北京理工大学2008级数值分析试题及答案

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1、课程编号：12000044北京理工大学2009-2010学年第二学期2008级计算机学院数值分析期末试卷 A卷班级学号姓名成绩注意：答题方式为闭卷。 可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。311.用牛顿下山法求解方程X x=0根的迭代公式是3下山条件是二、选择填空（每题2分，共10分）1.已知数 xi=721 X2=O.721 x3=0.700x4=7*10-2是由四舍五入得到的，贝U它们的有效2.数字的位数应分别为（）A. 3, 3, 3, 1C. 3, 3, 1, 1为求方程x3 x2B.3, 3, 3, 3D.3, 3, 3, 2仁O在区间1.3,1

2、.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（）A X 1.n ,Xn-1B.Xn 1二1 AXn2C. Xn 1 =3 1 XnD.Xn 12Xn3. 线性方程组AX=B能用高斯消元法求解的充分必要条件是（）。A. A为对称矩阵B. A为实矩阵C. I A I工OD. A的各阶顺序主子式不为零4. 用选主元的方法解线性方程组 AX二B，是为了（）。A. 提高计算速度B.减少舍入误差C.减少相对误差D.方便计算5. 下列说法不正确的是（）。A. 二分法不能用于求函数f（x）=O的复根。B. 方程求根的迭代解法的迭代函数为（x），则迭代收敛的充分条件是（x）1

3、oC. 用高斯消元法求解线性方程组 AX二B时，在没有舍入误差的情况下得到的都是 精确解。D. 如果插值节点相同，在满足插值条件下用不同方法建立的插值公式是等价的。三、计算题（共60 分）1. 已知单调连续函数y=f（x）的如下数据，若用插值法计算，x约为多少时f（x）=O.5，要 求计算结果保留小数点后4位。（6分）Xi-1O23f(Xi)-4-1O32. 设a为常数，建立计算 a的牛顿迭代公式，并求115的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。（6分）1 3. 用三点高斯求积公式求Ix 1.5dx，计算结果保留小数点后6位（6分）- -1士此Wi20.577 350 269 2130仇 7

4、74 596 6926 888 888 888 90.555 555 555 64. 用高斯消元法解下面的线性方程组。（6分）X1 X2 - X3 = 1“ Xt + 2x2 _ 2x3 = 0一 2Xt + x2 + x3 = 15. 用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。（6分）10X1 2x2 X3 =3“ -2xp +10x2 - x3 = 15一 X1 - 2x2 + 5x3 = 106. 设函数f（x）在区间0,3上具有四阶连续导数，试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3（x），使其满足如下数据表值，并给出截断误差估计公式。（10 分）xyy001132

5、17. 用Euler法和改进的欧拉法求解下述初值问题，取h = 0.1，计算到x=0.5，要求计算结果保留小数点后6位。（10分）2xy = y ,0 x 11 y（0） = 18. 用复化梯形公式计算积分| = 1 dx，若要使截断误差不超过10-2,则应在区0 1 + x间0， 1上分成多少等份？并计算积分的近似值。（10分）课程编号：12000044北京理工大学2009-2010学年第二学期2008级计算机学院数值分析期末试卷 A卷班级学号姓名成绩 注意：答题方式为闭卷。 可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。填空题(每空2分，共30分)1. 设函数

6、f(x)区间a, b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)0,当f(x)工0 时，用双点弦截法产生的解序列收敛到方程f(x)=0的根。2. n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 , n个求积节点的高斯求积公式的代数精度为。3. 已知a=3.201, b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则 a b有 2 位有效数字，a+b有 2位有效数字。解析：0.009(ab)= (a)+ (b)= 0.0 0050.005+3.2010.57(ab)= (ab)x ab= 0.009X 3.201 x 0.57 0.0160.05(a+b)= (a)+ (b)=0.0005+0.005=0.0

7、0550.054. 当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为 f(-1)=0，f(0)=2, ”4)=10,贝U f(x)的拉格朗日插值多项式是解析:l(x)(x 0)(x4)0 (x4)(x4)2 (x(x 0)佃(-1 - 0)(1 - 4)(01)(0 - 4)(41)(4 - 0)11(x 1)(x - 4) x(x 1)225.设有矩阵A二2 o_43 则A 仔解析：|A| 1 =max2+0,3+4=76. 要使 20 =4.472135的近似值的相对误差小于0.2%，至少要取 位有效数字。解析：(2：叭 0.2%, ( 20)20 0.2%0.0090.0050.0097.对任意

8、初始向量X(0)和常数项N，有迭代公式x(k=Mx (k) N产生的向量序列:X(k)?收敛的充分必要条件是讪)1。138. 已知n=3时的牛顿-科特斯系数C03 11.用牛顿下山法求解方程 0根的迭代公式是 = -,C =二则C24)二882C(3) _39. 三次样条函数是在各个子区间上的3 次多项式。|5x1 2x2 x3 - -1210. 用松弛法 =0.9)解方程组Xi +4X2 +2X3 =20的迭代公式是2x2 - 3x2 +10x3 = 3xixk 12xk2竺(12 5xk51竺(20 xk 14 10.9(2xk 110i1-2xk - xk)23 f4xk 2xk)23

9、f3xk 1 - 10xk)23 *78Xn 广 Xn3 叫 x：T)x： 3x#，下山条件是 |f(Xn+1)| |f(Xn)|解析：牛顿迭代公式：Xn+1=Xn-f (Xn)/ f (X牛顿下山法迭代公式：Xn+1 =Xn- f nX/f(X n)f (x)x2-1Xn+1=Xn- ( Xn /3 Xn)/( Xn 1)= Xn- Xn ( Xn 3)/( 3Xn 3)二、选择填空(每题2分，共10分)1. 已知数X1=721 X2=0.721 X3=0.700 X4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为(A )。A.3, 3, 3, 1B.3, 3,3,3C.3

10、, 3, 1, 1D.3, 3,3,22.为求方程x3 x2仁0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A,D )A x1xn 1-：/xn - 1B. Xn i AXnXnD. Xn 1解析：A:(3)| 3.1| (1.6)卜 1.1B:C:D:3.(x)(x)(x)(x)-2 (x 1)3-2 I (1.酬 0.93x-2x33 (1 x2)22x(x2 x 1)x2(2x 1) 4x3 3x2 2x (x2 + x+ 1)2 旦 / D )。(x2 x 1)2线性方程组AX=B能用高斯消元法求解的充分必要条件是B. A为实矩阵A.

11、 A为对称矩阵C. I A I工0D. A的各阶顺序主子式不为零4. 用选主元的方法解线性方程组 AX二B，是为了( B )。A.提高计算速度B.减少舍入误差C.减少相对误差D.方便计算5. 下列说法不正确的是(B )。A. 二分法不能用于求函数f(x)=0的复根。B. 方程求根的迭代解法的迭代函数为(x)，则迭代收敛的充分条件是(x)0取 x0=11X1=? (11+115/11)=10.72727X2=? (10.72727+115/10.72727)= 10.72381X2=? (10.72381+115/10.72381)= 10.723811i3. 用三点高斯求积公式求Ix 1.5d

12、x，计算结果保留小数点后6位(6分)11士此g20.577 350 269 21300t 774 596 6920* 888 888 888 96 555 555 555 64.用高斯消元法解下面的线性方程组。（6分）X1X2 - X3=1X12X2 - 2X3 :=0- 2x1X2X3=1I11=1,u11=1u12=1u13=-1z1=1121= 1/1=1I22=1,u22=2-1X 1=1u23=-2-1 X (-1)=-1z2=0-1 X 1=-1I31=-2/1=-2I32=1-(-2) X 1=3I33=1,u33=1-(-2)X (-1)-3 X (-1)=2z3=1-(-2)

13、 X 1-3 X (-1)=6解答:x1 x2 - X3 = 1x2 - X3 =12X3 二 65. 用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。（6分）10X1 - 2x2 - X3 = 3 - 2xj +10x2 - x3 = 15一 X1 - 2x2 + 5x3 = 10k 1x1k 1x31(3 2x10丄(15 2xk 110 1*10 xk 151k k、2x3)23kx2x3) x二 0.3 02x：01x：)二 1.5 0.2x： 10 1x：)二 2 02x： 1 04x： J解答:取 x0=(0,0,0)x1=(0.3,1.56,2.684)x2=(0.880

14、4,1.9445,2.9539)x3=(0.9843,1.9923,2.9938)x4=(0.9978,1.9989,2.9991)x5=(0.9997,1.9999,2.9999) x6=(1.0000,2.0000,3.0000)x7=(1.0000,2.0000,3.0000)6. 设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式P3(x)，使其满足如下数据表值，并给出截断误差估计公式。(10 分)xyy0011321解答:构造差商表:xyfXi,Xi+1fXi,Xi+1 ,Xi+2fXi,Xi+1 ,Xi+2 ,Xi+30011(1-0)/(1

15、-0)=111y 71!=3(3-1)/(1-0)=221(1-1)/(2-1)=0(0-3)/(2-1)=-3(-3-2)/(2-0)=-2.5232P3(x)=0+x X 1+x(x-1) X 2+x(x-1) x (-2.5)=-2.5x -3x -3.5x截断误差公式：R(x)=f 4! X x X (x-1) 2 (x-2)0,27. 用Euler法和改进的欧拉法求解下述初值问题，取h = 0.1,计算到x=0.5，要求计算结果保留小数点后6位。(10分), 2xy= y -yy(0) =18. 用复化梯形公式计算积分|二1-dx，若要使截断误差不超过10-2,则应在区0 1 + x

16、间0， 1上分成多少等份？并计算积分的近似值。(10分)14一、填空题(每空2分，共30分)1.设函数f(x)区间a，b内有二阶连续导数，且f(a)f(b)0,当 时，用双点弦截法产生的解序列收敛到方程f(x)=0的根。2.n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 , n个求积节点的高斯求积公式的代数精度为。3.已知a=3.201， b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a b有位有效数字，a+b有位有效数字。4.当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为 f(-1)=0，f(0)=2, ”4)=10,贝U f(x)的拉格朗日插值多项式是。5.设有矩阵 A= 23 ，则 | A II 1=。b 46.要使 20 =4.472135.的近似值的相对误差小于0.2%,至少要取位有效数字。7.对任意初始向量X(0)和常数项N，有迭代公式x(k=Mx (k) - N产生的向量序列X(k收敛的充分必要条件是 。138.已知n=3时的牛 顿-科特斯系 数C03)二,C1* 1 2 3)=-，则C24) 5 6 7 8 9 10 =88C(3) _C39.三次样条函数是在各个子区间上的 次多项式。|5x 2x2 x3 - -1210.用松弛法 伸=0.9 )解方程组* - x +4x2 + 2x3 = 20的迭代公式是2x2 -3x2 +10x3 = 315