第四章-整环里的因子分解

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四章 整环里的因子分解4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:不是任何元的真因子.注 这里的是指整环的零元,“任何元”是指整环中的任何元. 证明 由于不能整除整环中的非零元,因此不是整环中的非零元的真因子.虽然整除,但与相伴,因此不是的真因子.所以不是整环中任何元的真因子.2.找出Gauss整数环的所有单位.解 假设,使得是中的单位,则存在,使得,从而,.由此可见,.所以就是中的所有单位.3.证明:在Gauss整数环中,是不可约元,是可约元.证明 显然,和既不是零元,也不是单位.设,使得.于是.显然.因此或,从而,是单位或是单位.所以是不可约元. 由可知,和都是

2、的真因子.所以是可约元.4.设是整环,直接证明:.证明 由于是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),.因此存在,使得,.5.设是整环的素元,(),证明:至少存在一个(),使.证明 我们用数学归纳法来证明.当时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当()时,结论成立.当时,根据素元的定义,或.若不整除,则.于是,根据归纳假设,至少存在一个(),使.所以当时,我们的断言成立.6.设整环中任意两个元的最大公因子都存在,是中个不全为零的元,若,证明:是的最大公因子互素.证明 假定.不互素中存在元素和非零、非单位的元素,使得中存在元素和非零、非单位的元素,使得不是的最大公因子.所以是的最大公

3、因子互素.4.2 惟一分解环1.证明:整环不是惟一分解环.证明 显然,都不是单位,也都不是零元,和都不是的相伴元,但是.所以不是惟一分解环.2.证明:Gauss整数环中,是唯一分解元.证明 首先,由1习题第2题知,在中只有和是单位.其次,显然都不是零元和单位元.事实上,是中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的.若,则,由此可见,或,从而,是单位或是单位.因此没有非平凡的因子.所以是中的不可约元.当然,它们的相伴元,也都是不可约元.现在设,使得 . (*)于是,.由此可见,或.当,是中的单位,从而,是的相伴元.这时(*)式不是的不可约元分解式.当时,的值只能是如下八个数之一:,.显然,这八个

4、数都是的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,是的不可约元分解式,并且:对于的任意一个不可约元分解式,必有;必要时,交换和的下标和次序后,与相伴且与相伴.所以是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注 定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环中,每一个不可约元都是素元.证明 设是一个不可约元.任意给定,并假设.于是,存在,使得.当或时,显然或.当为单位时,有,从而,.同理,当为单位时,有.现在假定和都不是零元和单位.显然,不是零元,也不是单位.由于是惟一分解环,不妨设,.其中,(),()和()都是不可约元.于是, . (*)由于是惟一分解环,可以断言:或者存在(),使得与相伴

5、,从而,; 或者存在(),使得与相伴,从而,.总而言之,或.这样一来,由于的任意性,我们断言是素元.4.设是惟一分解环,是中()个元,证明:在中的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明 首先,我们用数学归纳法来证明有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当时,结论成立.假设当)时结论成立.现在考察的情形:根据归纳假设,不妨设是的一个最大公因子.根据定理4.10,可设是与的最大公因子.显然,是的一个公因子.假设是的一个公因子.则是一个公因子.由于是的一个最大公因子,因此.由于,因此是与的公因子.这样一来,由于是与的最大公因子,因此.所以是的一个最大公因子.所以当时有最大公因子.

6、4.3 主 理 想 环1.设是主理想环,是的一个最大公因子,证明:,使.证明 根据定理3.16的推论2,其中表示生成的理想.根据定理4.15,.因此.由可知,存在,使.2.设是主理想环,证明:互素,使.证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有互素是与的一个最大公因子存在,使是与的一个最大公因子.所以互素,使.3.设是主理想环,证明:(1)若互素,且,则;(2)若互素,且,则.证明 (1) 当时,由可知,;由与互素可知,是单位.因此.所以.当是单位时,显然.假设既不是,也不是单位.由于,因此既不是,也不是单位;从而,和都不是.若是单位,则由可知.现在假定不是单位

7、.由于是主理想环,根据定理4.14,是惟一分解整环.不妨设,其中和都是中的既约元.于是存在,使得.由于与互素,因此(与(不相伴.这样一来,由上式可知,可以表示成如下形式:.所以.(2)显然,当或时,从而,;当是单位或是单位时,.现在假设和既不是,也不是单位.由于是主理想环,根据定理4.14,是惟一分解整环.不妨设,其中和都是中的既约元.于是,.如果与互素,那么,(与(不相伴.这样一来,因为是唯一分解整环,可以表示成如下形式:.所以.4.在整数环中,求出包含的所有极大理想.证明 我们知道,整数环是主理想环.设是包含的一个极大理想.根据定理4.4,是的真因子.因此或.所以和就是包含的所有极大理想.

8、5.在有理数域上的一元多项式环中,理想等于怎样一个主理想?解 显然,是与的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15, .6.证明:是一个域.证明 首先, 由于是域,根据3.7中的例1,是主理想环.其次,显然是中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,是一个域.4.4 欧 氏 环1.证明:域是欧氏环.证明 定义到到的映射如下:,.显然,对于任意的和,存在,使得.所以是欧氏环.2.证明:整环关于到的映射是一个欧氏环.证明 考察任意的和:设,其中.于是,.根据带余除法,存在,使得,;,.令.则,从而.注意到,由上式可知,.令,则,并且.当时, .所以整环关于到的映射是一个

9、欧氏环.3证明:整环关于到的映射是一个欧氏环.证明 令.定义到的映射如下:,其中.于是,对于任意的(其中),我们有.此外,显然,并且在上的限制就是. 任意给定,其中.为了证明是欧氏环,现在只需阐明存在,使得,其中,或. 事实上,我们有.根据带余除法,存在,使得,;,.令.于是,从而,.注意到,由上式可知,和都是整数.令.于是,并且.当时,.4.5 惟一分解环上的一元多项式环1.证明:设是中两个本原多项式,若它们在中相伴(为的商域),则在中也相伴.证明 假设在中相伴,则存在中的单位,使得.由于中的单位就是中的非零元,且为的商域,因此可设,其中是中的非零元.于是,.这样一来,根据引理1可以断言,在

10、中相伴.2.设是惟一分解环,且,是本原多项式,证明:若,则.证明 不妨设.于是,.由于是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,.由此可见,从而,.3.设是中首项系数为的多项式,证明:若有有理根,则是整数.证明 假定有有理根.则,其中.根据引理1,存在和本原多项式,使得,.于是,.根据Gauss引理,是本原多项式.由于的首项系数为,由上式可知,从而,.由此可见,的首项系数为或.这样一来,由可知,或.因为是本原多项式,所以是整数. 4.域上的二元多项式环是惟一分解环,但不是主理想环.证明 .由于是域,根据定理4.17可以断言,是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,是惟一分解环.由于,根据定理4.2

11、1,可以断言,是惟一分解环.令表示中次数大于或等于的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,是的一个理想.考察任意的:显然,或者,或者,但是.因此.由此可见,不是的主理想.所以不是主理想环.5.证明:是中不可约多项式.证明 令.则.由于整数环是惟一分解整环(参看4.2),根据定理4.22,也是惟一分解整环.由于,是中的不可约元,根据定理4.23(Eisenstein判别法),是中不可约多项式.4.6 因子分解与多项式的根1.问:中多项式在中有多少个根?答 由直接演算知,中在中有如下四个根:,.2.证明:中多项式在中有个根.证明 由直接演算知,中的和都是中多项式的根.所以中多项式在中有个根.3

12、.试求中多项式在中的根.解 由于是特征为的域,因此.由于无零因子,因此只有当时的值为,从而,只有这个根.显然它是5重根.4.判断:(1)中多项式是否可约?(2)中多项式是否可约?解 (1)显然在中没有根,所以是中的不可约多项式.(2)显然,中的是的根,所以是中的可约多项式.5.设,，,证明:是的重根是的根,且是的重根.证明 我们有是的重根存在,使,且不是的根存在,使.由于,因此,从而,是的重根.所以是的重根是的根,且是的重根.复 习 题 四1.设整环,找出中的所有单位与不可约元.解 假设(其中,)是单位.于是,存在和,使得.由此可见,存在,使得.反过来,显然,对于任意的,有 .显然并且是的逆元

13、.所以中的所有单位为:,.假设(其中,)是不可约元.于是,且,.不妨设,其中,为奇素数.若,则.由于和都不是单位,这与是不可约元矛盾.所以,从而,即存在和奇素数,使得.反过来,设,是奇素数,考察:显然,并且既不是零元,也不是单位.假设(其中,),并且,即存在(其中,),使得.于是, 或.当时,我们有,其中,从而,.同理,当时,.由此可见,是素元.因此是不可约元.所以中的所有不可约元为:,为奇素数.2.求模剩余类环的所有非零理想,以及它们的交.解 的非零理想有:,;它们的交是.3.证明:在惟一分解环中,任意两个元都有一个最小公倍元,即,使,并且若,则.(用表示与的任意一个最小公倍元.)证明 设是

14、惟一分解环中任意两个元.根据定理4.10,有最大公因子.令表示与的任意一个最大公因子,. 由4.1习题第6题知,与互素.令.现在我们来阐明就是与的一个最小公倍元.事实上,首先,由的定义知.其次,我们有,从而,.最后,假设,使得且,则存在,使得.于是,我们有.当时,由可知,从而,.当时,由等式可知.由于与互素,根据等式和4.3习题第3题可以断言.设.于是,从而,.所以是与的一个最小公倍元.4.证明:在一个惟一分解环中,.证明 设是与的任意一个最大公因子,是与的任意一个最小公倍元,.由上题知,并且是与的一个最小公倍元.此外,我们我们还有.此外,由最小公倍元的定义可知,.因此,即.5.设是惟一分解环

15、,是中本原多项式的序列,并且,.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明 由于是惟一分解环,根据定理4.21,也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于,因此,.这样一来,有无限个互不相伴的因子.因此.这与为本原多项式的事实矛盾.所以中只有有限个互不相伴的项.6.设是惟一分解环,且.证明:.证明 由于是惟一分解环,根据定理4.21,是惟一分解环.令.由可知,.假设不是单位.则存在素元,使得,从而,且.因为是素元,由可知, 或.又因,故且,这与矛盾.所以不是单位,从而,.7.设是一个主理想

16、环,是整环,且.证明:假若是中的和的一个最大公因子,那么也是中的和的一个最大公因子.证明 设由于是中的和的一个最大公因子.由于,因此也是中的和的一个公因子.设是中的和的任意一个公因子.则存在,使得,.其次,由于是中的和的一个最大公因子,根据4.3习题第2题,存在,使得,从而,.因此.所以也是中的和的一个最大公因子.8.设一元多项式环是主理想环,是与的一个最小公倍元,证明:.注 这里假定是整环.证明 由于是主理想环,根据定理4.14,是唯一分解环.由于是与的一个最小公倍元,不妨设.显而易见,.这样一来,对于任意的,我们有存在,使得存在,使得 存在,使得 .所以.9.证明:(1)是中不可约多项式;(2)是域.证明 (1)显然,.因此和都不是的因子.由此可见,是中不可约多项式.(2)首先,由于是域,根据3.7中的例1,是主理想环.其次,根据(1),是中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,是一个域.10.设是一个主理想环,.证明:当是不可约元时,是一个域;当是可约元时,不是整环.证明 当是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,是一个域.当是可约元时,存在的真因子,使得.于是,.但是.这就是说,和是中的零因子.所以不是整环.专心-专注-专业