数列求和专项练习

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1、一，数列求和的常用方法1公式法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q1或q1.2倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个

2、等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解（资料8.4考点一第10题）例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.二，方法突破1等差、等比数列的求和数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，要注意灵活选取公式2非等差、等比数列的一般数列求和的两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列

3、，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和要记牢常用的数列求和的方法2数列an中，an，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9C10 D9解析：数列an的前n项和为11，所以n9，于是直线(n1)xyn0即为10xy90，所以其在y轴上的截距为9.3.= . 解析：，。答案：3已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A0 B100C100 D10200解析：由题意，a1a2a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)100.4(2011连云港模

4、拟)设a1，a2，a50是以1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1a2a509且(a11)2(a21)2(a501)2107，则a1，a2，a50当中取零的项共有()A11个 B12个C15个 D25个解析：(a11)2(a21)2(a501)2aaa2(a1a2a50)50107，aaa39，a1，a2，a50中取零的项应为503911个答案：A2数列an中，an，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9C10 D9解析：数列an的前n项和为11，所以n9，于是直线(n1)xyn0即为10xy90，所以其在y轴上的截距为9.5设函数f(x)x

5、max的导函数f(x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是()A. B.C. D.解析：f(x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，用裂项法求和得Sn.6设mN*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)F(2)F(1024)的值是()A8204 B8192C9218 D以上都不对解析：F(m)为log2m的整数部分，2nm2n11时，f(m)n，F(1)F(2)F(1024)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)F(1024)021422kk29910.设S12222k2k929， 则2S1228299210， 得S2222992109210210292

6、102132，S2132，F(1)F(2)F(1024)213128204.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7已知函数f(x)log2x，若数列an的各项使得2，f(a1)，f(a2)，f(an)，2n4成等差数列，则数列an的前n项和Sn_.解析：设等差数列的公差为d，则由题意，得2n42(n1)d，解得d2，于是log2a14，log2a26，log2a38，从而a124，a226，a328，.易知数列an是等比数列，其公比q4，所以Sn(4n1)答案：(4n1)8已知函数f(x)3x22x，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数f(x)的图象上，

7、bn，Tn是数列bn的前n项和，则使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m等于_解析：由Sn3n22n，得an6n5，又bn()，Tn(1)()()(1)，要使(1)对所有nN*成立，只需，m10，故符合条件的正整数m10.答案：109设函数f(x)a1a2xa3x2anxn1，若已知f(0)，且数列an满足f(1)n2an(nN*)，则数列an的前n项和Sn_.解析：由f(0)得a1.由f(1)n2an得a1a2anSnn2an，所以当n2时，Sn1(n1)2an1，得ann2ann2an1an12nan1，(n21)an(n22n1)an1，于是(n1)an(n1)an1，即.因此ana1

8、，而an，所以Sn1.答案：三、解答题10(2010全国新课标)设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)由已知得，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1，而a12，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1 从而22Sn123225327n22n1 得(122)Sn2232522n1n22n1.即Sn(3n1)22n1211已知数列an的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足(p1)Snp2a

9、n，其中p为正常数，且p1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)，数列bnbn2的前n项和为Tn，求证：Tn.解：(1)由题设知(p1)a1p2a1，解得a1p.由，得所以(p1)an1anan1，即an1an，可见，数列an是首项为a1p，公比为的等比数列，故anp()n1p2n.(2)证明：bn，bnbn2()，Tnb1b3b2b4b3b5bnbn2()()()()()(1).12已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2n.数列bn满足bn22bn1bn0(nN*)，且b311，b1b2b9153.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使

10、不等式Tn对一切nN*都成立的最大正整数k的值；(3)设f(n)，是否存在mN*，使得f(m15)5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1)当n1时，a1S16，当n2时，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)n5，而当n1时，n56，ann5(nN*)，又bn22bn1bn0，即bn2bn1bn1bn.数列bn是等差数列，又b311，b1b2b9153，解得b15，公差d3.bn3n2(nN*)(2)由(1)可得，cn()，Tnc1c2cn(1)()()，Tn1Tn0，Tn单调递增，故(Tn)minT1，令，得k19，所以kmax18.(3)f(n)，当m为奇数时，m15为偶数，3m475m25，m11.当m为偶数时，m15为奇数，m2015m10，mN*(舍去)综上所述，存在唯一正整数m11，使得f(m15)5f(m)成立