全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案范文

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1、2017年全国高中数学联赛A卷一、填空题1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x3)f(x4)1.又当0x7时，f(x)log2(9x),贝|Jf(100)的值为.22 .右头数x,y满足x2cosy1,则xcosy的取值范围是.223 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为：x-工1,F为C的上焦点，A为C的右顶点，910P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为.4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5 .正三棱锥P-ABC中，AB=1,AP=2,过AB的平面a将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值

2、为6 .在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)x,y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为.7 .在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若A,ABC的面积为,则3AMAN的最小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列an,bn满足：a10b102017,对任意正整数n,有an2an1an,bn12bn，则a1“的所有可能值为.二、解答题9 .设k,m为实数，不等式x2kxm1对所有xa,b成立.证明：ba2J2.10 .设Xi,x2,x3是非负实数，满足Xix2x31,求(x13x25x3)(x1上&)的最小值和最35大值.2211 .设复数Z1

3、,Z2满足Re(z1)0,Re(z2)0,且Re(z1)Re(z2)2(其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re(ZiZ2)的最小值；(2)求|42|z22|z1z2的最小值2017年全国高中数学联赛A卷二试1 .如图，在ABC中，ABAC,I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1,以I为圆心，旧为半径作圆2，过点B,I的圆3与1,2分别交于点P,Q(不同于点B).设IP与BQ交于点R.证明：BRCR二设数列an定义为a11,an1annann,n1,2,.求满足arr32017的正整数ann,ann,r的个数.3 .将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格

4、的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.4 .设m,n均是大于1的整数，mn,a1,a2,an是n个不超过m的互不相同的正整数，且.,2,a1，a2,an互素.证明：对任总头数x,均存在一个i(1in),使得怙乂|冈，这里Jm(m1)表示实数y到与它最近的整数的距离2017年全国高中数学联赛A卷一试答案解：由条件疝,打1+14)=-I=*工)，所以/(-v+7)/(-100)=/(-100+14x7)=/(-2)=-1.解：由于TI2g”二1,司，放一Tf二力一。“I1-Ir二1由cos+-可知.11cosrX-Ia十I)一】因此=丫=时.

5、A有最小值(这时可以取工)：当L,对，笫、有最大值|2.工讨】匚二取二.平于;二一】广一：三唯.国是一L、公一1.的久信苟市是171行+1，若8 = 0,则白=1,cwm/，有2个平稳数.4.若卜=1,则在W出，。阻.1.耳，有2K3 = 6个平稳数.2b8,则 仍-1*+1卜有 7x3x3 = 63 个平稳数.若b=9,则cW&*，有2x2 = 4个平稳数.综上可知平稳数的个数是2 + 6 + 63 + 4 = 75.解:设才8, R7的中点分别为 W,则易证平而乂8M就是平而门.由中线 长公式知J.V - -(AP I AC ) PC -(2 I I 1所以 KM =- AK =5.又易知

6、直线尸匚在平司n上的射影是直线1国，而CA/ = LAT=*,所以n A W + XfC -K( cosZAAR -2Kf U(故楼FC与平而。所成角的余弦值为止.10II4_ 4 -八vsH6.解：密条件知，“_一|.第 1-ACf故 244ti j.v - ; ah 卜尔卜3 + -ac 上山 ac 4/-jcL 2，1 144 J XI 1由于百=乳皿=；卜(?卜而/ = ( J/8，TC1所以叫.，我,一41进7.一步可得叫可从而解:易知d0.0),F(0,1).设尸的坐标是(3ccs凡收5网，SW,三卜-(Hlcosisin)=-sin(H-7),123.其中1rurctaii坦.当

7、。-manVHi时f四边形S4NF面积的最大值为-1028.9.10.11.解:由条件可知工4，用，均为正整数且一I由于201714 2/51M.故人I二.苦.反复运用应的递推关系知 -a -a - ,(/ 卜4.一，沁-I 2iJ -+31一X% I 5aI+&一 2 Id. I .如,、-34+ 2 II/ J,因此21a = a , = b.Ll = 512ft = 2fr(mod34),而k I,故有=13x21 13x2 -26M.mod. 另一方面，注意到叫工认，有55产34&十2呵一5123故2017年全国高中数学联赛A卷二试答案正明；首先证明以下两个结落燃rt1：在空敬C.；*

8、足+4%+*匚=I*井fl区加*ISia.浊于(4*)二L由黄蜀定理，整于弓涌足ctcf,+cq,+rd.=I.(1.)卜Ri止明.独过调螟.存存一级廨足，H绝好值均不超;过股.叱J一Z1一三通III、，.cj-Z|C/t0-y产一如果$J0.*么存/1,E)E.于1LMA1.又m为K+H.，4j-j7j1E数,由由可知存在口0.令(7-(;-ur.q=r.U4七W*k*lj)t2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分.1 .在等比数列an中，a2J2,a33/3.则a1a2011的值为.a7a20172 .设复数z满足z910z22i,则|

9、z|的值为.3 .设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)X2是奇函数，f(x)2x是偶函数，则f(1)的侑为.4 .在ABC中，若sinA2sinC,且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为5 .在正四面体ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE3,EF4,且EF与平面BCD平行，则DEF的面积为.6 .在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)|x,y1,0,1,在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为7 .设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2ay2a20的焦距为4,则a的值为8 .若正整数a,b,c满足201710a100b1000c

10、,则数组(a,b,c)的个数为.二、解答题(本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9 .设不等式|2xa|52x|对所有x1,2成立，求实数a的取值范围.10 .设数列an是等差数列，数列bn满足bn20冏2a2,n121M.(1)证明：数列bn也是等差数列；(2)设数列an、bn的公差均是d0,并且存在正整数s,t,使得asbt是整数，求|a1|的最小值.22211.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：y4x,曲线C2:(x4)y8,经过C1上一点P作一条倾斜角为45：的直线l,与C2交于两个不同的点Q,R,求|PQ|PR|的取值范围.2017年全国高中数学联合

11、竞赛加试(B卷)一、(本题满分40分)设实数a,b,c满足abc0,令dmaxa,b,c,证明：(1a)(1b)(1c)1d2二、(本题满分40分)给定正整数m,证明：存在正整数k,使得可将正整数集N分拆为k个互不相交的子集A,A2,H|,Ak,每个子集A中均不存在4个数a,b,c,d(可以相同)，满足abcdm.(本题满分50分)如图，点D是锐角ABC的外接圆上弧BC的中点，直线DA与圆过点B,C的切线分别相交于点P,Q, BQ与AC的交点为X, CP与AB的交点为Y, BQ与CP的交点为T,求证:AT平分线段XY.四、（本题满分50分）设 a1，a2,a2。1,2,|,56,2,|,20

12、12,10,集合X (i,j)1 i20,但aj)(b斗）0,求X的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案:8解:9数列an的公比为qa3a23 3/故a1a2011a722017a1a2011q (a1a2011)2.答案:.5解：设z a bi ,a, bR,由条件得（a 9） bi10a ( 10b 22)i，比较两边实虚部可得9 10a 加口,解得：a10b 221,b进而|z|.,5.3.答案:解：由条件知，f （1）-2(f( 1) ( 1)f( 1) 1, f(1) 2f( 1)两式相加消去f( 1),可知：2f (1)1 即 f(1)24.解：由正弦定理知，a 吧4 2 ,又b

13、 c sin C2ac,于是a :b:c 2:72:1 ,从而由余弦定理得:.222a b c acosA 2bc(、2)2 12 22222 145.解:由条件知,EF平行于BC,因为正四面体 ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF4, AD AB AE BE 7.由余弦定理得， DE ,AD2 AE2 2AD?AE?cos60；. 49 16 28. 37 ,同理有DF .37 .,_ _1作等腰 DEF底边EF上的高DH ,则EH - EF 2,故2DH TDE_EH7 底,于是S DEF1EF(DH 2v33 .36.解：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数

14、为C984种,当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况:(1)三点在一横线或一纵线上，有6种情况，(2)三点是边长为1,1,J2的等腰直角三角形的顶点，有4416种情况，(3)三点是边长为J2,J2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0),(0,1)的各有一个，共有8种情况.305综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830,进而所求概率为-8414227.解：二次曲线方程可写成-x2-y-1,显然必须a0,故二次曲线为双曲线，其标准方程为aa2_y_(a)2X221 ,则c2(a)2(F, 、22_2(a) a a ,

15、注息到焦距 2c 4 ,可知a a 4 ,又a 0,所以a11722017-8 .解：由条件知c2,当c1时，有10b20,对于每个这样的正整数b,由100010ba201知，相应的a的个数为20210b,从而这样的正整数组的个数为20(202 10b)b 10(102 2) 11 572, 22017.一2017当c2时，由20b，知，b20,进而200a201,10010故a200,201,此时共有2组(a,b,c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574.9 .解：设t2X,则t2,4，于是|ta|5t|对所有t2,4成立，由于22_|ta|5t|(ta)(5t),(2ta5

16、)(5a)0,对给定实数a,设f(t)(2ta5)(5a),则f(t)是关于t的一次函数或常值函数，注意t2,4,因此f(t)0等价于f(2)(1a)(5a),解得3a5f(4)(3a)(5a)0所以实数a的取值范围是3a5.2210.斛：(1)设等差数列an的公差为d,则bn1bn(an2an3an1)(an1an2an)所以数列bn也是等差数列.(2)由已知条件及(1)的结果知:3d2因为d0,2bnan1an2an(and)(an2d)2an3dan2d2an1、八一,这样329若正整数s,t满足asasbtbtai(s1)da1(t1)d2a1记l2al从而|a1|又当a139st23

17、1.181.时，有a118Z,且18al3(311)1是一个非零的整数,故118aJ1,综上所述,11.解:设(x4)2化简可得:b3|a1|的最小值为11811718182P(t2,2t),则直线l的方程为-22(x2tt)8,_2_2_22x2(t2t4)x(t由于1与C2交于两个不同的点，故关于2t)22tt2,代入曲线C2的方程得,80,x的方程的判别式为正，计算得,(t22t)28(t22t)(t22t)(t22t8)t(t2)(t2)(t4),因此有t(2,0)|J(2,4),2_122设Q,R的横坐标分力为x1,x2,由知，Xix2t2t4,x1x2(t2t)8),2因此，结合l

18、的倾斜角为45：可知，42-2_2t4t8(t2)4,由可知，t22(2,2)|J(2,14),故(t22)20,4)J(4,196),从而由得:注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式4 2t t2、2| 2.2同样可以求得中t的范围.C2的圆心为M (4,0),半径为注2：更简便的计算|PQ肌PR|的方式是利用圆募定理，事实上,2222_2242_r2、2,故|PQ|PR|PM|r(t4)(2t)(2、2)t4t8.加试试卷答案一、证明：当d1时，不等式显然成立以下设0d1,不妨设a,b不异号，即ab0,那么有一一92O因此(1a)(1b)(1c)|(1c)(1c)1c21

19、c1d2二、证明：取km1,令Axxi(modm1),xN,i1,2,|,m1设a,b,c,dA,则abcdi?ii?i0(modm1),故m1abcd,而m1m,所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d,满足abcdm- AX证明：首先证明YX/ BC ,即证工XCAYYB连接BD,CD ,因为S与？SS ABC SABCABPS ACQ二所以21 “1 八八AC?CQsin ACQ -AC?BCsin ACB1 八八八 1 八AB?BCsin ABC AB?BPsin ABP2 21八八-AC?AQsin CAQ21 八AB?APsin BAP 2由题设，BP,CQ是圆 的切线，所以ACQ

20、ABC , ACB ABP,又CAQ DBC DCBBAP 一AB?AQ(注意D是弧BC的中点)，于是由知 AC ?APCQBP因为CAQBAP ,所以BAQ于是S _ ABQS ACP1 -八-AB?AQsin2 BAQ1 -AC?APsin CAP 2AB?AQ 区AC?APBCQBCP1 “-BC?CQsin BCQ2 1 一BC?BPsin CBP 2CQBP由，,得SABQScBQ,SACPSBCP即SABQSCBQSACPSBCPSABQAXSACPAYSCBQXCSBCPYB为AXAY故XCYB设边BC的中点为所以由塞瓦定理知,AXCMBY.M,因为?1XCMBYAAM,BX,C

21、Y三线共点，交点即为T,故由YX/BC可彳#AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2J0,a20,bi,b2J”,瓯)对k12”卜5,设ai,Q,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当aiaj时，(i,j)X,55因此至少有Ct2个(i,j)不在X中，注意到tk20,则柯西不等式，我们有k1k15c21c525115251cC20Ctk?(tktk)?(-(tk)tk)?20?(1)30k12k1k125k1k125从而X的元素个数不超过C203019030160另一方面，取a4k3a4k2a4k1a4kk(k1,2,|,5),bi6a(i1,2,20),则对彳J意

22、i,j(1ij20),有(aaj)(bbj)(aiaj)(6a)(6司)色aj)2022等号成立当且仅当aiaj,这恰好发生5c430次，此时X的元素个数达到C2030160综上所述，X的元素个数的最大值为160.四、*t考虑组潘出条件的il：翳数机心时=12设/中取值为#的数有，质.根据五的定义，当斌=町时，原力星,因此至少有文或个优中不在中.注意到它0=20,由柯西不X*i-i等式，我们有=睛:一切号睛J匐吗喈4孙从而工的元索个数不超过（-3019030=160.30分另一方面，取uT=/Y=%T=%=H=L2、5），=6-qO=L22O，则时任却，I3W0），有.一/X4一.）=Ml巧X（6_J_（6-勺=眄一勺1）叫等号成立当且仅当q=叫，这恰好发生5C：=3O次.此时*的元素个数达到C-3O=16O-综上所述，*的元素个数的最大值为160，5。分