倒易点阵及电子衍射基础

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1、最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础材料电子显微分析材料电子显微分析福州大学最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础第第1 1章章 倒易点阵及电子衍射基础倒易点阵及电子衍射基础1.1 1.1 晶体结构知识的简单回顾晶体结构知识的简单回顾1.1.1 1.1.1 点点 阵阵1.1.2 1.1.2 晶体学点群晶体学点群1.2 倒易点阵1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换1.4. 晶面间距与晶面夹角公式1.5 Bragg定理及其几何图解1.6 1.6 晶带定律与零层倒易截面晶带定律与零层倒易截面1.7 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型1.8 倒易点阵

2、与电子衍射图的关系最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础第第1 1章章 倒易点阵及电子衍射基础倒易点阵及电子衍射基础 晶体内原子、离子、分子或集团在三维空间内呈周期性规晶体内原子、离子、分子或集团在三维空间内呈周期性规则排列。这些质点可以抽象为几何点，构成的则排列。这些质点可以抽象为几何点，构成的点列点列称为称为空间点空间点阵阵，组成它的几何点称为，组成它的几何点称为阵点阵点正点阵正点阵。 用空间三维直线连接阵点得到用空间三维直线连接阵点得到空间格子空间格子晶格晶格。 单位晶格组成的平行六面体称为单位晶格组成的平行六面体称为晶胞晶胞。 晶胞的选取多种多样，晶体学中应用最广的是尽量照顾对晶胞的选取多

3、种多样，晶体学中应用最广的是尽量照顾对称性选取的晶胞称性选取的晶胞称为称为Bravais CellBravais Cell。1.1 1.1 晶体结构知识的简单回顾晶体结构知识的简单回顾1.1.1 1.1.1 点点 阵阵最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础代表空间点阵的对称性代表空间点阵的对称性相等的棱、角数目应最多相等的棱、角数目应最多棱间的直角最多棱间的直角最多选取最小体积的平行六面体选取最小体积的平行六面体Bravais CellBravais Cell的选取原则：的选取原则： 数学证明，按上述规则选取的数学证明，按上述规则选取的Bravais CellBravais Cell有有1414种

4、代表空种代表空间的点阵类型，用间的点阵类型，用a a，b b，c c， ， ， 间的关系来表达，间的关系来表达，归为七大晶系，有归为七大晶系，有5 5个类别：个类别：P P（初基或简单）、（初基或简单）、I I（体（体心）、心）、F F（面心）、（面心）、R R（三角或菱形）、（三角或菱形）、C C（A A，B B）（底（底心）。心）。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础晶体结构的对称性有宏观和微观之分。晶体结构的对称性有宏观和微观之分。宏观对称宏观对称是指有限体积的规则晶体外形的对称性，不包括是指有限体积的规则晶体外形的对称性，不包括平移对称性，仅在转动、反演

5、或反映下表现出的对称性，平移对称性，仅在转动、反演或反映下表现出的对称性，共共32种，构成种，构成32种点群。或者说是，种点群。或者说是，经过一点对称素组合经过一点对称素组合的类别称为点群的类别称为点群。微观对称微观对称是指从晶格的角度出发，在认为整个晶格近似为是指从晶格的角度出发，在认为整个晶格近似为三维无限广延的情况下的空间平移、转动、反演操作下的三维无限广延的情况下的空间平移、转动、反演操作下的对称性。可能的空间对称有对称性。可能的空间对称有230种，构成种，构成230个空间群。个空间群。或或者说是，者说是，考虑晶体内部结构考虑晶体内部结构- -原子、离子、分子类别和排原子、离子、分子类

6、别和排列的对称性类别列的对称性类别。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 晶体的独立宏观晶体的独立宏观对称要素对称要素共有共有8 8种，即种，即41.1.2 1.1.2 晶体学点群晶体学点群 晶体的宏观对称性是按晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作宏观点对称操作所构成的点群来进所构成的点群来进行分类的。行分类的。 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素的集合。的集合。对称要素对称要素最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础对称中心的国际符号对称中心的国际符号形象法表示形象法表示等效位置，

7、等效位置，+ +、号表示正反面，号表示正反面， ，左右手的变化左右手的变化对称的极图表示对称的极图表示最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础图图1-13-1 二次转轴的表示二次转轴的表示图图1-13-2 三次转轴的表示三次转轴的表示最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础图图1-13-3 四次转轴的表示四次转轴的表示图图1-13-4 六次转轴的表示六次转轴的表示最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 二维空间的彭罗斯二维空间的彭罗斯(Penrose)拼图由内角为拼图由内角为3636度、度、144144度度和和7272度、度、108108度度

8、的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面。这种拼图没有平移对的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面。这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。一种典型的准晶体结构是三维空间的一种典型的准晶体结构是三维空间的彭罗斯拼图彭罗斯拼图。 1984 1984年，年，D.ShechtmenD.Shechtmen在快速冷却的在快速冷却的 Al4Mn Al4Mn 合金中发现了一种新的相，合金中发现了一种新的相，其电子衍射斑具有明显的五次对称性。推测这种结构具有三维空间的彭罗斯其电子衍射

9、斑具有明显的五次对称性。推测这种结构具有三维空间的彭罗斯拼图结构。这一发现在当时曾经震动了凝聚态物理学界。后来在许多复杂的拼图结构。这一发现在当时曾经震动了凝聚态物理学界。后来在许多复杂的合金合金中也发现了这一现象。中也发现了这一现象。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 一个具体的宏观对称要素是一个具体的宏观对称要素是8 8种对称要素的一种或几种的种对称要素的一种或几种的组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。 点群的表示符号有点群的表示符号有2 2种种SchonfliesSchonflies符号符号1)1) 国际符号（或国际符号（或H-MH-M

10、符号）符号）点点 群群最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础SchonfliesSchonflies符号：符号：Cn Cn 表示表示n n次旋转对称，取自循环群（次旋转对称，取自循环群（Cyclic groupCyclic group）第）第1 1字母字母D D 表示二面体群（表示二面体群（dihedral groupdihedral group），即），即n n次旋转对称轴，次旋转对称轴，+ + 与与n n次轴垂直的二次旋转对称次轴垂直的二次旋转对称T T 表示四面体群（表示四面体群（tetrahedral grouptetrahedral group）, ,高次旋转对称轴高次旋转对称轴的组合的

11、组合O O 表示八面体群（表示八面体群（octahedral groupoctahedral group），高次旋转对称轴），高次旋转对称轴的组合的组合最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础点群的国际符号点群的国际符号用特定方向的对称要素直接表示用特定方向的对称要素直接表示。三斜晶系：三斜晶系：100100单斜晶系：单斜晶系：010010正交晶系：正交晶系：100 010 001100 010 001四方晶系：四方晶系：001 100 110001 100 110三角晶系：三角晶系：001 100 210001 100 210六角晶系：六角晶系：001 100 210001 100 210立方晶系

12、：立方晶系：100 111 110100 111 110最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础2/m2/m（2 2在在m m上），表示具上），表示具有垂直于镜面的有垂直于镜面的2 2次旋转次旋转轴。轴。010010方向方向三斜晶系：三斜晶系：100单斜晶系：单斜晶系：010最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础正交晶系：正交晶系：100 010 001最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础四方晶系：四方晶系：001 100 110最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础三角晶系：三角晶系：001 100 210最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础六角晶系：六角晶系：001 100 210最新第1章 倒易点阵及电子

13、衍射基础立方晶系：立方晶系：100 111 110最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1.1.2 1.1.2 空间群空间群晶格的周期性，也称平移对称性，是最基本的微观对称性。晶格的周期性，也称平移对称性，是最基本的微观对称性。晶体的点对称元素和平移相结合能产生新的对称元素，即：晶体的点对称元素和平移相结合能产生新的对称元素，即：旋转轴旋转轴 + + 平移平移 螺旋轴螺旋轴镜面镜面 + + 平移平移 滑移面滑移面，操作顺序并不重要，操作顺序并不重要1. 1. 晶体

14、的微观对称性晶体的微观对称性最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础（1 1）螺旋轴螺旋轴国际符号用国际符号用n nm m来表示。来表示。定义定义 方向的方向的 n nm m次螺旋轴对称操作由次螺旋轴对称操作由2 2 /n/n旋转和旋转和m/n m/n 平移平移组成。组成。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础（2 2）滑移面滑移面 滑移面是对镜面反映后再沿某一方向平移，平移量为点阵周滑移面是对镜面反映后再沿某一方向平移，平移量为点阵周期的一个分数距离。期的一个分数距离。有三种类型的滑移面：有三种类型的滑移面：轴向滑移轴向滑移沿沿a a，b b，c c轴作滑移，轴向滑移的平移平行轴作滑移，轴向滑移的平移

15、平行于镜面，平移量为该方向平移周期的一半；于镜面，平移量为该方向平移周期的一半；n n滑移滑移沿面对角线滑移到一半处；沿面对角线滑移到一半处；d d滑移滑移亦称亦称“金刚石金刚石”滑移，沿体对角线滑移到滑移，沿体对角线滑移到1/41/4处。处。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础2. 2. 空间群及其国际符号空间群及其国际符号 空间群是指一个晶体结构中所有对称要素的集合空间群是指一个晶体结构中所有对称要素的集合。提供晶。提供晶体的全部对称信息，涉及到一个给定的点群、体的全部对称信息，涉及到一个给定的点群、BravaisBravais点阵点阵以及这个点群作用在这个点阵上的结果。以及这个点群作用在这

16、个点阵上的结果。 晶体结构中所能出现的空间群总共晶体结构中所能出现的空间群总共230230种。种。空间群有两种常用的表示符号，空间群有两种常用的表示符号， SchonfliesSchonflies和国际符号。和国际符号。材料学界常用国际符号。材料学界常用国际符号。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础u 国际符号的第一位符列出国际符号的第一位符列出BravaisBravais点阵类型点阵类型PP，A A、B B或或C C，I I，F F，R Rv 根据对称元素对于晶体学轴的位置列出他们的符号，符根据对称元素对于晶体学轴的位置列出他们的符号，符号的位置所代表的轴向对不同晶系并不同，空间群国际号的位置

17、所代表的轴向对不同晶系并不同，空间群国际符号的顺序见下表。符号的顺序见下表。国际符号的表示：国际符号的表示：P P（初基或简单）、（初基或简单）、I I（体心）、（体心）、F F（面心）、（面心）、R R（三角或（三角或菱形）、菱形）、C C（A A，B B）（底心）（底心）最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础三斜晶系：三斜晶系：100100单斜晶系：单斜晶系：010010正交晶系：正交晶系：100 010 001100 010 001四方晶系：四方晶系：001 100 110001 100 110三角晶系：三角晶系：001 100 210001 100 210六角晶系：六角晶系：001 100

18、 210001 100 210立方晶系：立方晶系：100 111 110100 111 110国际符号标注对称素参照方向的顺序国际符号标注对称素参照方向的顺序最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础举例：举例：u P2/mP2/m（2 2在在m m上），表示单斜初基点阵，具有垂直于镜面上），表示单斜初基点阵，具有垂直于镜面的的2 2次旋转轴。次旋转轴。010010方向方向参考文献参考文献刘文西，黄孝瑛材料结构电子显微分析，天津大学出版社，刘文西，黄孝瑛材料结构电子显微分析，天津大学出版社，1989张福学张福学.现代压电学（上册），科学出版社，现代压电学（上册），科学

19、出版社，2001冯端，师昌绪，刘治国冯端，师昌绪，刘治国. 材料科学导论，化学工业出版社，材料科学导论，化学工业出版社，2002最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1.2.1 1.2.1 倒易点阵概念的引入倒易点阵概念的引入 衍射是波动性的体现，是波的弹性相干散射。如光的狭衍射是波动性的体现，是波的弹性相干散射。如光的狭缝衍射、缝衍射、X X光对晶体的衍射。光对晶体的衍射。衍射条件：衍射条件： 波波长长相相近近质质点点排排列列周周期期与与入入射射波波质质点点规规则则排排列列. 2. 1衍射花样衍射花样1.2 1.2 倒易点阵倒易点阵最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础Plane wavesSing

20、le source interference最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础Suppose that a plane wave is incident on a panel with a slot of width d (small distance)To predict the form of the wave on the right-hand side of the pane the Huygens principle is used.最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础Huygens principleThe manner in which a wavefront of arbitra

21、ry shape will advance can be determined by considering every point on a given wavefront of any instant to be the source of a circular wave.（媒质中波动传到的各点，都可以看成是发射（媒质中波动传到的各点，都可以看成是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波阵面）的波阵面）最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础Any wave motion in which the amplitude of

22、two or more waves combine will exhibit interference.One-dimensional wave motion.最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础Two kinds of interference exist Destructive interference: Wave pulses are cancelled when they pass each other if they are of opposite sign. Constructive interference Wave pulses are added when they pass

23、each other if they are of equal sign.最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础As interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础X X光对晶体的衍射花样光对晶体的衍射花样最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础电子衍射：电子衍射： 电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。 下图下图分别

24、是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础单晶单晶C-ZrO2准晶（准晶（quasicrystals）非晶非晶多晶多晶Au最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM:(A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal,(C) polycrystalline Au, (D) Si illumina

25、ted with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 电子衍射原理与电子衍射原理与X X射线衍射相似，是以满足或基本满足布射线衍射相似

26、，是以满足或基本满足布拉格方程为产生衍射的必要条件。但因其电子波有其本身的拉格方程为产生衍射的必要条件。但因其电子波有其本身的特殊性，与特殊性，与X X射线衍射相比具有下列特点：射线衍射相比具有下列特点：电子波的波长比电子波的波长比X X射线短得多，因此，在同样满足布拉格射线短得多，因此，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角度很小，条件时，它的衍射角度很小，1010-2-2 rad rad，而，而X X射线最大衍射线最大衍射角可达射角可达 /2/2。 如如 X X射线的波长范围：射线的波长范围： 1010-3-3-10nm-10nm0.05-0.25nm0.05-0.25nm范围适于范围适于 结

27、构分析结构分析0.005-0.1nm0.005-0.1nm范围适于范围适于 探伤分析探伤分析200KV200KV加速下电子波加速下电子波 =0.00251nm=0.00251nm最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。电子衍射用薄晶体样品，其倒易点沿样品厚度方向扩展为倒易杆，增加了倒易点和Ewald球相交截面机会，结果使略偏离布拉格条件的电子束也能发生衍射。电子衍射束的强度较大，拍摄衍射花样时间短。因

28、为原子对电子的散射能力远大于对X射线的散射能力。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础问题：问题：这些规则排列的斑点是某晶面上的原子排列这些规则排列的斑点是某晶面上的原子排列的直观影象？的直观影象？这些斑点代表什么？这些斑点代表什么？这些斑点与晶体的点阵结构有什么样的对应这些斑点与晶体的点阵结构有什么样的对应关系呢？关系呢？这些斑点如何解释？这些斑点如何解释？最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础正空间正空间倒空间倒空间uvwr)(111lkh)(222lkh)(333lkh)(111lkh)(222lkh)(333lkh*)(uvw 晶带正空间晶带正空间与倒空间对与倒空间对应关系图应关系图B衍射花样

29、衍射花样衍射花样衍射花样分析思路分析思路实验发现，晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另实验发现，晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个外一个假想的点阵假想的点阵很好地联系起来，这就是倒易点阵。很好地联系起来，这就是倒易点阵。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 物理学家物理学家BraggBragg最早解释了衍射现象，提出了著名的最早解释了衍射现象，提出了著名的BraggBragg公式：公式：ndhklhklsin2 显然，上述的讨论和表述都采用正空间习用的语言和处理显然，上述的讨论和表述都采用正空间习用的语言和处理方法，并没有直观地建立起衍射花样与晶体结构之间的联系。方法，并没有

30、直观地建立起衍射花样与晶体结构之间的联系。于是，是否有可能在数学上另辟蹊径，从几何上对于是，是否有可能在数学上另辟蹊径，从几何上对BraggBragg公式公式加以诠释呢？加以诠释呢？ 实际上，对于实际上，对于X X射线的衍射问题，射线的衍射问题，BraggBragg通过实验现象，理通过实验现象，理解为是晶面的解为是晶面的“选择性选择性”反射，也就是说，衍射花样中的一反射，也就是说，衍射花样中的一个斑点与某个晶面相对应，这样，问题就变成了如何把正空个斑点与某个晶面相对应，这样，问题就变成了如何把正空间的晶面表达为另一空间（倒空间）的一个点。间的晶面表达为另一空间（倒空间）的一个点。 1.2.2

31、BraggBragg方程及其几何图解方法方程及其几何图解方法- -厄瓦尔德球方法厄瓦尔德球方法最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 1921 1921年厄瓦尔德（年厄瓦尔德（EwaldEwald）数学上另辟蹊径，从几何上对）数学上另辟蹊径，从几何上对BraggBragg公式加以诠释，做了很好的尝试，并获得成功。公式加以诠释，做了很好的尝试，并获得成功。 第一，建立了第一，建立了BraggBragg公式的几何图解方法，后称为厄瓦尔德公式的几何图解方法，后称为厄瓦尔德球方法；球方法； 第二，提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易第二，提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易点阵全新概念，而

32、且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点点阵全新概念，而且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点阵也是可见的，如在衍射实验时，在物镜后焦面处记录到的阵也是可见的，如在衍射实验时，在物镜后焦面处记录到的衍射谱，就是倒空间倒易点阵的一个截面。下面将简要说明衍射谱，就是倒空间倒易点阵的一个截面。下面将简要说明其基本思路。其基本思路。 瓦尔德（瓦尔德（EwaldEwald）建立）建立BraggBragg公式的几何解的思路公式的几何解的思路最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础BraggBragg公式（公式（1-11-1）可以改写为：）可以改写为：hklhkldnsin1212)(sinhklhkldnndhklh

33、klsin2 三角函数的表达式右边分子与分母参数的量纲均变成长度三角函数的表达式右边分子与分母参数的量纲均变成长度的（的（-1-1）次量纲。对上式进行图解表达，如图）次量纲。对上式进行图解表达，如图1-181-18所示。所示。 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础OCOC是入射束的方向，是入射束的方向，OBOB是设想的取向能使入射束入射角满足是设想的取向能使入射束入射角满足BraggBragg公式从而产生衍射的晶面公式从而产生衍射的晶面(hkl)(hkl)的的反射束方向，反射束方向，OAOA就是就是(hkl)(hkl)面延长后交于反射球面的面延长后交于反射球面的交点。交点。以晶体所在处以晶体所在

34、处O O为圆心，以为半径作一为圆心，以为半径作一圆球，称为圆球，称为厄瓦尔德球或反射球厄瓦尔德球或反射球。 显然满足衍射条件时，显然满足衍射条件时，CBCB必须与反射平面必须与反射平面(hkl)(hkl)垂直，垂直，而且长度应为，而且长度应为，即广义晶面间距的倒数。即广义晶面间距的倒数。dn图图 BraggBragg公式的厄瓦尔德图解公式的厄瓦尔德图解 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础gBC定义定义gg矢量的方向矢量的方向就和正空间晶体点阵满就和正空间晶体点阵满足布拉菲条件的足布拉菲条件的 hklhkl晶面的法线晶面的法线方方向联系起来了，其大小（或长度）向联系起来了，其大小（或长度） hk

35、ldnCBg与反射晶面面间距联系起来了与反射晶面面间距联系起来了 则则矢量的大小矢量的大小就能够代表反射平面族就能够代表反射平面族hkl hkl g1hkldd1矢量便称为倒易矢量矢量便称为倒易矢量 g在图在图1-181-18的作图空间里，所有的的作图空间里，所有的量都是正空间相应量的（量都是正空间相应量的（-1-1）次）次量纲：量纲： 图图 BraggBragg公式的厄瓦尔德图解公式的厄瓦尔德图解 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 从前面的分析可知，倒易点阵是晶体点阵的倒易，它并不是从前面的分析可知，倒易点阵是晶体点阵的倒易，它并不是一个客观实在，也没有特定的物理概念与意义，纯粹是一种数一

36、个客观实在，也没有特定的物理概念与意义，纯粹是一种数学模型。然而倒易点阵对描述和阐述晶体对射线衍射的原理却学模型。然而倒易点阵对描述和阐述晶体对射线衍射的原理却是一种非常有力的工具。射线在晶体的衍射与干涉和衍射十分是一种非常有力的工具。射线在晶体的衍射与干涉和衍射十分类似。衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像之间存类似。衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像之间存在着一个傅立叶变换的关系在着一个傅立叶变换的关系。 1.5.2 1.5.2 倒易空间的建立及其基本性质倒易空间的建立及其基本性质最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 通常我们把晶体内部结构称为正空间，而晶体对射线的衍通常我们把

37、晶体内部结构称为正空间，而晶体对射线的衍射被称为倒易空间。显而易见，倒易空间并不是一个客观实射被称为倒易空间。显而易见，倒易空间并不是一个客观实在的物理空间，而只是对一个物理空间的一种数学变换表达。在的物理空间，而只是对一个物理空间的一种数学变换表达。同样，倒易点阵也仅是对晶体点阵的一种数学变换表达。随同样，倒易点阵也仅是对晶体点阵的一种数学变换表达。随着物理学和固体物理的发展，倒易空间的概念，还被十分广着物理学和固体物理的发展，倒易空间的概念，还被十分广泛地用来描述涉及能量分布空间的问题。泛地用来描述涉及能量分布空间的问题。 倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德于倒易点阵是一种晶体学表示

38、方法，是厄互尔德于19121912年创年创立的，它是在量纲为立的，它是在量纲为L-1L-1的倒空间内的另外一个点阵，与的倒空间内的另外一个点阵，与正空间内的某特定的点阵相对应。正空间内的某特定的点阵相对应。 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1 1倒易点阵的数学表达及其基本性质倒易点阵的数学表达及其基本性质（1）倒易点阵基矢的定义）倒易点阵基矢的定义 g g矢量如何用正空间的点阵基矢矢量如何用正空间的点阵基矢a a1 1、a a2 2、a a3 3以及反射晶面指数以及反射晶面指数hklhkl去表达呢？去表达呢？ 就能够代表反射平面族就能够代表反射平面族hkl hkl g矢量便称为倒易矢量矢量便

39、称为倒易矢量 g最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础NhklPQRhakaPAB12kalaQBC23lahaRCA31g1a2a3a、 图图1-19 1-19 倒易矢量的引入倒易矢量的引入设平面设平面ABCABC为反射晶面（为反射晶面（hklhkl），），其法向矢量为其法向矢量为N Nhklhkl，根据晶体学的定义，（根据晶体学的定义，（hklhkl）晶面在三晶）晶面在三晶轴上的截距分别为轴上的截距分别为 ha1ka2la3最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础因为Nhkl P，Nhkl Q，Nhkl R，即有P Q Nhkl，同时，同时，法向矢量Nhkl的大小尚未限制，不妨定义一个g矢量来定义晶

40、面法向，令 hklNQPg归一化因子若取归一化因子为hklVhklaaa321hklVhklaaa321（V为晶胞体积） kalahakaaaahklg2312321*3*2*1211332a lakahVaalVaakVaahg最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础Vaaa32*1Vaaa13*2Vaaa21*3 （1-12）*ja（j=1, 2, 3）为新的三个基矢，定义了一个新的空间。于是，晶面的法向不仅能够用正点正的基矢和晶面指数表达， 该矢量指向的端点的坐标指数在该矢量指向的端点的坐标指数在 *ja（j=1, 2, 3）定义的空间内为（）定义的空间内为（hkl） 最新第1章 倒易点阵及电

41、子衍射基础2 2 倒易点阵倒易点阵（reciprocal lattice）1)1)倒易点阵的定义及其基本性质倒易点阵的定义及其基本性质 （1 1）倒易点阵基矢的定义）倒易点阵基矢的定义 （2 2）倒易点阵的性质）倒易点阵的性质 2). 2). 正点阵与倒易点阵的指数互换正点阵与倒易点阵的指数互换 （1 1）正点阵与倒易点阵基矢间的关系）正点阵与倒易点阵基矢间的关系 （2 2）正点阵与倒易点阵指数间的互换）正点阵与倒易点阵指数间的互换 3). 3). 晶面间距与晶面夹角公式晶面间距与晶面夹角公式 （1 1）晶面间距）晶面间距 （2 2）晶面夹角公式）晶面夹角公式 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基

42、础 倒易点阵是一种晶体学表示方法，是倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德厄互尔德于于19121912年年创立的，它是在量纲为创立的，它是在量纲为LL-1-1的倒空间内的另外一个点阵，与的倒空间内的另外一个点阵，与正空间内的某特定的点阵相对应。正空间内的某特定的点阵相对应。 通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。体相应晶面的衍射结果。1)1)倒易点阵及其基本性质倒易点阵及其基本性质 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础（1）倒易点阵基矢的定义）倒易点阵基矢的定义 如果用点阵基矢如果用点阵基矢 （i = 1, 2,

43、3i = 1, 2, 3）定义一正点阵，若由另）定义一正点阵，若由另一个点阵基矢一个点阵基矢 （j = 1j = 1，2 2，3 3）定义的点阵满足）定义的点阵满足*jaiaVaaaaaaaa3232132*1)(Vaaaaaaaa1313213*2)(Vaaaaaaaa2121321*3)(式（式（1 1）中，）中，V V 阵胞体积阵胞体积 ).().().(213132321aaaaaaaaaV（1） 则由则由 定义的点阵为定义的点阵为 定义的点阵的倒易点阵。定义的点阵的倒易点阵。jaia最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础)(0)( 1jijiaaji由此可知，由此可知， 与与 分别定义的

44、正点阵与倒易点分别定义的正点阵与倒易点阵互为倒易。阵互为倒易。iaja（2） 决定大小决定大小决定方向决定方向（2）倒易点阵的性质）倒易点阵的性质 u 据式（据式（1 1）有）有最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础v 倒易矢量及其基本性质倒易矢量及其基本性质 在倒易点阵中，以任一倒易点为坐标原点在倒易点阵中，以任一倒易点为坐标原点O O* *(000)(000)，由，由倒易原点倒易原点O O* *(000)(000)指向任一坐标（指向任一坐标（HKLHKL）的矢量称为倒易矢量，）的矢量称为倒易矢量，表达为表达为 *3*2*1aLaKaHghkl（5） 其基本性质：其基本性质： HKLhklhkl

45、dgHKLg1)(上式表明：上式表明：倒易矢量垂直于正点阵中相应的倒易矢量垂直于正点阵中相应的(hkl)(hkl)晶面，或平行于它的法向；晶面，或平行于它的法向；倒易阵点的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。倒易阵点的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础证证 明：明： （1）设平面设平面ABCABC为（为（HKLHKL），根据晶体学的定义，（），根据晶体学的定义，（HKLHKL）在）在三晶轴上的截距为：三晶轴上的截距为： LaKaHa321,显然，显然， HaKaAB12因为，因为， 0)()(12*3*2*1HaKaaLaKaHABghkl所以所以 BAghkl

46、同理可证：同理可证： ACgBCghklhkl则则 )(HKLghkln0最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础（2 2）设）设 n n0 0 为（为（HKLHKL）法线方向的单位矢量）法线方向的单位矢量 ，显然，显然， hklgn/0HKLhklggn0且且晶面间距晶面间距dHKL应为该平面的任一截距在法线方向上的投影长度应为该平面的任一截距在法线方向上的投影长度 HKLHKLHKLhklHKLgHagaLaKaHHaggHand1.)(.1*3*2*1110所以所以 HKLhkldg1同理可以证明：同理可以证明： *1)(uvwuvwuvwdRuvwR最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础w 对正

47、交点阵，有对正交点阵，有0*3*2*1901aaaax 对立方系来讲，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即对立方系来讲，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量是与相应指数的晶向平行。倒易矢量是与相应指数的晶向平行。a1* / a1; .a1* = 1/a; .最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1.3. 1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换正点阵与倒易点阵的指数互换（1 1）正点阵与倒易点阵基矢间的关系）正点阵与倒易点阵基矢间的关系 假设正点阵基矢与倒易点阵基矢间可以通过变换矩阵假设正点阵基矢与倒易点阵基矢间可以通过变换矩阵GG作作如下变换如下变换 *3*2*1321aaaGaaa（6） 将（

48、将（6 6）式两端右乘行矩阵）式两端右乘行矩阵 321aaa321*3*2*1321321aaaaaaGaaaaaa最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 3*32*31*33*22*21*23*12*11*133231332221231111aaaaaaaaaaaaaaaaaaGaaaaaaaaaaaaaaaaaa（7） jijiaaji10*由由可得可得 333231232221131211AAAAAAAAAGjiijaaA式中式中 （i, j = 1, 2, 3） （8） 利用（利用（6 6）式可以将倒易基矢变换为正基矢。）式可以将倒易基矢变换为正基矢。 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础将

49、（将（6 6）式两端左乘）式两端左乘GG-1-1得得*3*2*13211aaaaaaG（9） 再将式（再将式（9 9）两端同时右乘）两端同时右乘 .*3*2*1aaa*33*32*31*23*22*21*13*12*11*3*3*2*3*1*3*3*2*2*2*1*2*3*1*2*1*1*11AAAAAAAAAaaaaaaaaaaaaaaaaaaG(10) 其中其中 *.jiijaaA（i, j =1, 2, 3） 举例：举例： 对立方晶系对立方晶系 a1 = a2 = a3 = a =900222000000aaaG最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础（2 2）正点阵与倒易点阵指数间的互换）正

50、点阵与倒易点阵指数间的互换 对立方系，晶面（对立方系，晶面（HKLHKL）与其同名的晶向）与其同名的晶向HKLHKL垂直，垂直， 即即HKLhklRg/但对非立方晶系，这种关系在多数情况下不成立，因此，需但对非立方晶系，这种关系在多数情况下不成立，因此，需要解决以下两个问题：要解决以下两个问题： u 已知（已知（HKL）晶面，求其法线方向）晶面，求其法线方向uvwv 已知某一晶向已知某一晶向uvw，求与其垂直的晶面，求与其垂直的晶面设设uvwuvw是（是（HKLHKL）晶面的法线，）晶面的法线，uvw(HKL)uvw(HKL)，有，有 321awavauRuvw*3*2*1aLaKaHghkl

51、最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础显然，显然， 和和 是同一方向的矢量在正倒空间的不同是同一方向的矢量在正倒空间的不同表达方式，可用数学式表达为表达方式，可用数学式表达为 uvwRhklg)(/)(*3*2*1321aLaKaHgawavauRhkluvw（11） 写成等式为：写成等式为： HKLuvwdaLaKaHdawavau11*3*2*1*321（12） )(*3*2*1321aLaKaHKawavau（13） 式中式中 *uvwHKLddK 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 乘以一个乘以一个K K因子是为了将因子是为了将 和和 均变为无量纲的单位矢量，均变为无量纲的单位矢量，实际上

52、与实际上与uvwuvw垂直的晶面是一系列平行的晶面组，如在立方系垂直的晶面是一系列平行的晶面组，如在立方系中，与中，与110110垂直的晶面有（垂直的晶面有（110110），（），（220220），（），（330330）。）。 Rhklg 同样，（同样，（111111）晶面的法线方向也可以是）晶面的法线方向也可以是111111，222222等。等。因此，因此， 可以将（可以将（1313）式中的）式中的K K取消，写成等式取消，写成等式*3*2*1321aLaKaHawavau（14） 将（将（1414）式两端分别乘以，）式两端分别乘以， 、 、 ，得，得 1a2a3a3323133222123

53、12111aawaavaauLaawaavaauKaawaavaauH（15） 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础写成矩阵形式为写成矩阵形式为wvuGwvuaaaaaaaaaaaaaaaaaaLKH332313322212312111（16） 举例举例：wvuawvuaaaGLKH222200wvu立方uvwuvw与其同名的晶面组（与其同名的晶面组（uvwuvw）垂直。）垂直。（1 1）立方晶系）立方晶系最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础(2) (2) 六方晶系六方晶系如六方晶系的如六方晶系的MoCMoC， a = 2.90 , c = 2.77 , a = 2.90 , c = 2.77 ,

54、 求与晶求与晶向向uvw = 111 uvw = 111 垂直的晶面。垂直的晶面。wcuvavuawvucaaaawvuGLKH22222222)2()2(000202六方代入数据计算得代入数据计算得 （HKLHKL）= =（4.2054.205，4.2054.205，7.6737.673）=(1,1, =(1,1, 1.85)(559) 1.85)(559) 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础同理，将（同理，将（1414）式两端分别乘以）式两端分别乘以 , , 有有*1a*2a*3aLKHGwvu1（17） 或将（或将（1616）式两端乘）式两端乘GG-1-1得到同样结果。得到同样结果。最新

55、第1章 倒易点阵及电子衍射基础1.4. 1.4. 晶面间距与晶面夹角公式晶面间距与晶面夹角公式（1 1）晶面间距）晶面间距 由倒易矢量的性质由倒易矢量的性质HKLhkldg1221)(HKLhkldg进一步可写成进一步可写成 21.HKLhklhkldgg即即（18） ).(2).(2).(2)()()().(1*3*2*3*1*2*12*322*222*12*3*2*1*3*2*12aaKLaaHLaaHKaLaKaHaLaKaHaLaKaHdHKL此式为适用于任何晶系的通用公式。此式为适用于任何晶系的通用公式。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 对立方晶系对立方晶系 22*32*22*11

56、)()()(aaaa cos* = cos* = cos* = 0则有则有 222LKHadHKL（19） 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础（2 2）晶面夹角公式）晶面夹角公式 两晶面间的夹角可用两晶面法线夹角表达，也即可用两晶两晶面间的夹角可用两晶面法线夹角表达，也即可用两晶面对应的倒易矢量夹角表示，故有面对应的倒易矢量夹角表示，故有 .)()()(.1).(.cos*3*221*3*121*2*321*2*121*1*321*1*2212*3212*2212*121*32*22*12*31*21*11222111222111222111aaLKaaLHaaKLaaKHaaHLaaHKaL

57、LaKKaHHggggaLaKaHaLaKaHggggLKHLKHLKHLKHhklhklLKHLKH(20) 上式上式 适用于任何晶系。适用于任何晶系。对立方晶系，夹角公式为对立方晶系，夹角公式为 222222212121212121.cosLKHLKHLLKKHH（21） 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1.布拉格实验实验装置如图所示。实验装置如图所示。 C C为样品；为样品；入射线以掠射角或布拉格角入射线以掠射角或布拉格角 照射样品；照射样品；满足反射定律的方向设置反射线接收装置；满足反射定律的方向设置反射线接收装置；X X射线照射样品过程中，记录装置与样品台以射线照射样品过程中，记录

58、装置与样品台以2 2：1 1的角速度同步的角速度同步转动，以保证记录装置始终处于反射线位置上。转动，以保证记录装置始终处于反射线位置上。 试验结果表明，即仅在特定的角度才有反射线，试验结果表明，即仅在特定的角度才有反射线，X X射线射线的反射具有选择性，即的反射具有选择性，即“选择反射选择反射”。1.5.1 1.5.1 布拉格定律布拉格定律 1.5 Bragg1.5 Bragg定理及其几何图解定理及其几何图解最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础2. 2. 布拉格方程的推导布拉格方程的推导考虑：考虑： u 晶体结构的周期性晶体结构的周期性v X X射线具有穿透性射线具有穿透性w 入射线与反射线均可

59、视为平行光（光源与记录装置至样入射线与反射线均可视为平行光（光源与记录装置至样品的距离较品的距离较d d大得多）大得多） 认为，认为，“选择性反射选择性反射”是各原子面各自产生的相互平行的是各原子面各自产生的相互平行的反射线间的干涉作用的结果。反射线间的干涉作用的结果。 据此，可以构造如图所示的衍射几何，据此，可以构造如图所示的衍射几何，X X射线照射到（射线照射到（hklhkl）原子面上并产生反射，面间距为原子面上并产生反射，面间距为d d0 0，相邻两晶面（如，相邻两晶面（如A A1 1，A A2 2）的反射线光程差的反射线光程差: :最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 = PM2 + M

60、2Q = 2dsin 干涉相互加强的条件为干涉相互加强的条件为 = n = n ， 即即 2dsin = n (2-1a)n 任意整数，反射级数任意整数，反射级数d （hkl）晶面面间距）晶面面间距 Bragg角角 X射线波长射线波长式（式（2-12-1）称为布拉格方程。）称为布拉格方程。式中式中，最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础oPR X-ray Diffraction (Bragg condition) 2dsin = dd/2dsin最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础0级1级2级布拉格方程中的反射级数的物理意义：布拉格方程中的反射级数的物理意义：最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础最新第

61、1章 倒易点阵及电子衍射基础 设衍射晶面为（设衍射晶面为（hklhkl）面间）面间距为距为d d，入射方向与衍射晶面，入射方向与衍射晶面成成角，由角，由X X射线的衍射原理，射线的衍射原理，则衍射必要条件的数学表达式则衍射必要条件的数学表达式 sin2d 由实验证明，衍射可解释为晶面对入射波的反射，如由实验证明，衍射可解释为晶面对入射波的反射，如图所示。下面求几何解图所示。下面求几何解 （2-1）3 3 布拉格方程布拉格方程 （Bragg formulaBragg formula）的矢量表达）的矢量表达最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 设入射束和反射束的单位矢量设入射束和反射束的单位矢量分别

62、为分别为 S S0 0 和和 S S那么，那么， hklgNSS/0gdSSsin20又可写为又可写为 gss0令令 有有 gkk（2-2）ghklks0ks最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础K K/ /，K K分别为衍射线与入射线的波数矢量。分别为衍射线与入射线的波数矢量。（2-12-1）（）（2-22-2）分别为布拉格定律的标量与矢量表达式。）分别为布拉格定律的标量与矢量表达式。由（由（2-12-1）变换可得）变换可得 12sindd2 一般情况下，金属和合金的面间距大都在一般情况下，金属和合金的面间距大都在0.2-0.4nm0.2-0.4nm范围，范围，而电子波长而电子波长0.05nm(

63、60KV)0.05nm(60KV)。因此，金属和合金极易满足条。因此，金属和合金极易满足条件产生衍射。且件产生衍射。且sinsin值很小，从而有特别小的衍射角。通值很小，从而有特别小的衍射角。通常常 110 0 那么，布拉格方程如何在几何上表达呢？这就是下面要那么，布拉格方程如何在几何上表达呢？这就是下面要讲的厄瓦尔德球作图法。讲的厄瓦尔德球作图法。 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础1.5.2 1.5.2 厄瓦尔德球作图法厄瓦尔德球作图法 在电子衍射的分析过程中，常常要用到厄瓦尔德球作图在电子衍射的分析过程中，常常要用到厄瓦尔德球作图法，利用这种方法可以法，利用这种方法可以比较直观地观察衍射

64、晶面、入射束和比较直观地观察衍射晶面、入射束和衍射束之间的几何关系衍射束之间的几何关系。它实际上是布拉格方程的几何表示。它实际上是布拉格方程的几何表示。 厄瓦尔德球是位于倒易空间中的一个球面，球之半径等厄瓦尔德球是位于倒易空间中的一个球面，球之半径等于入射电子波波长的倒数于入射电子波波长的倒数1/1/。 厄瓦尔德球作图法：厄瓦尔德球作图法：最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础具体作法如下：具体作法如下：在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵；在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵；以倒易原点以倒易原点0 0* *为端点，作入射波的波矢量为端点，作入射波的波矢量K(OOK(OO* *) )，该矢，该矢

65、量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即 K=1/K=1/；以以O O为中心，为中心，1/1/为半径作为半径作一个球，这就是厄互尔德一个球，这就是厄互尔德球。球。最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础若有倒易阵点若有倒易阵点G G（hklhkl）正好落在厄瓦尔德球的球面上，则）正好落在厄瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（相应的晶面组（hklhkl）与入射束的位向必满足布拉格条件，）与入射束的位向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是而衍射束的方向就是OGOG或者衍射波矢量或者衍射波矢量K K/ /，其长度等于反，其长度等于反射球的半径射球的半径。根据倒易矢

66、量的定义根据倒易矢量的定义 hklgG*0进行矢量运算有：进行矢量运算有： kgkhklhklgkk（2323） 最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础现在来证明（现在来证明（2-32-3）与（）与（2-12-1）（）（2-22-2）是等价的。）是等价的。证证 明：明： 显然，由图可知，显然，由图可知，K K与与KK之之间的夹角等于间的夹角等于22。这与布。这与布拉格定律的结果一致。拉格定律的结果一致。 由由O O向向0 0* *G G作垂线作垂线0D0D，垂足为，垂足为D DhklhklNg/（hklhkl面的法线）面的法线） 0D 0D就是正空间（就是正空间（hklhkl）面的方位）面的方位设它与入射束的夹角为设它与入射束的夹角为，则有，则有sin000*Dsin1sin21 kgsin2d最新第1章 倒易点阵及电子衍射基础 综上所述，爱瓦尔德球内的三个矢量综上所述，爱瓦尔德球内的三个矢量K K、KK和和g ghklhkl清楚地清楚地描述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系。这个方描述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系。这个方法成为分析衍射的有效工具。法成为分析衍射的有效工具