圆(一)讲义模板

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1、 中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义课 题圆（一） 圆的基本性质、圆中的相关计算、几何作图教学目标1. 理解圆的有关概念和圆的对称性，会判断点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点确定一个圆及这个圆的画法；理解圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论，并能利用它们进行证明和计算；2. 掌握圆的周长、弧长的公式，并会应用；掌握并灵活应用圆、扇形及简单图形面积的计算；了解圆锥的侧面展开图，能进行圆锥的侧面积和全面积的计算。3. 熟悉几何作图题的解法，题型。重点、难点1. 在做题时能把直径和90角联系起来，这是圆中角的一个重点，垂径定理的证明也是个重

2、点。而垂径定理的逆运用是个难点。2. 圆中一些计算公式是个重点，如：周长、面积、侧面积、底面积等。而求圆中一些不规则图形面积是个难点，要注意转化。3. 作图题运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题是个难点。考点及考试要求教学内容一、圆的基本性质【复习目标】1、理解圆的有关概念和圆的对称性，会判断点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点确定一个圆及这个圆的画法；2、理解圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论，并能利用它们进行证明和计算；【知识要点】1.与圆有关的概念 正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与

3、圆有关的概念,并能正确分析它们的区别与联系.2.与圆有关的角 掌握圆周角和圆心角的区别与联系,将圆中的直径与90的圆周角联系在一起,一般地,若题目无直径,往往需要作出直径.3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理 定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的,需注意“在同圆或等圆中”中这个关系.4.与圆有关的位置关系 了解点和圆的位置关系,并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键.【典型例题解析】 例1 选择题 ：（1）O的半径为10cm，圆心O到直线l 的距离OM=8cm,在直线l上有点P，且PM=6cm,如图所示，则点P （ ）A、在O 内 B、在O 上 C、在O 外I D、可能在O内，也

4、可能在O外。（2）已知O的半径是10，点P到圆心的距离是8，经过点P且长 为整数的弦共有（ ）A、16条 B、14条 C、12条 D、19条分析：第1小题是判断点和圆的位置关系关键是准确地比较点到圆心的距离和圆的半径的大小关系。第2小题是利用垂径定理求弦长，需要构造直角三角形利用勾股定理。 例2 如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,CAB=30,则点O到CD的距离OE=_. 解析:本题主要考查圆的有关知识和等腰三角形的性质和判定.由题意可知COD=60,ADC=75,所以OCE=45,所以OCE为等腰直角三角形,所以OE=.例3 如图，已知ABC内接于O，D是O上一点，连接BD，A

5、C，AC，BD交于点E。(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明；(2)若D=45,BC=2,求O的面积。解析：利用圆周角定理进行角度的转换，构造直角三角形是圆中非常常见的问题。例5 如图，已知AB是O的一条弦，点C为的中点，CD是O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交O于点F。(1)判定图中CEB与FDC的数量关系，并写出结论；（2）将直线l绕C点旋转（与C，D不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同的位置时 ，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应的字母，选其中的一个图形给予证明。 【例题练习】1、如图1,已知圆心角BOC=100,

6、则圆周角BAC的度数为( ).A.100 B.130 C.50 D.80 (1) (2) (3) 2、过O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( ) A.3cm B.6cm C. cm D.9cm3、如果O的周长为10cm,那么它的半径为( ) A.5cm B. cm C.10cm D.5cm4、如图2,AB为O的直径,CD为弦,CDAB于E,则下列结论中错误的是( ) A.COE=DOE B.CE=DE C.AE=DE D. 5、下列图中:线段;正方形圆;等腰梯形;平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6、如图3

7、,在O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则O的半径为_cm.7、D是半径为5cm的O内的一点,且OD=3cm,过点D的所有弦中最短弦AB=_cm.8、如图4,AB是O的直径,C、D、E都是O上的点,则1+2=_. (4) (5) (6) (7)9、如图5,AB为O的直径,弦AC=4cm,BC=3cm,CDAB,垂足为D,那么CD的长为_cm.10、如图6,有一圆弧形门拱的拱高AB为1m,跨度CD为4m,则这个门拱的半径为_m.11、如图7,在O中,AB=AC,CBD=30,BCD=20, 则ABC=_.【巩固练习】1、下列叙述中最正确

8、的是( ) A、半圆是最大的弧 B、弧是圆上两点间的曲线 C、在同圆中直径是最大的弦 D、弧一定大于弦2、如图，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，则OP长的取值范围 为 ；3、如图,AB、CD是O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE.求证:D=B.4、如图,C经过原点且与两坐标轴分别交于点A到点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,BMO=120,求:C的半径和圆心C的坐标.5、已知:如图,BE是ABC的外接圆O的直径,CD是ABC的高. (1)求证:ACBC=BECD; (2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求O的直径BE的长. 二、圆的有关计算【复习目标】1、掌握圆的周

9、长、弧长的公式，并会应用；2、掌握并灵活应用圆、扇形及简单图形面积的计算；3、了解圆锥的侧面展开图，能进行圆锥的侧面颊和全面积的计算。【知识要点】1、圆的周长公式：C=2R； 圆的面积公式：S=R22、圆的半径为R，n的圆心角所对的弧长公式为，半径为R， n的圆心角所对的扇形面积公式为3、大于半圆的弓形的面积为 小于半圆的弓形的面积为4、圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r,那么这个圆锥的侧面积为5、求阴影部分的面积的几种常用方法：（）直接利用面积公式；（）割补法：把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差；（）拼凑法：把分散的图形集中拼成大块来求；（）等积变

10、形法：利用同（等）底或同（等）高的面积比转化为高或底的比。【典型例题解析】例1 如图,一块边长为8cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A按逆时针方向旋转至ABCD的位置,则顶点C从开始到结束所经过的路径长为( ) A.16cm B.16cm C.8cm D.4cm 解析:在旋转过程中,AC的长度不变,所以顶点C从开始到结束所经过的路径长,是以A为圆心,AC长为半径的90的弧长,AC=8,L=4.例2 如图,A、B、C、D相互外离,它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是( ) A.2 B. C. D. 解析:根据题设条件,无法求出四个

11、扇形的圆心角,因而从整体上考虑,可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角,从而可求出阴影部分的面积.例3 用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm解析:圆锥的底面周长即开展图是扇形的弧长.设圆锥底面半径为R,则2R=26,R=3,故选B. 点评:正确理解圆锥与侧面展开图各种量之间的关系是解决此类题目的关键.【例题练习】1. 如图，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为36m，母线长为8m为防雨需在粮食顶部铺上油毡，需要铺油毡的面积是_好.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的

12、面积为_cm2 (不考虑接缝等因素，计算结果用表示).小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法.已知扇形的圆心角为120，弧长为10，则这个扇形的半径为_cm.如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为_.有一弓形钢板ACB，ACB的度数为120o，弧长为，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_ .已知RtABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）A8 B12 C15 D20.圆

13、锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ）A3cm2 B9cm2 C16cm2 D25cm2【巩固练习】基础训练：一、选择题：1. 如图1,A、B、C两两不相交,且半径都是0.5cm,图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和是( )A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 笔 (1) (2) (3)2. 半径的3cm、圆心角为120的扇形的面积为( ) A.6cm2 B.5cm2 C.4cm2 D.3cm2 3. 如图2,在同心圆中,两圆半径分别为2、1,AOB=120,则阴影部分的面积为( ) A.4 B.2 C. D. 4. 已知圆锥的侧面展开图的面积是15

14、cm2,母线长是5cm,则圆锥的底面半径为( ) A. cm B.3cm C.4cm D.6cm5. 如图3,扇形AOB中,AOB=60,AD=3cm,CD=3cm,则图中阴影部分的面积为( ) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D.21cm26. 一个圆锥的底面半径为,母线长为6,则此圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A.180 B.150 C.120 D.907. 已知圆锥形模具的母线长和底面圆的面积均是10cm,求得这个模具的侧面积是( ) A.50cm2 B.75cm2 C.100cm2 D.150cm2二、填空题:1. 一个扇形如图4,半径为10cm,圆心角为270,用它做成一

15、个圆锥的侧面,那么圆锥 的高为_cm.2. 半径为R,圆心角为36的扇形面积是_.3. 已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面积为_.4. 一个扇形的弧长为20cm,面积为240cm2,则该扇形的圆心角为_度.5. 如果把人的头顶和脚底分别看作一个点,把地球赤道看做一个圆,那么身高2m的汤姆沿着地球赤道环行一周,他的头顶比脚底多行_m.三、解答题:1、李明同学和马强同学合作,将半径为1m、圆心角为90的扇形薄铁板围成一个圆锥筒,在计算圆锥的容积(按缝忽略不计)时,李明认为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB的距离OC(如图),马强说这样计算不正确.你同意谁的说法?把正确的计算过程写在下面

16、.2、如图,点C在以AB为直径的半圆上,连结AC、BC,AB=10,tanBAC=,求阴影部分的面积.3、如图1-18-28,等腰直角ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E,求图中阴影部分的面积.(结果用表示)4、在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮,用剩余部分制做成一个底面直径为80cm,母线长为50cm的圆锥形烟囱帽(如图),则剪去的扇形的圆心角的度数为( ) A.288 B.144 C.72 D.36三、几何作图操作性试题是指具有较强实践性与思辨性，能够有效考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力、发散思维能力等综合素质的一类问题，通称为

17、实践操作性试题。解决实践操作性试题一般需要经历观察，操作，思考，想像，推理，交流，反思等实践活动过程，利用自己已有的生活经验、感知与发现结论，从而解决问题。这类问题能够更好地促进学生对数学的理解，帮助他们提高用数学的语言、符号进行表达交流的能力。在解决这类问题的过程中，学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，是全日制义务教育数学课程标准(实验稿)的基本要求之一。近年来，实践操作性试题受到各命题单位的重视。解答操作性试题，关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问

18、题。适合学生现有知识水平和实践能力。近几年中考中的操作性试题大致可分为画图、图形的拼合、图形的分割、方案设计、猜想探索等几种类型。1、画图型操作题例1.请以给定的图形“ ”（两个圆、两个三角形、两条平行线）构建尽可能多的构思独特且有意义的图形，并写一两句诙谐的解说词。分析：本题的答案千变万化，如：朋友两盏电灯等式两把铁锹机器人北京好运本题开放性、动手操作性强，答案多种多样。其构思之巧妙，想象之丰富、语言之诙谐使人耳目一新。 例2.用四块如下图所示的瓷砖拼成的一个正方形，使拼成的图案成轴对称，请你在图、图、图中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）分析：本题的拼法

19、很多，只要符合要求即可。下面给出三种拼法。评注：本题主要考查轴对称知识，要求明确，结论开放，使学生手脑结合，考查了学生的创新精神和实践能力。例3.如图，在四个正方形拼接成的图形中，以这十个点为顶点，共能组成个等腰直角三角形。你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程。 A9 A8 A9A8 A10A7A6A10 A7 A6 A1 A1 A2A3A4A5A2A3A4 A5解：设小正方形的边长为1，则可将等腰直角三角形的腰长分为四类，即1，2，求解。当腰长为1时的直角三角形有：18个，每一个小正方形有4个，四个正方形有16个，加上A1A10A9、A6A7A8。

20、当腰长为2时的直角三角形2个：A2A4A8、A9A3A5。当腰长为时的直角三角形10个：A1A3A7、A2A10A4、A3A7A5、A10A4A6、A1A9A7、A1A3A9、A10A8A6、A8A6A4、A10A8A4、A9A7A3。当腰长为时的直角三角形2个：A9A2A6、A8A1A5综上所述共能组成32个等腰直角三角形。2、图形的拼合图形的拼合问题，目的是通过对图形拼合的操作，考查学生的动手实践能力、画图能力以及计算能力，培养学生思维的缜密性。解这类问题的要领是：针对给出的实际问题，结合数学中的分类讨论思想，画出所符合的图形。例4.下图1是两个由同样大的小方格组成的图形，我们可以用不同的

21、方法把这两块图形拼成一个轴对称图形，例如图2就是这样的轴对称图形，沿某条直线折叠后，直线两边的图形能够完全重合。请问：符合要求的拼法一共有种。图1 图2 图3分析：由轴对称的性质和分类讨论思想可以得到以上3种拼法(如上图3).例5.如图，已知：ABC中，ABAC，ADBC，垂足为在D，且ADBC4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长.(不要求写计算过程，只须写出结果) AB D C剪开 A AB D D C分析：本题通过图形的拼接，考查了学生的动

22、手能力，经过拼图可以组成以下四种不同形状的四边形(如图5).是矩形。此时对角线的长相等，均为 是平行四边形，此时两条对角线的长分别为4和， 是平行四边形，此时两条对角线的长分别为2和 是四边形，此时两条对角线的长分别为和。 3、图形的分割例6.正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：如图，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。如图，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。图1 图2分析：由于学生生活背景和思考的角度不同，因而思维方式是多种多样的，解决问题的策略也是多种多样的，

23、学生将前文正方形的拼图仔细读懂有关信息后，就能有效地考查出学生获取、应用知识的能力。图1的解答如下， 图2的解答如下：作为练习，请将一个三角形（锐角三角形）剪成三块，然后拼接成一个长方形。例7.现有一块形如图正方形的板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后拼接，制成特殊形状的板面（要求板材不能剩余，拼接时不重叠、无空隙），请你按下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案：板面形状为非正方形的中心对称图形；板面形状为等腰梯形；板面形状为正方形.请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下边的方格纸上画拼接后图形 。(答案符合题意都是可以的)四、方案设计型操作题例8.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形

24、的边角布料，如图.现找出其中的一种，测得C900，ACBC4。今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的弧与三角形ABC的其它边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形的半径）。分析：本题不同于一般的计算题，它融阅读理解、方案设计和计算于一身，具有开放性。解决问题的方案有多种，有的方案设计需要涉及可行性讨论、尝试反思和优化选择等策略。 4AC B审题时要紧紧抓住扇形的弧与三角形ABC的其它边相切，考虑与斜边、直角边和两条直角边、一条直角边及斜边相切。 五、猜想探究型操作题例9.已知：AB为O的直径，P为AB延长线上的一个动点

25、，过点P作O的切线，设切点为C。当点P在AB延长线上的位置如图所示时，连结AC，作APC的平分线，交AC于点D。请你测量出CDP的度数.当点P在AB延长线上的位置如图和所示时，连结AC，请你分别在这两个图形中用尺规作APC的平分线（不写作法，保留作图痕迹）.设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出CDP的度数。猜想CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。 分析：这是一道数学实验题，蕴含着由特殊到一般的思想。充分考查了学生的尺规作图能力和猜想探索能力，测量得三个图中的CDP的度数都为450，于是可猜想：CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化

26、而变化.证明略。例10.(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转。求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为的正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O点旋转。当扇形纸板的圆心角为-时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，当扇形纸板的圆心角为-时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。(3)探究与引伸。一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O

27、点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积s之间的关系(不需证明)；若不是定值，请说明理由。 图1 图2 图3解：不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD。四边形ABCD是正方形，OA=OD，AOD=900，MAO=ADO，MON=900，AOM=DON， AMODNO，AM=ND， AM+AN=ND+AN=AD=a。特别地，当M点与A重合时，N点必与D点重合，此时AM+AN仍为定值a。故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.当正三角形的边被扇

28、形纸板覆盖部分的总长度为定值时，设半径与正三角形的边的交点分别为M、N，连结OA、OB，则OA=OB，OAN=OBM，AM+MB=AM+AN=a，MB=AN，ANOBMO，AON=BOM，AON+AOM=BOM+AOM，MON=AOB，AOB=1200，MON=1200。同理可以求得，当圆心角为720时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.由的方法，不难求得，当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被覆盖部分的总长度为定值a，被覆盖部分的面积是定值，这个定值是.评析：这是一道让考生在亲手操作中学习知识，并把正方形推广到正三角形和正五边形，进而引伸到任意正多边形中去，体现了从特殊到一般的思想

29、，对学生观察、分析、猜想探索等方面的能力都作了考查。练习题1.如图，把大小为44的正方形方格分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的方法，把44的正方形方格分割成两个全等图形。 图12.在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。在如图55的方格纸中，作格点ABC和OAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标是 .3.为了美化校园环境，需在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草。现将这块空地按下列要求分成四块：分割后的整个图形是轴对称图形；四块图形形状相同；四块图形面积相等。现已有两种不同的分法：分别作两条对角线(如图1)过一条边的三等分点作这

30、边的垂线段。(如图2)图1 图2请你按照上述三个要求分别在三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法(只要求正确画图，不写作法)4.李大爷有一个边长为的正方形鱼塘(图1)，鱼塘四个角的顶点ABCD上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘(原鱼塘周围的面积足够大)，又不想把树挖掉(四棵树要在新建鱼塘的边沿上)。按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积。若按正方形设计，利用图2画出你所设计的正方形鱼塘示意图。在你所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？5.一块直径为2的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面。操作：方案一，在图中设计一个使圆锥 底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求画示意图) 方案二，在图中设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求画示意)。探究：求方案一中圆锥底面的半径；求方案中圆锥底面及圆柱底面的半径；设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1，O2，圆锥底面的圆心为O3，试探究以O，O1，O2，O3为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。(2003年辽宁省大连市中考压轴题)14 龙文教育教务管理部