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1、线性代数知识点总结（第 1（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3） 提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此 行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式 就等于两个行列式之和。（5）行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为 0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值 等于主对角线元素的乘积5、 副对角线行列式的值等
2、于副对角线元素的乘积乘_6、 Lap lace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则a,其余元素为b的行列式的值:7、n阶（n2）范德蒙德行列式1%1 帀 1巩=2 巧巧 =n（兀-耳）-ra1n1n1心数学归纳法证明 8对角线的元素为（三）按行（列）展开9、按行展开定理:(1) 任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2) 行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和 等于0(四) 行列式公式10、行列式七大公式：(1) |kA|=kn|A|(2) |AB|=|A| |B|(3) |At|=|A|(4) |A-1|=|A| -1(5) |
3、A*|=|A| n-1I z l= J7 (6) 若A的特征值 入1入2砧，贝U(7) 若A与B相似，则|A|=|B|(五) 克莱姆法则11、克莱姆法则：(1) 非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 D(2) 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0(3) 若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程 组有非零解，那么必有D=0。(六) 矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：(1) 矩阵乘法要求前列后行一致；(2) 矩阵乘法不满足交换律；(因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,/-1，A*,f(A) 时，可以用交换律)(3) A
4、B=O不能推出A=O或B=Q13、转置的性质(5条)(1) (A+B) t=At+Bt(2) (kA) T=kAT(3) (AB) t=BtAt(4) |A| t=|A|(5) (AT) t=A(七) 矩阵的逆14、逆的定义：AB=E或 BA=EM立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A1注：A可逆的充要条件是|A|丰015、逆的性质：(5条)(1) (kA) -1=1/k A (kM 0)(2) (AB) -1=B1 A-1(3) |A-1|=|A| -1(4) (AT) -1= (A-1) T(5) (A-1) -1=A16、逆的求法：(1) A为抽象矩阵：由定义或性质求解(2) A为数字
5、矩阵：(A|E)-初等行变换一 (E|A-1)(八) 矩阵的初等变换17、初等行(列)变换定义：(1) 两行(列)互换；(2) 行(列)乘非零常数c(3) 行(列)乘k加到另一行(列)18、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。19、初等变换与初等矩阵的性质：(1) 初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，且 Ej-1=Ej (i, j两行互换);E-1 (c) =E (1/c)(第 i 行(列)乘 c)Ej-1 (k) =E (-k)(第 i 行乘 k 加到 j)(九)矩阵的秩20、秩的定义：非零子式的最高阶数注：(1) r (A) =0意味着所
6、有元素为0,即A=O(2) r (Anxn) =n (满秩) |A| 工 0 A可逆；r ( A)v n - |A|= 0 -A 不可逆；(3) r (A) =r (r=1、2、n-1) -r阶子式非零且所有 叶1子式均为0。21、秩的性质：(7 条)(1) A 为 mx n 阶矩阵，则 r (A) min (m,n)(2) r (A B) r (A)( B)(3) r (AB) minr (A), r (B) (4) r (kA) =r (A)(0)(5) r (A) =r (AC) (C是一个可逆矩阵)(6) r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)(7) 设 A 是 m x n
7、阶矩阵，B 是 n x s 矩阵，AB=O,则 r (A) +r (B) n22、秩的求法：(1) A为抽象矩阵：由定义或性质求解；0)，(2) A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为 则r (A)=非零行的行数(十)伴随矩阵23、伴随矩阵的性质： (8 条)1)AA*=A*A=|A|E A*=|A|A -12)(kA)*=kn-1A*3)(AB)*=B*A*4)|A*|=|A|n-15)(AT)*=(A*)T6)(A-1)*=(A*)-1=A|A| -17)(A*) *=|A| n-2 A(8)r(A*)=n(r(A)=n)；r(A*)=1(r (A)=n-1)；r (A*) =0(r (A)v n-1)(十一)分块矩阵24、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同25、分块矩阵求逆：
线性代数知识点总结第章
