大学物理-质点和质点系的动量定理

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1、13- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理物理学大厦物理学大厦的基石的基石三大三大守恒定律守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动能转换与守恒定律动能转换与守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律23- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理力力的的累积累积效应效应EWrFpIttF, , )(对对 积累积累对对 积累积累动量、冲量动量、冲量 、动量定理、动量守恒、动量定理、动量守恒动能、功、动能定理、机械能守恒动能、功、动能定理、机械能守恒力力的的瞬时瞬时效应效应加速度加速度a33- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理一冲量质点的动量定理一冲量质点的动量定理 冲量

2、冲量（矢量矢量）21dtttFIamF由由可得：可得：dtpdF pptpppddtF0000ppI 43- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理1221dvvmmtFItttmtpFd(ddd)v微分形式微分形式积分形式积分形式 动量定理动量定理在给定的时间间隔内，外力在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量动量的增量53- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理讨论：讨论：(1)冲量、动量、动量定理的数学表述冲量、动量、动量定理的数学表述21ttIF dt 冲量冲量Pmv 动量动量2121ttIFd

3、tPP 动量定理的积分形式动量定理的积分形式dIFdt 动量定理的积分形式动量定理的积分形式动量的单位：动量的单位：冲量的单位：冲量的单位：/kg m s N s 63- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理某方向受到冲量，该方向上动量就增加某方向受到冲量，该方向上动量就增加说明说明 分量表示分量表示yyttyymmtFI1221dvvzzttzzmmtFI1221dvvxxttxxmmtFI1221dvv1221dvvmmtFItt(2)动量的矢量性动量的矢量性73- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理(3)动量定理的适用条件：动量定理的适用条件： 一切惯性参照系一

4、切惯性参照系; 对非惯性参照系，在考虑了惯性力之后，动对非惯性参照系，在考虑了惯性力之后，动量定理成立。量定理成立。(4)单质点的动量守恒定理：单质点受到的合外单质点的动量守恒定理：单质点受到的合外力为力为0时，其动量守恒。时，其动量守恒。12mvmv 83- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理质点系质点系二二 质点系的动量定理质点系的动量定理1m2m12F21F1F2F20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt 对两质点分别应用对两质点分别应用质点动量定理：质点动量定理：93- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理)()

5、(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt因内力因内力 ，02112 FF故将两式相加后得：故将两式相加后得：20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFttniiiiniittmmtF101ex21dvv103- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于系统作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量动量的增量质点系动量定理质点系动量定理N21exFFFF0101ex21dppmmtFniiiiniittvv0ppI113- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理区分区分外力外力和和内力

6、内力内力仅能改变系统内某个物体的内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量动量，但不能改变系统的总动量.注意注意123- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理（1） F 为恒力为恒力tFI（2） F 为变力为变力)(d1221ttFtFItt讨论讨论Ftt1t2OFt1t2tFO133- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理1vm2vmvm12121221dttmmtttFFttvv动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题F注意注意 越小，则越小，则 越大越大tF在在 一定时一定时p143- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理1vm2

7、vmxy 例例1一质量为一质量为0.05 kg、速率为速率为10 ms-1的刚球，以与的刚球，以与钢板法线呈钢板法线呈45角的方向撞击角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来设碰撞时间和角度弹回来设碰撞时间为为0.05 s求在此时间内钢板求在此时间内钢板所受到的平均冲力所受到的平均冲力O153- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 解解由动量定理得：由动量定理得：0sinsinvvmmN1 .14cos222tmtIIFyxv方向与方向与 轴正向相同轴正向相同OxxxxmmI12vvcos2 vm)cos(cosvvmmyyymmI12vv1vm2

8、vmxyFFO12PPtFI163- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理例：例：一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g20g，在二位置处的速率都是在二位置处的速率都是20 20 ， 与与x x轴成轴成 角，角， 垂直于垂直于y y轴。求质点由轴。求质点由A A点到点到B B点这段时间点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。内，作用在质点上外力的总冲量。/m sAv 045yv 解：由动量定理知质点所受外力的总冲量解：由动量定理知质点所受外力的总冲量 21()Imvmvmv 由由，AB 0cos45xBxAxBAImvmvmvmv

9、 0.683/kg m s 173- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 00sin450.283/yAyAImvmvkg m s yxItgI 0202.5 ( (与轴正向夹角与轴正向夹角) )冲量方向冲量方向: :220.739xyIIIN s 冲量大小：冲量大小：183- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理A40/mqkg s 2/vm s 例：例：如图，用传送带如图，用传送带A A输送煤粉，料斗口在输送煤粉，料斗口在A A上方高上方高h h处，煤粉自料斗口自由落在处，煤粉自料斗口自由落在A A上。设料斗口连续卸煤上。设料斗口连续卸煤的流量为的流量为 ，A A

10、以以 的水平速度匀的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A A的作用力大的作用力大小和方向小和方向.(.(不计相对传送带静止的煤粉质量不计相对传送带静止的煤粉质量) )02vgh 解解: :煤粉自料斗口下落煤粉自料斗口下落, ,接触传送带前具有竖直向下的接触传送带前具有竖直向下的速度速度mmqt 设煤粉与设煤粉与A A相互作用的相互作用的t 时间内时间内, ,落于传送带上的煤落于传送带上的煤粉质量为粉质量为193- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理0 xftmv 00yftmv （）xmfq v 0ymfq v 22149xyfffN

11、0/57 4yxarctg ff （）。 f设设A A对煤粉的平均作用力为对煤粉的平均作用力为 , ,由动量定理写分量形式由动量定理写分量形式mmqt将将 代入得代入得fx 与与 轴正方向夹角为轴正方向夹角为 203- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理由牛顿第三定律煤粉对由牛顿第三定律煤粉对A A的作用力的作用力149,ffN_f方向与图中方向与图中 相反相反. .213- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 例例2 2：一长为一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为的质量为 ，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若，将其卷成

12、一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度用手握住链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为当链条端点离地面的高度为x时，求手提力的大小。时，求手提力的大小。va解：解：以链条为系统，向上为以链条为系统，向上为X正向，地面为原点正向，地面为原点建立坐标系。建立坐标系。t时刻，系统总动量时刻，系统总动量xvptxvtd)(dddptvxtxvddddaxv2OxX223- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理Faxvt2ddpaxaxax32t时刻，系统受合外力时刻，系统受合外力g)(xlxgF tpxgFddaOxXgxN系统动

13、量对时间的变化率为：系统动量对时间的变化率为：根据动量定理，得到根据动量定理，得到ax3 xaxgF3 233- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 例例3 3、 一质量均匀分布的柔软细一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。已落到桌面上的绳重量的三倍。oxx()plx v2dpd()vlx gt 证明

14、：证明：取如图坐标，设绳长为取如图坐标，设绳长为 .l设设t时刻，己有时刻，己有x长一段落到桌上，此时系统总动量长一段落到桌上，此时系统总动量243- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理根据动量定理根据动量定理:LMgxFgxvvLMvF/2 2 222而而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mgt时刻，系统受合外力时刻，系统受合外力gxlF)( gxlvt)(ddp2gxlF)(柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力 即：即：FF桌对绳的冲力桌对绳的冲力253- -1质点和质点系的动量定理质点和质

15、点系的动量定理oxvdxvdmdpx 证明二：证明二： 取如图坐标，设取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长的长的柔绳落至桌面，随后的柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有时间内将有质量为质量为 （Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dt 的速率碰到桌面而停止，它的动量变的速率碰到桌面而停止，它的动量变化为：化为：dx根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：2vdtvdxdtdpF263- -1质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理22 MFvvL 已落到桌面上的柔绳的重量为已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力 即：即：FFLMgxFgxv/2 2 2而