A|*-还 X(I =AX 12 = 0 f|2 h O;；1CXt2 + BX21 - E,BXi2 = =蛊竝=B lCXn + BXi, = O-BXh =- CXn =亠- - B于是得num37同济大学数学系3638同济大学数学系5 2 0 0、1 fl 0 02 L (J a12 0 0； 0 0 8 3213 00 0 5 2-j 2 1 4A分块切心：)加心;:W A= 1.故它们均可逆.于是曲分块对角鉅阵的性康

35、有f 1解(I)将0(T002-530D-01I 2IB O记a c2JCI =12tto UrC均是可逆阵由27题(2)的结论，得B D C.其中B,C8J/2 11 2B 1O-C lDB_ ?_PJ?12-3习题二24 -12 -123012-4-500-2习题解答I.用初邹行变换把下列矩阵化为行毘简解炬阵:(1)3J-1-3*230ao34000A*2亠J一 4 ro|J3639同济大学数学系40同济大学数学系0 2(2) 0 30 4-357 (0-3ri21-3#同济大学数学系2-3-2 20 00 615-1-335-4-431rj- r5叩一 L10-1031-4-2322-23-2000-3663-34-21 j00510-1山#同济大学数学系#同济大学数学系23 1-3 -71 2 0-2 -性2冲12 (1 -2 -412 0-2-4FiF23 1-3-7Ar 1