林寿数学史第十讲：19世纪的几何与分析IIPPT课件

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1、2021/6/71第十讲第十讲1919世纪的几何与分析世纪的几何与分析IIIIl 分析的拓展分析的拓展l 1919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/72分析的拓展分析的拓展l 复变函数复变函数论论l 解析数论解析数论l 微分方程微分方程2021/6/73xQ-yP ,yQxP复变函数论复变函数论n 1782-1812 1782-1812年拉普拉斯年拉普拉斯( (法法, 1749-1827), 1815, 1749-1827), 1815年泊年泊松松( (法法, 1781-1840), 1781-1840)讨论了复函数的积分讨论了复函数的积分泊泊松松 复函数的偏导数与积分性质复函数的偏导

2、数与积分性质17521752年和年和17771777年获得了达朗年获得了达朗贝尔贝尔- -欧拉条件欧拉条件( (柯西柯西- -黎曼条件黎曼条件) )v奠基人奠基人 柯西柯西( (法法, 1789-1857), 1789-1857) 黎曼黎曼( (德德, 1826-1866), 1826-1866) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯( (德德, 1815-1897), 1815-1897)2021/6/74v柯西柯西( (法法, 1789-1857 ): , 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和积分理论建立复变函数的微分和积分理论复变函数论复变函数论n 1814年, 1825年的论文详细讨论了

3、复函数的积分关于积分限为虚数的定积分的报告, 建立了柯西积分定理 0d Czf(z)柯西积分定理n 1826年提出留数概念n1846年发现积分与路径无关定理 )(21)( 00zzdzzfizf柯西积分公式n 1831年获得柯西积分公式2021/6/751789年法国爆发大革命1792年建立第一共和国17991815年拿破仑当政18141830年波旁王朝复辟18301848年七月王朝1848年建立第二共和国18521870年第二帝国复变函数论复变函数论 柯西, 一个复杂的人：多产的科学家、忠诚的保王党人、不出色的教师 父亲支持拿破仑, 与拉普拉斯、拉格朗日交往颇多 1805年进入巴黎综合工科学

4、校学习工程, 1810-1815参加拿破仑工程建设 1816年法国科学院院士、综合工科学校教授，1821年巴黎大学教授 1821-1829年出版三部微积分重要著作, 成为数学分析严格化的开拓者和复变函数论的奠基人 1830-1838年离开法国: 到瑞士, 1831年在都灵, 1833年在布拉格 1849年任巴黎理学院数学天文教授, 1853-1857年任法兰西学院数学教授 发表论文800多篇，全集28卷柯西柯西( (法法, 1989 ), 1989 )2021/6/76v黎曼黎曼( (德德, 1826-1866) : , 1826-1866) : 黎曼面黎曼面复变函数论复变函数论n185118

5、51年博士论文年博士论文单复变函数一般理论基础单复变函数一般理论基础n黎曼映射定理：黎曼映射定理：存在唯一解析函数将单连通区域D双方单值保形映射为单位圆 阿尔福斯（芬美，19071996年）：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。 2021/6/77v魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯( (德德, 1815-1897), 1815-1897)v1919世纪世纪4040年代建立了幂级数基础上的解析函数理论年代建立了幂级数基础上的解析函数理论v解析开拓解析开拓v占据占据主导地位主导地位，三者统一，三者统一复变函数论复

6、变函数论克莱因（德，18491925年）：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。” 2021/6/78解析数论解析数论l 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题l 1859年黎曼(德, 1826-1866)论不超过一个给定值的素数个数: (x)与(s). , 中有无穷多个素数则算术序列互素与若nbabal 1896年阿达玛(法, 1865-1963)和瓦莱普桑(比利时, 1866-1962)证明了素数定理(x)x/lnx 狄里克雷定理l 1737年欧拉恒等式

7、: 解析数论 1s , )1/p-(11n1 1npss2021/6/79解析数论解析数论阿达玛(法, 1865-1963) 瓦莱普桑(比利时, 1866-1962)2021/6/710黎曼猜想黎曼猜想(1859)(1859)解析数论解析数论11)(kzkz素数分布的研究推向壮丽巅峰为数学家留下魅力无穷的谜团 2021/6/711黎曼猜想黎曼猜想(1859)(1859)解析数论解析数论2021/6/712黎曼猜想黎曼猜想(1859)(1859)解析数论解析数论2021/6/713达朗贝尔达朗贝尔( (法国法国, 1959), 1959)偏微分方程偏微分方程22222xuctu t)-(xt)(

8、x x)u(t, 通解1ncossin lnlnau(t, x)n特解n 1747 1747年和年和17491749年达朗贝尔年达朗贝尔( (法法, 1717-, 1717-1783)1783)和欧拉和欧拉( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)求出解求出解n 弦振动方程：弦振动方程：17151715年和年和17271727年泰勒年泰勒( (英英, , 1685-1731)1685-1731)和约翰和约翰 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1667-1748), 1667-1748)分别提出分别提出n 1753 1753年丹尼尔年丹尼尔 伯努利伯努利( (瑞瑞, 1700-1782)

9、, 1700-1782)导出了具有正弦周期模式的解导出了具有正弦周期模式的解2021/6/714偏微分方程偏微分方程拉普拉斯拉普拉斯( (法法, 1955), 1955)0zVyVxV22222202l 拉普拉斯拉普拉斯: 1773: 1773年进入巴黎科学院年进入巴黎科学院, 1796, 1796年任年任法兰西科学院院长法兰西科学院院长, 1799, 1799年任内政部长年任内政部长, 1803, 1803年年任上议院议长任上议院议长, 1817, 1817年再任法兰西科学院院长年再任法兰西科学院院长, , 并并封爵封爵l 17891789年研究制定公制系统年研究制定公制系统n位势方程位势方

10、程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )：17521752年欧拉年欧拉( (瑞瑞, 1707-1783), 1707-1783)提出，拉普拉斯提出，拉普拉斯( (法法, , 1749-1827) 17851749-1827) 1785年用球调和函数求解年用球调和函数求解l 1796 1796年年宇宙体系论宇宙体系论的星云假说，的星云假说，1799179918251825年年天体力学天体力学l “ “陛下陛下, , 我不需要这样的假设我不需要这样的假设!”!”2021/6/715偏微分方程偏微分方程02n 位势方程位势方程42n 1828 1828年格林年格林( (英英, 1793-1841),

11、1793-1841)关于数学分析应用于电磁学理论的一篇关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文论文提出求解方法提出求解方法dnVUnUVdvUVVU)()( 格林公式斯托克斯斯托克斯( (英英, 1819-1903), 1819-1903)麦克斯韦麦克斯韦( (英英, 1831-1879), 1831-1879)n 格林格林: : 诺丁汉磨坊主的儿子诺丁汉磨坊主的儿子n 研读拉普拉斯、拉格朗日的著作研读拉普拉斯、拉格朗日的著作, 1828, 1828年年完成成名之作完成成名之作(1850(1850年发表年发表) )n 1833 1833年剑桥大学自费生年剑桥大学自费生, 1838, 1838年学

12、士年学士, , 积积劳成病，劳成病，18401840年返回诺丁汉年返回诺丁汉 n 发表发表1010篇论文篇论文, , 孕育了剑桥数学物理学派孕育了剑桥数学物理学派2021/6/716v热传导方程热传导方程偏微分方程偏微分方程tTkzTyTxT2222222n 1822 1822年傅里叶年傅里叶热的解析理论热的解析理论v热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造v“这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲学头脑的数学大师才能达到头脑的数学大师才能达到”傅里叶傅里叶( (法法, 1768-1

13、830), 1768-1830)n 1807 1807年傅里叶年傅里叶( (法法, 1768-1830), 1768-1830)提出提出2021/6/717v傅里叶级数傅里叶级数偏微分方程偏微分方程n “傅里叶是一首数学的诗傅里叶是一首数学的诗”n 法国大革命时就读于巴黎高等师范学校法国大革命时就读于巴黎高等师范学校, , 17951795年在巴黎综合工科学校作为拉格朗年在巴黎综合工科学校作为拉格朗日、蒙日的助手日、蒙日的助手n 17981798年随拿破仑远征埃及年随拿破仑远征埃及, , 任埃及研究任埃及研究院秘书院秘书n 1801 1801年被拿破仑任命为地方高级官员年被拿破仑任命为地方高级

14、官员, 1808, 1808年授予男爵年授予男爵, 1815, 1815年全力投入学术年全力投入学术研究研究n 18171817年就职于法国科学院年就职于法国科学院, 1822, 1822年当选为终身秘书年当选为终身秘书, 1827, 1827年被选为法兰西学院年被选为法兰西学院院士院士傅里叶：“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。数学分析与自然界本身同样的广阔。” 2021/6/718九大行星九大行星常微分方程常微分方程1781年，威廉赫歇耳 18441845年，耶得默斯，勒威烈八大行星八大行星2021/6/719常微分方程常微分方程n 解的存在性解的存在性l 1820-1830 1820

15、-1830年柯西获得第一个解的存在性定理年柯西获得第一个解的存在性定理柯西柯西( (法法, 1789-1851), 1789-1851) 李普希茨李普希茨( (德德, 1832-1903) , 1832-1903) l 1869 1869年李普希茨条件年李普希茨条件皮卡皮卡( (法法, 1856-1941), 1856-1941)l 1890 1890年皮卡逐步逼近定理年皮卡逐步逼近定理l 1875 1875年柯西柯瓦列夫斯卡娅定理年柯西柯瓦列夫斯卡娅定理n 柯瓦列夫斯卡娅，杰出女数学家，发表柯瓦列夫斯卡娅，杰出女数学家，发表1010篇论文篇论文n 出生贵族家庭，很小对数学痴迷出生贵族家庭，很

16、小对数学痴迷n 18691869年，到海德堡年，到海德堡n 18701870年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生n 18741874年，哥廷根大学博士年，哥廷根大学博士n 18841884年，斯德哥尔摩大学教授年，斯德哥尔摩大学教授n 18881888年，解决年，解决“数学水妖数学水妖”问题问题n 18891889年，彼得堡科学院通讯院士年，彼得堡科学院通讯院士 柯瓦列夫斯卡娅柯瓦列夫斯卡娅（俄，（俄，1850185018911891） 2021/6/720常微分方程常微分方程n 解的定性与稳定性理论解的定性与稳定性理论l 1881- 1881-18861886

17、年庞加年庞加莱在莱在由微由微分方程定义分方程定义的曲线的曲线创创建了微分方建了微分方程的定性理程的定性理论论庞加莱庞加莱( (法法, 1854-1912), 1854-1912)( (法法, 1952), 1952)李李雅雅普普诺诺夫夫( (俄俄, , 1851857-7-1911918)8)( (俄俄, , 1951957)7)l 1892 1892年李年李雅普诺夫在雅普诺夫在运动稳定运动稳定性的一般问性的一般问题题开创了开创了微分方程的微分方程的稳定性理论稳定性理论2021/6/721常微分方程常微分方程n 庞加莱庞加莱( (法法, 1854-1912): , 1854-1912): 显赫

18、的家族显赫的家族, , 多病的童年多病的童年n 18731873年进入巴黎综合工科学校年进入巴黎综合工科学校, 1879, 1879年关于微分方程的论文得到博士学位年关于微分方程的论文得到博士学位, , 18821882年提升为巴黎大学教授年提升为巴黎大学教授, 1906, 1906年当选法国科学院院长年当选法国科学院院长, 1908, 1908年选为法兰西年选为法兰西学院院士学院院士n “我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士健全的战士, , 直至他的逝世。直至他的逝世。”( (沃尔泰拉沃尔泰拉)

19、 )n 500 500篇科学论文和篇科学论文和3030本科学专著本科学专著, , 开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究代数几何等新方向的研究n 1919世纪最后四分之一和世纪最后四分之一和2020世纪初世界数学的领袖人物世纪初世界数学的领袖人物, , 对数学及应用具有全对数学及应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师面了解、能够雄观全局的最后一位大师n 19051905年，鲍约奖（年，鲍约奖（l0000l0000金克朗）金克朗）n 阿达玛阿达玛: : 庞加莱庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的整个地改变了数学科

20、学的状况，在一切方向上打开了新的道路。道路。”2021/6/722 追求真理应该是我们活动的目标，它是值得我们活动的唯一目的，毫无疑问，世界一日不灭，痛苦终身不能已。如果我们希望越来越多地使人们摆脱物质烦恼，那正是因为他们能够在对真理的研究和思考之中享受到自由。庞加莱科学的价值(1905)常微分方程常微分方程2021/6/723u “呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国之边患。推源其故，制器精也，推源制器国之边患。推源其故，制器精也，推源制器之精，算学明也。之精，算学明也。” u “人人习算，制器日精，以威海外。人人习算，制器日精，以威海外。”l 垛积比类垛积比类

21、(1850)(1850)1919世纪的中国数学世纪的中国数学李善兰恒等式李善兰恒等式 qkqnkqqqnqk22022021/6/724u 徐光启等译徐光启等译几何原本几何原本 后后250250年年几何原本几何原本(1857)(1857) 谈天谈天(1858)(1858)u 万有引力定律及天体力学万有引力定律及天体力学重学重学(1859)(1859) u 牛顿运动定律牛顿运动定律 代微积拾级代微积拾级 美美, , 罗密士罗密士(1859)(1859) 代数学代数学 英英, , 德德摩根摩根 (1859) (1859)1919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/7251919世纪的中国数学

22、世纪的中国数学丙对天甲天甲彳天禾)(cx)(axadxln卯地彳天地彳地天彳天mydxydyxdx李善兰李善兰: : 天文算学馆数学教习天文算学馆数学教习(1868-1882)(1868-1882) 小学略通书数小学略通书数, , 大隐不在山林大隐不在山林 京师同文馆京师同文馆 代表代表1919世纪中国传统数学最高峰世纪中国传统数学最高峰直线之公式，地甲天丄乙，则地为天的函数。 2021/6/726翻译馆翻译馆华蘅芳华蘅芳( (中中) )1919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/727l 中国近代科学事业的先行者中国近代科学事业的先行者 1919世纪的中国数学世纪的中国数学l 代数术代

23、数术(1872)(1872)l 微积溯源微积溯源(1874)(1874)l 决疑数学决疑数学(1880)(1880) TTT 壬丁乙辛已甲庚戊丙庚乙已丁辛丙甲戊壬壬辛庚已戊丁丙乙甲2021/6/7281919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/729 1919世纪的中国数学世纪的中国数学，求天地人之同数。五五天四人四地四二地三人三天四五人三地二天 T T T z.yx55x-4z4y42y-3z3x45z-3y2x ，求 T 二二二二乙甲二七丙三丁五 27ba3c-5d 22222021/6/730 1919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/7311919世纪的中国数学世纪的中国

24、数学2021/6/732 1919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/733l 中国传统数学中国传统数学历史存在与文化影响历史存在与文化影响l 中国现代数学中国现代数学另起炉灶与学习西方另起炉灶与学习西方 “五四”运动(1919)1919世纪的中国数学世纪的中国数学2021/6/734 周 秦 汉 魏 唐 宋 元 明 清 (前221-前206) (220-265) (618-907) (960-1279)(1279-1368)(1368-1644) (1644-1911)初期形成体系稳步发展兴盛期衰落期西方数学传入206220907130315821911中算之进程中算之进程2021/6

25、/7351919世纪的主要数学家世纪的主要数学家德国 高斯高斯(1777-1855) 魏尔斯特拉斯(1815-1897) 黎曼(1826-1866) 康托(1845-1918) 克莱因(1849-1925) 庞加莱庞加莱(1854-1912) 法国 傅里叶(1768-1830) 柯西柯西(1789-1857) 英国 哈密顿(1805-1865) 凯莱(1821-1895) 庞加莱、克莱因、希尔伯特，是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影，反射着19世纪数学的光辉，同时照耀着通往20世纪数学的道路。 2021/6/736第十讲思考题第十讲思考题 1 1、从柯瓦列夫斯卡娅的数学道路谈数学中、从柯瓦列夫斯卡娅的数学道路谈数学中的性别歧视。的性别歧视。2 2、如何理解、如何理解1919世纪的数学是世纪的数学是“函数论的世函数论的世纪纪”？3 3、近、现代数学的分界线从何算起？谈谈、近、现代数学的分界线从何算起？谈谈您的想法。您的想法。4 4、试分析、试分析1919世纪世界数学中心的转移。世纪世界数学中心的转移。5 5、1919世纪末中日数学之比较。世纪末中日数学之比较。 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！