全国高中数学联赛试题参考答案

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1、2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)考试时间：2011年10月16日8:009:20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1 .设集合A=a,a2,a3,a4,若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B=-1,3,5,8,则集合A=.显然，在片的所有三元子集中,每个元素均出现了3次，所以3gl+外4&+凡)=(11)+3+5+8=5,故。|+%+/+%=5，于是集合力的四个元素分别为5I)=6,53=355=0-5-8=-3,因此,集合月=7,0,2,6八2 .函数f(x)=E口的值域为.x-1解j=tan0&,且白h至，则224小、_cos。_1_

2、1jT(X)=,=_=1tang-lsincos2sin(0-4设=勺，则一后且4g所以f(x)=-e-U(1,+x),u23.设a,b为正实数，1+-27?,(a-b)2=4(ab)3,贝(jlogab=ab解由工+工2Vl,a+b242ab.ab又9+5/=4ab+a-b1=4必+44-2/ab(ab)3=8(dh)2,即口+b忘岫.再由不等式中等号成立的条件，得岫=1,与联立解得a 近 4- Lb = 41 - 1,故loghh三一1.4.如果cos58sin58Y7(sin38_cos3,8曰0,2肃)，那么8的取值范围是解不等式sd-sineos5e8t又F(x)=+x!是(to,+

3、上的增函数，所以sin888,(k三Z).因为日w0.2/r),所以日的取值范围是5 .现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为.(用数字作答)解由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形:(1)有一个项目有3人参加，共有匚。5!-丁5!=36。0种方案：(2)有两个项目各有2人参加，共有:C；5!=11400种方案；所以满足题设要求的方案数为3800+11400=15000.6 .在四面体ABCD中，已知ZADB=/BDC=/CDA=601AD=BD=3,CD=2,贝U四面体ABCD的外接球的

4、半径为.解设四面体力日UO的外接球球心为。.则0在过HED的外心州且垂直于平面的垂线上,由题设知，38。是正三角形.则点为的中心,设P,必分别为R民CZ)的中点，则N在白F上，且。A_LOF,OM-CD.因为=6=6/,设广。与平面月月。所成角为白，可求得故 MV = J1 .四边形DWSV的外接圆的直径()D=故球。的半径支=4.7 .直线x_2y_1=0与抛物线y2=4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点，/ACB=90。，则点C的坐标为解解/(/出)津区,(产0),由得/一8尸4=0,贝1)乂+邛，=8,y.y,-4,r皿J1arIX.又看=2+1,片2=2匕+I,所以+/=2(yt+)

5、+2=)8阳多=4y,+2(y,+y2)+I=1.因为乙1QS=9O6,所以C4Q;=0,即有T七一三)+(4vl=。，即r+五/+4t1-2(yl+尸+凶由=0,即(/+4/+3)(P-4f-l=0.显然产否则?-22-1=0,则点匚在直线*-2y-l=O上，从而点匚与点力或点H重合.所以产+小。3=0,解得。=一1/：=一3一故所求点C的坐标为(1-2)或(9-6).8.已知 an =C2。R6j00Jjj(n=1,2，,95),则数列a中整数项的个数为,2要使*UE打W95)为整数，必有200 - h 400 -5h均为整数，从而6 n + 4.当加2,8,14,20,26.32,3&4

6、4,50：56,629,74,80 时.跑=和理3均为非负整数，所以巴为整数,共有14个.当那时，在C髀磊中,同理可计算得的中因数2的个数为82.】141中因数2的个数为U0,所以C；飞因数2的个数为197-般-110=5,根%是整.数.200!中因数2的个数为2002002:200200T20T-200200T当2时，“，在二彘中同样可求得修中因数2的个数为8&10W!中因数2的个数为105,故CM中因数2的个数为05=4,故时不是整数.因此，整数项的个数为14+1=15.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分16分)设函数f(x)=|

7、lg(x+l)|,实数a,b(ab)满足f(a)=f(-1),f(10a+6b+21)=4lg2,求a,b的值.解工，Igs+1)1=1-1)|=|1g(丁二)+2)1，b+2b+28+2，口+1=6+2或m+l)S+2)=,又,；e8,，1+1。8+2+，(1+1)+2)=1.4分又由/=|lgS+l)有意义知0q+1,从而0口+16-16+2,于是0叮+11,8分b+2从而/(10a+6/?+21)=|坨6(占+2)+-|=怆6+2)+.b+2台b+2X/(10a+6/+21)=41g2,所以lg6(6+2)+-l41g2，b+2台故6(b+2)=16*12分b+2解得6=-：或8二一1畲

8、去).把6二.)代入但+2)=1解得。二2.35所以a-jb=-工16分5310.(本小题满分20分)已知数列满足：ai=2t-3(twR且t#划，(2tn1-3)an2(t-1)tn-1*、右十二TTV-；(nCN)an2t-1(1)求数列an的通项公式；(2)若t0,试比较an+与an的大小.解(I)由原式变形得2c人+2-1从而有于是有yO2 - V)Gt2 - 3忘)+ 5-行)区 - 3忘)=-+/ + -+, + f7-1 + f)一(胃+ ll + r + , + ,-)_ 2f-2)_r+r-2 +,+)+ r(f-2小. I) L“ (l + f +L)卜如-1) u(n +

9、1)2H7)_) + (/ 1)+ + ( -rrt_, n(n + l)显然在F 0 ( 1)时怛有r川-% 0 ,故% 。交于A,B两点(如图所示)，且P(3V2,我)在直线l的左上方.(1)证明： PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若 /APB=60,求 PAB 的面积.P解(I)设直线/： y = -x-ttt 1 月.11.(本小题满分20分)作斜率为1的直线l与椭圆C :322364上工=1将= 九代入二十片=1中，化简整理得 ”336 42下,+ 6mx + 9m 36 = 0.于是有%+ -% = -3m,戈与* xBA上式中，分子=(；X|+/n-V2)(x,-3a/

10、2)+(-x2+m-y/2)(xl-372)JJj.r,.r2+(w-2V2)(x,+x2)-6yl(ni-y/2)乙也+-2V2)(-3/7?)-6y2(m-5/2)32=-12-3J+6yf2m-66m+12=0,从而，kpa+kpb=0.又P在直线/的左上方,因此，4P8的角平分线是平行于，轴的直线，所以尸的内切圆的圆心在直线工=3拒上.10分(2)若N4Q8=60。时，结合(1)的结论可知出4=后,人/=71.直线P4的方程为：y-V2=V3(x-3V2),代入二+=1中，消去歹得36414/+9向1-3技工+18(13-3扬=0.即 372(13-373)即2一m15分它的两根分别是

11、芭和3人，所以3%二二3)14所以|PZ|=J1+(扬、区-3后=3忘(3,+1).同埋可求得P8 =3后(3痒1)20 分诉l、Jc1Ino.Ano13V2(3V3+1)3(373-1)V311773所以=5|8|P8|sin600=5T=492011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日9:4012:10一、（本题满分40分）如图,F,。分别是圆内接四边形H8c。的对角线RC,8口的中点.BPA=ZDPA,证明：ZAQB=ZCQB.证明延长线段QP与圆交地另一点E,则=为=,又P是线段X。的中点，HAB=CE.从而/CO尸=10分arp又乙aaD=P8,所以

12、月于是空;二，即BDCDABCD=PC*BD20分从而有ABCD=-AC-BD-ACBD）=AC-BQ22这二丝ACCD又乙4BQ二NACD,所以ABQs月co,所以=30分延长线段m0与圆交于另一点F,则/原8=/。，故命DF.又因为0为BD的中点，所以NCQBnNDQF.又QB=3QF,所以/W0B=/C08.40分二、(本题满分40分)证明：对任意整数n4,存在一个n次多项式nnJf(x)=x-anixaix/具有如下性质：(1)a0,ai,a。均为正整数；(2)对任意正整数m,及任意k(k2)个互不相同的正整数ri,%,，r均有f(m)#f(ri)fQ)f(%).证明令/(x)=U+l

13、)(x+2)-(x+?0+2,10分将的右边展开即知八2是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式.卜面证明外满足性质(2L对任意整数f,由于川之4,故连续的个整数十1+2,，叶月中必有一个为4的倍数,从而由知f(t)=2(mod4).20分因此，对任意K依32)个正整数公小，有/亿)/出)/伍)三2*m0(mod4).但对任意正整数有/(M三2(mod4)，故f(mfr)/(r2)-f(rk)(mod4)，从而“刈h40分所以符合题设要求.三、（本题满分50分）设ai,a2,，an（n之4）是给定的正实数，a1a2an.对任意正实.a,_a,数r,湎足=r（1wijkwn）的二兀数组（i,j,

14、k）的个数记为fn（r）.ak-aj2证明：fn（r）L.4证明对给定的J（IJ那,满足1M,jAY曰，且a,-atRJ的三元数组伉乩口的个数记为gQI.10分注意到，若ij固定，则显然至多有一个A使得成立.因/,即上有丹种选法，故gj,从而gy（r）min（y-l,n-y.30分因此,当代为偶数时，设时=2加,则有.南一|2南一I力二工处=工如+工与j2j27w工（“）+上&一小中.牛j=ij=m+i上上=-m门心:5?4+仃)=02一,9,这里品=几;o.10分21r-l我们证明;三组数,与、$/%不,心及品+%$+笃,同+n都是模10的完全剩余系.事实上，假如存在叽*0M阳打9,使SSJ

15、modlO),则Z4=*-5fH=O(mcdlO)f即第1行的第切+1至第肛列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾,20分又假如存在叫叫0mn9f使、7；(mod10),则苫(4+吟(modlO)，j1版*1即第2行至第3行、第制+1列至第k列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格二矛盾.类似地,也不存在叫叫0加丹E9r使+所mJ+7；1工间10).因此上述断言得证,故Q09邑三工几三X0十几)三0+1+2+9三5(mod10)?*ono*-o999所以Z(1+几)MZ工+Z/三5+5三OlmodlO，*=Qi=OX矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能塞于25个.另一方面，

16、构造如下一个九9的方格表，可验证每个不填10的小方格都发时有25个.坏格二112111101111111111111011112综上所述，“坏格”个数的最大值是25.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑思纯，是以先帝简拔以遗陛下

17、：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之日能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也“。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间,尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭弩钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诚善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。