高一讲义2016版

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1、第一讲集合的含义与表示一、关于集合需要注意的几点：1、 集合的几种表示形式：列举法、描述法、图示法。2、 集合与元素之间的关系及表示方法：属于、不属于。3、 元素具有的三个性质及应用：确定性、互异性、无序性。4、 集合的分类：有限集、无限集、空集。5、 几种常用数集的符号表示：实数集、整数集、自然数集、非负自然数集。6、 空集与0的区别。二、例题解析例1 下列每组对象能否构成一个集合。1、 著名的数学家。2、 不超过20的非负数。3、 一个一元二次方程的解。4、 直角坐标系中第一象限内的点。例2 用适当的方法表示下列集合1、方程组的解。2、方程的所有实数解的集合。3、 是15的正约数 4、 5

2、、被3除余1的整数例3 元素性质的应用1、 若21，a，a2-a，则a= 2、 已知实数a1，3，a2，则a的值为 3、 “booknote中的字母”构成一个集合，该集合的元素个数是 4、 设a，b都是非零实数，y可能取的值组成的集合是 5、已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，则集合B用列举法表示是 6、已知集合C=x|6(3-x)Z,xN*,用列举法表示C例4 已知集合P的元素为, 若3P且-1P，求实数m的值。例5 集合A满足条件，若aA，则A，a1，若1/3A,求集合A的其它元素。例6 已知集合A=x|ax23x+1=0,(1) 若1A，求实数a的值(2) 若集合

3、A中只有一个元素，求实数a的值(3) 若集合A中含有两个元素，求实数a的值(4) 若集合A中至少含有1个元素，求实数a的值(5) 若集合A中至多含有1个元素，求实数a的值课堂练习：1、集合A=y|yx2+1，B=x|yx2+1，C=(x，y)|yx2+1是否为同一个集合，如果不是请说明理由。2、已知集合A=y|2yk，yN，kR只有三个元素，求实数k的取值范围。3、已知集合P=x|ax-b+x+2=0是一个无限集，则实数a= 4、已知集合M=-2，3x2+3x-4，x2+x-4，若2M，求x5、若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，则符

4、合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_6、0、0之间的区别。第二讲集合间的基本关系B A一、相关概念1.子集：2.集合相等：若，则3.真子集：集合，但存在元素，A B（或B A）4、几个重要的结论：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3） 任何一个集合是它本身的子集；5、传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么说明：1.注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；2.在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。二、例题解析例1用适当符号填空（1） 2 N； N； A; x|x+10（2）已知集合Ax|x3x20，B1,

5、2，Cx|x8,xN，则 A B； A C； 2 C； 2 C例2 写出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集、子集、非空真子集、非空子集？例3若集合 B A，求m的值例4 设集合B=1,3，a，A1，xx1，求x的值例5 已知集合且，求实数m的取值范围。例6 已知集合A=x|1ax2，B=x|-1x1，求满足的实数a的取值范围。例7 已知集合 A=a|a=1+x2，B=b|b=x2-4x+5，试判断两个集合之间的关系。例8 集合A=1，2，4BC=1，2，3，4，5，8，求满足条件的C三、课堂练习1、 若集合1，a，b/a=0，a+b，a2，则a2017+b2016的值为 2、 A

6、1、4、2x，B1、x2，BA，则x= 3、 已知集合Ax|0ax+15，Bx|-1/23，B=x|3x-33x-a，求AB例4 满足1，3A=1，3，5的所有集合A的个数。注：讨论AB与集合A、B的关系？AA , A , AB BA A ABABA , ABB .二、交集ABx|xA，且xB，记作AB（读“A交B”）例5 设集合A=-1，1，3，B=a+2，a2+4，AB=3，则实数a= 例6 若集合A=x|-2x1，B=x|0x2，则AB= 例7 M=（x，y）|x+y=4，N=（x，y）|x-y=2，则MN= 例8 已知集合M=x|2x-4=0，N=x|x23x+m0（1） 当m=2时，

7、求MN。（2） 当MN=M时，求实数m的值。讨论：AB与A、B、BA的关系？AA A AB BAABA ABB 三、并集交集的综合运算及应用例1 已知集合A=a+1，a2，-3，B=a-3，a2+1，a-2，若AB=-3，求 AB例2 设集合Ax|2axa+3，B=x|x-1或x5，当a满足什么条件时，有：（1） AB=（2） ABB例3 设集合A-2，Bx|ax+10，若ABB，求实数a的值例4已知集合Ax|x24x+2m+60，B=x|x0，若AB，求实数m的取值范围。四、二次不等式与二次方程例1 求x22x-30的解集例2 解不等式（1） x22x-30（2） -x22x+30根与系数之

8、间的关系ax2+bx+c0，（a0）a b c满足什么条件时，两根均大于0？两根均小于0？两根异号？五、含绝对值的不等式例1 |x-2|4 例2 |2x+1|6第四讲集合的基本运算（二）一、 全集、补集1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。2.补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：，读作：“A在U中的补集”，即3.补集的性质： 二、例题解析例1 设集，求，例2 设全集，求， ，。（结论：）例3

9、设全集U为R，若 ，求例4已知全集U=不大于20的质数，M，N是U的两个子集，且满足M（UN）=3，5，（UM）N=7，19，（UM）（UN）=2，17，求集合M，N例5 已知集合A=x|2x4，B=x|（x-a）（x-3a）0（1） 若，求实数a的取值范围。（2） 若AB=，求实数a的取值范围。（3） 若AB=x|3x4，求实数a的值。例6 某班有36名同学参加数、理、化兴趣小组，每名同学之多参加两个小组，参加数、理、化小组的人数分别为26、15、13，同时参加数、理小组的有6人，同时参加理、化的有4人，求同时参加数、化小组的人数。例7 设全集U=R，集合Ax|x2+3x+20，Bx|x2+

10、（m+1）x+m0，若（UA）B=，求实数m的值。三、课堂练习1、 设集合A=x|x2+4x0，Bx|x2+2（m+1）x+m2-10。（1） 若AB=B，求实数m的取值范围。（2） 若AB=A，求实数m的取值范围。2、已知集合A=x|x2-4mx+2m+60，B=x|x0，若AB，求实数m的取值范围。3、设P、Q是两个集合，定义集合P+Q=x|xP或xQ，且xPQ，若P=x|x2-3x-40，Q=x|x2-2x-30，求P+Q 第五讲函数的概念、定义域及值域回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y

11、是因变量。表示方法有：解析法、列表法、图象法.一、函数的概念：实例解析： 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。 对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作： （一）函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作： 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。显然，值域是集合B的子集。（1）一次函数y=ax+b

12、(a0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数 (a0)的定义域是R，值域是B；当a0时，值域；当a0时，值域。 （3）反比例函数的定义域是，值域是。（二）区间及写法：设a、b是两个实数，且a5、x|x-1、x|x0时，求的值。例4 求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)=； f(x)=； f(x)=；函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则。例5下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）； （2）；（3）； （4） 。复合函数的定义域求法： （1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x)的定义域；求法：由axb，知ag(x)b，解得的x的取值范围即是f(g(x)的定义

13、域。 （2）已知f(g(x)的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；求法：由axb，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。例5已知f(x)的定义域为0,1，求f(x1)的定义域。例6 已知f(x-1)的定义域为-1,0，求f(x+1)的定义域。函数值域：例7 函数的值域例8 求下列函数值域（分离常数法）（1） ， （2） 例9方程法（判别式）（1） （2）课堂练习：1求下列函数定义域：（1）； （2）2（1）已知函数f(x)的定义域为0，1，求的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为0，1，求f(1-3x)的定义域。第六讲函数的表示法一、函数的表示方法解析法：就是用数学表达式表

14、示两个变量之间的对应关系 优点：简明扼要；给自变量求函数值。图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，回顾初中一次函数、二次函数、反比例函数的图像。优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系二、解析式及图像巩固练习求下列函数定义域1、 求函数的定义域？2、 已知函数的定义域为，求的定义域3、 已知的定义域为求的定义域。4、 函数定义域是求的定义域5、 若的定义域为，求的定义域6、 已知函数的定义域为求实数的取值范围。7、 已知函数的定义域是求实数的取值范围。解析式的求法例1.已知，求， ， ；例2已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2

15、f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）例3已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）例4已知函数f(x)满足，求f(x)的解析式。（消去法、方程法）例5.已知，求函数f(x)的解析式。函数的图像例6画出函数的图象。例7画出下列各函数的图象： （1） （2）；例8求函数的解析式，并画出它的图象。三、课堂练习：1 已知 ，求函数f(x)的解析式。 2已知，求函数f(x)的解析3.画出函数的图象。第七讲分段函数及映射一、*分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，说明：（1）分

16、段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。例1 求函数的定义域、值域. 例2已知函数求例3求函数的最大值.例4设函数, 则使得的自变量的取值范围？例5已知f(x)，求f(0)、ff(-1)的值例6求函数的解析式变式2：解不等式。二、*映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集

17、合B的一个映射记作：讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？例1以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？（1） 集合A=P | P是数轴上的点，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2） 集合A=P | P是平面直角坐标系中的点，B= ，对应关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3） 集合A=x | x是三角形，集合B=x | x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4） 集合A=x | x是新华中学的班级，集合B=x | x是新华中学的学生，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。例2 设集合A=a,b,c，B=0,1 ，试问：从A到B的映射一共有几

18、个？并将它们分别表示出来。例3设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下，象(2,1)的原象是（）例4设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象？ 例5设是从集合A到集合B的映射，其中A=B=，那么A中元素（1，3）的像是 ， B中元素（1，3）的原像是 。例6、已知=2x1，= ，求f(g(x)和g(f(x)的表达式.第八讲函数的单调性一、单调函数的概念观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：1）函数的单调性定义 如果对于定义域I内的某个区间D内的任

19、意两个自变量，x2，当时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D是该函数的增区间（减区间）（2）判断函数单调性的方法步骤 任取D，且 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）（3） 单调性的应用：求最值问题（值域）（4） 复合函数的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减二、例题解析例1 如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是

20、减函数？ 例2 求证f(x)x的(0,1)上是减函数，在1,+上是增函数。例3 求函数在区间2，6 上的最大值和最小值例4求函数的最大值例5已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围。例6 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4)，当x2时，f(x)单调递增，如果x1x24，且(x12)(x22)0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值3、 课堂练习1、 f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2a)f(a3)0。求a的范围。2、 求二次函数f(x)=x2ax2在2,4上的最大值与最小值。3、 求函数yx的值域。4、

21、判断函数y=单调区间并证明。 （定义法、图象法； 推广： 的单调性）第九讲最大值与最小值一、函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值二、例题解析1函数f(x)2xx2的最大值是()A1B0 C1 D22 函数y|x1|在2,2上的最大值为 5函数f(x)11x(1x)的最大值是 3 已知

22、函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，求f(x)的最大值4 函数yx26x9在区间a，b(ab0时，f(x)0，f(1)23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值求复合函数定义域设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数

23、。例1求的单调区间。例2求函数的单调区间。例3f（x）=8+2x-x2，g（x）=f（2-x2），试求g（x）的单调区间。三、课堂练习1、不等式对恒成立，求m的取值范围。2.求函数y=x2-2ax-2在区间0，2上的最小值3、求函数y=2x2+x- 1在区间t, t+2上的最小值4、函数f(x)x22axa2在0，a上的最大值为3，最小值为2，求a的值第十讲函数的奇偶性一、函数的奇偶性（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫

24、做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称（4）利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数（5）函数的奇偶性与单调性的关系（图像理解） 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致2、 例题解析例1判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4）（5） （6）例2 设f(x)a

25、xbx5，已知f(7)17,求f(7)的值。例3 f(x)是R上的奇函数，且当时，f(x)=,求f(-3)的值及f(x)=的解析式。例4 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)，求f(x)、g(x)。例5设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围例6 已知f(x)是奇函数，且在3,7是增函数且最大值为4，那么f(x)在-7,-3上是 ）函数，且最 值是 。例7 设f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）f（x），当0x1时，f（x）x，则f（7.5）等于 例8 若f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）0，则xf（x）0的解集为 若f（

26、x）为偶函数，则解集为： 3、 课堂练习1、函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.2、 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.3、 已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)2时，f(x)单调递增，如果x1x24，且(x12)(x22)2时，f(x)单调递增，如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值()A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负例11已知f(x

27、)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为()A1 B1 C0 D无法计算例12已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0时， ； .定义分数指数幂：规定； 指数幂的运算性质：； ； 例题解析1、求值:; ; ; 2、化简：；3. 计算：的结果4、 若三、巩固提高1计算下列各式（1） （2）2、计算下列各式（1） （2）0）3.已知=3，求下列各式的值: （）；（）；（）四、课堂练习1. 化简：.2. 已知，试求的值3. 用根式表示， 其中.4. 已知x+x-1=3,求下列各式的值：5.

28、 求值：; ; ; ; ; 第13讲指数函数的图像和性质1、 指数函数的图像定义：一般地，函数叫做指数函数在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：y2x；y5x；y（）x；y（）x指数函数的性质：结论：（1）一般地，指数函数yax（a0且a1）与yax（a0且a1）的图象关于y轴对称（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）（3） （有界性）若a1，当x0时，y1当x0时，0y1若0a1，当x0时，0y1；当x0时，y12、 例题解析例1 已知指数函数（0且1）的图象过点（3，），求例

29、3函数是指数函数，求a的值。例3 比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73 ( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1例4求下列函数的定义域，值域：（1）y；（2）y；（3）y；（4）y21例5 直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是_。例6如果函数y（a0且a1）在1，1上有最大值14，试求a的值例7 若函数ym1的图象在第一，三，四象限，则（）Aa1且m1Bal且m0C0a1且m0 D0a1且m1例8若，则 例9 若，则a的范围是（）Aa1B0a1 Ca Da例10 若0a1，b2，则函数yb的图象一定不经过（）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象

30、限例11 函数f（x）的定义域为1，4，则函数f（）的定义域为_例12 函数y与yaxa的图象大致是下图中的（）3、 课堂练习1、函数的图象恒过定点_。 2、函数在区间上的最大值比最小值大，则=_ 3、设，则 （ ）A、 B、 C、 D、 4、已知，求的最小值与最大值。5、 求函数f(x)的定义域6、当时，函数和的图象只可能是（ ）第14讲指数函数性质的应用1、 指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a0且a1，则函数yax与yloga(x)的图象可

31、能是()8函数y的定义域是_f(x)log2的图象关于原点对称，则实数a的值为_9.若loga2logb20，则下列结论正确的是()A0ab1 B0bab1 Dba111. .函数yloga(x2)3(a0且a1)的图象过定点_12.若函数，它的反函数是，则下面关系式中正确的是( )Aabc Bac b Cbca Dba10a1图象性质定义域：（0，+）值域：R过点（1，0），即当时，时 时 时 时在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数第18讲对数函数性质的应用例题解析一、比较大小1、比较下列各组数中的两个值大小（1） （2）（3） 2、若1xd，令，则( )Aabc Bacb Ccba Dcab3、若函数，它的反函数是，则下面关系式中正确的是( )Aabc Bac b Cbca Dbac4、AabcBbac CacbDcab二、单调性的应用1、 求y=(-2x)的单调递减区间2、求函数y=(-4x)的单调递增区间3、已知y=loga(2ax)在区间0，1上是减函数，求a的取值范围三、定义域、值域问题1、 定义域为R，求k范围？若值域为R，求k范围？2、求值域（1）y=log(x2-6x+17) （2）y=(logx)2-4logx+13、求函数f(x)=(logx)2-logx+5,x2，4