线性代数22学习教案

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1、会计学1第一页，共34页。、定义、定义(dngy) mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 第1页/共34页第二页，共34页。说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能(cinng)进进行加法运算行加法运算.例如例如(lr) 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第2页/共34页第三页，共34页。2 2、

2、 矩阵加法的运算矩阵加法的运算(yn sun)(yn sun)规律规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A第3页/共34页第四页，共34页。1 1、定义、定义(dngy)(dngy).112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA第4页/共34页第五页，共34页。 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算、数乘矩阵的运算(yn sun)(yn sun)规律规律矩阵矩阵(j

3、zhn)(j zhn)相加与数乘矩阵相加与数乘矩阵(j zhn)(j zhn)合合起来起来, ,统称为矩阵统称为矩阵(j zhn)(j zhn)的线性运算的线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、第5页/共34页第六页，共34页。、定义、定义(dngy) skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积并把此乘积(chngj)记作记作.ABC 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一是一个个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA

4、 sm ijbB ns nm ijcC AB第6页/共34页第七页，共34页。例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?第7页/共34页第八页，共34页。故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA , 34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10第8页/共34页第九页，共34页。注意只有当第一个矩阵的列数等于注意只有当第一个矩阵的列数等于(dngy)第二个矩第二个矩阵阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 10686198512

5、3321例如例如(lr) 123321 132231 .10 不存在不存在(cnzi).第9页/共34页第十页，共34页。、矩阵乘法的运算、矩阵乘法的运算(yn sun)规律规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m第10页/共34页第十一页，共34页。注意注意(zh y)矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设设

6、 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故第11页/共34页第十二页，共34页。但也有例外但也有例外(lwi)，比如设，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 第12页/共34页第十三页，共34页。例例3 3 计算计算(j sun)(j sun)下列乘下列乘积：积： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 第13页/共34页第十四页，共34页。 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa

7、321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 第14页/共34页第十五页，共34页。解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求设设 例例4 4第15页/共34页第十六页，共34页。 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳由此归纳(gun)出出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 第16页/共34页第十七页，共34页

8、。用数学用数学(shxu)归纳法证明归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.2 k假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA第17页/共34页第十八页，共34页。所以对于任意的所以对于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 第18页/共34页第十九页，共34页。定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA例例,854221 A;825241 TA

9、 ,618 B.618 TB、转置、转置(zhun zh)矩阵矩阵第19页/共34页第二十页，共34页。转置矩阵的运算转置矩阵的运算(yn sun)性质性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 第20页/共34页第二十一页，共34页。例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法(ji f)1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB第21页/共34页第二十二页，共34页。解法解法(ji f)2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 第22页/共3

10、4页第二十三页，共34页。2、方阵、方阵(fn zhn)的行列式的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.detA 8632A例例8632 A则则. 2 运算运算(yn sun)性质性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 第23页/共34页第二十四页，共34页。3、对称、对称(duchn)阵与伴随矩阵阵与伴随矩阵定义定义(dngy)设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对

11、称阵例如例如 6010861612.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素对称阵的元素(yun s)以主对角线为对称轴对应相以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明第24页/共34页第二十五页，共34页。例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明(zhngmng) TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E

12、 第25页/共34页第二十六页，共34页。例例7 7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明(zhngmng)TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称为对称(duchn)矩阵矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以(suy)B为反对称矩为反对称矩阵阵.22TTAAAAA ,22BC 命题得证命题得证.第26页/共34页第二十七页，共34页。定义定义(dngy)行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAA

13、AAAAAA212221212111性质性质(xngzh).EAAAAA 证明证明(zhngmng) ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A第27页/共34页第二十八页，共34页。4 4、共轭矩阵、共轭矩阵(j zhn)(j zhn)定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1 ijA ijA .EA 第28页/

14、共34页第二十九页，共34页。 ;2AA .3BAAB 运算运算(yn sun)性质性质 ;1BABA （设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:BA, 第29页/共34页第三十页，共34页。矩阵矩阵(j zhn)运算运算 加法加法(jif)数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵第30页/共34页第三十一页，共34页。（2）只有当第一个矩阵）只有当第一个矩阵(j zhn)的列数等于第二的列数等于第二个个矩阵矩阵(j zhn)的行数时，两个矩阵的行数时，

15、两个矩阵(j zhn)才能相乘才能相乘,且矩阵且矩阵(j zhn)相乘相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有）只有(zhyu)当两个矩阵是同型矩阵当两个矩阵是同型矩阵时，才能时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意(zh y) （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.第31页/共34页第三十二页，共34页。思考题思考题问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立成立(chngl)的充要条件是什么的充要条件是什么?第32页/共34页第三十三页，共34页。思考题解答思考题解答(jid)答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB 第33页/共34页第三十四页，共34页。