方程的根与函数零点

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1、3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点等价关系等价关系判断函数零点或相判断函数零点或相应方程的根的存在性应方程的根的存在性例题分析例题分析课堂练习课堂练习小结小结布置作业布置作业 思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？ 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy013211212

2、34.xy0132112543.yx012112y= x22x+3方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根

3、有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象: 2,1 f(2)0 f(1)0 f(2)f(1)0（2,1）x1 x22x30的一个根的一个根 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0（2,4）x3 x22x30的另一个根的另一个根.xy0132112123424观察对数函数观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:0.5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0（0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一个根的一个根.xy0121 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,

4、b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根，反之的根，反之不成立。不成立。由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算

5、机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x0246105y241086121487643219练习：练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3） x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.x23x5, 作出函数作出函数的图象，如下：的图象，如下：

6、.xy0131486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。(1) x23x50 1(2)解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令，令f(x)= 2x24x3 , 作出函数作出函数的图象的图象,如下：如下：xy0132112543. 它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。无实数根。(2) 2x(x2)31(3)解：解：x2 4x4可化为可化为x24x40，令，令f(x)= x24x4，作出，作出函数函数的图象，如下：的图象，如下：. 它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有

7、一个交点，所以方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实数根。数根。xy013211254364(3) x2 4x41(4)解：解：5x2 +2x3x2 +5可化为可化为2x2 2x50，x22x5 , 作出函数作出函数的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422. 它与它与x轴有两个交点，所轴有两个交点，所以以方程方程5x2 +2x3x2 +5有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。(4) 5 x2 2x3 x2 5小结与思考函数零点的定义函数零点的定义函数的零点或相应方程的函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断根的存在性以及个数的判断布置作业：布置作业：P103 习题习题3.1 第第2题题