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1、2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答2016年6月5日上午8:3011:00、填空题（每小题7分，共56分）lOg2016 xax 65的值域为Ra的取值范围答案:16 a16.解：由值域y R2 x axax 6416a 16.2、四面体ABCD中,ABC是个正三角形,ADBDAD CD ,则D到面ABC的距离为答案:解：如图,据题意得，AB是BCCA AB 2,2因BC2BD2 CD2,得BD CD ,从而以2.3CD .AC2 AD2AD2 BD2 2、2为顶点的三面角是三直三面角,1四面体体积V ADS Rrn _BCD3AB2若设D到面ABC的距离为h1h 3ABC由h32.
2、33、若对于所有的正数x, y ,均有Vx7y a Jx_y ,则实数a的最小值是.答案：亚.工xy当xy时取等4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点,APC则 tan2tan2答案:8.解：如图建立直角坐标系，设圆方程为则正方形顶点坐标为 A( r, r), B(r,r),C(r,r),D(r,2 rBPD ,若点P的坐标为P(r cos , r sin ),于是直线PA, PB, PC, PD的斜率分别为kA1 sin1 cos,kB1 sincos21 sin .,kPD1 cos1 sin1 cos所以tan2kPC1kPAkPC4(cos2 sin ),tan2kPD kPB1 k
3、PBkPD4(cos sin)2,由此立得tan2tan28.解2:取特例,P在坐标轴上，则这时，tancot22tan tan八2八2八2285、等差数列2,5,8,L,2015 与 4,9,14,L ,2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数是.答案：134.3,6,9, L ,20161,2,3,L ,2016解：将两个数列中的各项都加1,则问题等价于求等差数列与等差数列5,10,15,L,2015的公共项个数；前者是M中的全体能被3整除的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项是M中的全体能被15整除的数，这种数有2016134个.4、. 3.答案：9156、设x为锐角，则函数
4、ysinxsin2x的最大值是2斛：由y2sinxcosx,/日2,.422、，/22信y4sinxcosx2(1cosx)(1cosx)2cosx162722233(1cosx)(1cosx)2cosx222-所以y心.当cos2x 9331,一一时取得等号.37、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：(答案有多种)I1I7I9I8、把从1到n(n1)这n个连续正整数按适当顺序排成一心鼻叵可列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是|814M15rl15.例如，排出的一个数列为(8
5、,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9).解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作.记这n个连续正整数的集合为M1,2,L,n，由于n1,则M中必有2,而279,所以n7,当n7时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即n10,而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,10616,这三段扩充为(8,1,3,6
6、,10),(2,7,9),(4,5),仍旧不能连接，应当借助新的平方数25,从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15,则n15,而当M1,2,L,15时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9).、解答题(共64分),则直线AN方程为9、(14分)如图，CD是椭圆x21的一条直径,ab过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线，交椭圆于另一点N,交椭圆短轴所在直线于M,证明：AMANCOCD.不点A, N的坐标为A(a,0), N (acos , bsin证1：椭圆方程为xacos,ybsin,xatcos，3ytsin222222代入椭圆
7、方程得到(bcosasin)t2abtcos0,22abcosa/、ANt22,AM(一),6bcosasincos2一2a2b2因此AMANa,9bcosasin又据AN/CD,则点C,D坐标为：C(ODcos,ODsin),D(ODcos,ODsin),122b2因为C,D在椭圆上，则CO2-一2-a-b-,而,bcosasinCOCD2CO2,222ab7222.2bcosasin因此AM证2：ANCOCD.14易知CD的斜率k存在，不妨令CD:kx,与椭圆方程联系,解得CI一b2a2k2,b2kab22akabb2a2k2.b2kab22ak322.21kabCO2.2ak,CD41k
8、2a2b2.b2a2k2COCD2.2ab6AN方程为:0,ka.将AN方程与椭圆方程联立,b22,22akx3,22akx2,2ab0Xa3122akab23.2akyN2kab2722T-2,bakANAM232abakb2XN.22.2baka1k21222,44kab2ab2.1k2AMAN2a2b21a2kk29b2CO10、（15分）如图，D是ABC的旁心,明：、B,C,E2.22kCDb214点A关于直线DC的对称点为E.证点共线；（2）、A,B,D,E四点共圆证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE，QD为旁心，CD平分BCN,2又A、E关于DC对称，CM平分ACEDCNAC
9、M,BCDMCEBCNACE,B、C、E三点共线。52、过C作CIAE交AD于I,则ICDC7I为VABC内心。连BI,则BI平分ABC,10IBD90,B、D、C、I四点共圆，12CBDCIDEAD,A、B、D、E四点共圆。1511、(15分)设x,y,z为正数，满足：xyyzzx1,证明：证：据条件，即要证xyz(x+y+z-xyz)(1x2)(1y2)(1-z2)也即xyz(x+y+z)1-(x2y2z2)(x2y2y2z2x2z2)3将此式各项齐次化，因为22222221(xyyzxz)xyyzxz2xyz(xyz)6222222xyz(xyz)(xyyzxz)333x(yz)y(xz
10、)z(xy)xyz(xyz)代入，只要证xyz(xyz)2(x2y2y2z2x2z2)x3(yz)y3(xz)z3(xy)xyz(xyz)333222222即x(yz)y(xz)z(xy)2(xyyzxz)012222也即xy(xy)yz(yz)xz(xz)0。此为显然，故命题得证.15证2:由题设得:yxz1zx,xyz1yz,zxy1xy,三式相乘，故原不等式等价于证明：2/2/21zx1yz1xy1x1y1z3上式两边展开并化简得：222xyzxyyzzx222222222xyyzzxxyzxyzxyz6配方得：222222xyzyzxzxy9202.2即1z2xy1x2yz1yzx01
11、2显然成立.1512、（20分）设集合A1,2,L,2016,对于A的任一个1008元子集X,若存在x,yX,满足xy,xy,则称X为“好集”，求最大的正整数a,(aA),使得任一个含a的1008元子集皆为“好集”.解：因任何正整数n可以表为n2t形式，其中N,t为正奇数，于是集合A可划分为以下1008个子集：Ajmm2(2j1),N,1m2016,j1,2,L,10084对于集合A的任一个1008元子集X,只要集X中含有某一个Aj中的至少两个元素x,y,(xy),因x2k1(2j1),y2k2(2j1),kk?,则xy；此时X为好集；以下证明正整数a的最大值为671：8若a671时，对于A的
12、任一个1008元子集X,如果X中含有某个Aj中的至少两个元素，则X便是好集；如果Aj中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X中，那么Ai007也有一个元素在X中，但A10072013为单元素集，于是2013X,而a2013,(201367133a),这说明X仍是好集，因此a671合于要求.12下面说明当a672时，存在含a的集X不是好集；分两种情况：(1)、若a1009,取1008元集X01009,10101,2016,则aX0,因X0中任两个不同元素xy,均有xy,故X0不为好集，这种a不合要求.15(2)、若672a1008,记X1672jj0,1,L,336,X2X02(672j)|j0,1,L,336,令XX1UX2,则X1008,且aX1,若X中存在xy,xy,因x672,y2016,则y3x;若x672,如果xy,xy,只有y2x或者y3x,此时y的取值只能是：y26721344,或者y36722016；由于13442(6720),20162(672336),这说明，这两个数已被挖去，不在集合X中；18若x672,假若xy,只有y2x,这种数y也已悉数被挖去，即yX,因此X不是好集，这种a也不合要求.综上所述，a的最大值为671.20
全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答
