有理数培优题有答案解析

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1、.有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示 2 的点到原点的距离等于（）。2、若 a= a,则 a（） 0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果 a+b=0, 那么 a、 b 一定是（）。5、将 0.1 毫米的厚度的纸对折20 次，列式表示厚度是（）。6、已知 | a |3,| b | 2,| ab |ab ，则 ab （）7、 | x 2 | x 3| 的最小值是（）。11）。8、在数轴上，点 A、B 分别表示， ，则线段 AB 的中点所表示的数是（42ab2010mn p2（）。9、若 a, b 互为相反数， m, n 互为倒数， P 的绝对值为 3，则p10、若 abc0，则

2、 | a | b | c | 的值是（） .abc11、下列有规律排列的一列数： 1、3 、2 、5 、3 、 ，其中从左到右第100 个数是（）。4385二、解答问题：1、已知 x+3=0,|y+5|+4的值是 4， z 对应的点到 -2对应的点的距离是7，求 x、y、 z 这三个数两两之积的和。3、若 2x| 45x |13x |4 的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。Word 文档.4、若 a,b, c 为整数，且 | ab |2010| ca |20101 ，试求 | ca | ab | bc | 的值。5、计算： 1 5 7 9 11 13 15 1726122030425

3、6726、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例 1 ：已知有理数 a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（）A ab bB ab bC a b 0D a b 0拓广训练：1、如图 a, b 为数轴上的两点表示的有理数，在ab,b 2a, ab , b a 中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）aObA1B2C3D43、把满足 2a 5 中的整数 a 表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例 2：如果数轴上点A 到原

4、点的距离为3，点 B 到原点的距离为5，那么 A、B 两点的距离为。拓广训练：1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则 a3_.2、已知数轴上有A、B 两点， A、B 之间的距离为1，点 A 与原点 O 的距离为3，那么所有满足条件的点BWord 文档.与原点 O 的距离之和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例 3 ：已知 a0,b0 且 ab0 ，那么有理数 a, b, a, b 的大小关系是。（用“ ”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：1、 若 m0, n0 且 mn ，比较m, n, mn, mn, nm 的大小，并用“”号连接。例 4 ：已知

5、 a5 比较 a 与 4 的大小拓广训练：1、已知 a3 ，试讨论 a 与 3 的大小2 、已知两数a, b ，如果 a 比 b 大，试判断a 与 b 的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例 5 ： 有理数 a,b, c 在数轴上的位置如图所示，式子ababbc 化简结果为（）A 2a3bcB 3bcC bcD cb-1aO1bc拓广训练：1、有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示，则化简abb1ac1c 的结果为。baOc 12、已知 abab2b ，在数轴上给出关于a, b的四种情况如图所示，则成立的是。a 0 bb 0 a0a b0 b a3、已知有理数 a, b, c 在

6、数轴上的对应的位置如下图：则c1 a cab 化简后的结果是（）（省初中数学竞赛选拨赛试题）-1cOa bWord 文档.A b 1B 2a b 1C 1 2a b 2cD 1 2c b三、培优训练1、已知是有理数，且22 y 120 ，那以 xy 的值是（）x 113133ABC 或D 1或222222、（07）如图，数轴上一动点 A向左移动2 个单位长度到达点 B ，再向右移动5 个单位长度到达点C 若点 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为（）5B2 AC 7 33 2013、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数a,b, c, d

7、且 d 2a10 ，那么数轴的原点应是（）AA 点BB 点CC 点DD 点ABCD4、数 a, b, c, d 所对应的点A ，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么 ac 与 bd 的大小关系是 （）AD0CBA acbdB acbdC acbdD不确定的5、不相等的有理数a, b, c 在数轴上对应点分别为A， B，C，若 abbcac ，那么点 B（）A在 A、C 点右边B在 A、 C 点左边C在 A、C 点之间D以上均有可能6、设 yx1x1 ，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）A y 没有最小值B只一个 x 使 y 取最小值C有限个 x （不止一个）使y 取最小值D

8、有无穷多个x 使 y 取最小值7、在数轴上，点A， B 分别表示1 和 1 ，则线段 AB 的中点所表示的数是。358、若 a0, b0 ，则使 xaxbab 成立的 x 的取值围是。9、 x 是有理数，则x100x95 的最小值是。22122110、已知 a, b, c, d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：dbOac且 6 a6 b3 c4 d6, 求 3a2d3b2a2bc 的值。11、（市中考题）(1)阅读下面材料：Word 文档.点 A、B 在数轴上分别表示实数 a, b ，A、B 两点这间的距离表示为AB ，当 A、B 两点中有一点在原点时，O(A)B不妨设点 A 在原点，如图

9、1， ABOBba b ；当 A、 B 两点都不在原点时，obABOBOA b ab a a b ；OAB如图 2，点 A、B 都在原点的右边o abBAO如图 3，点 A、B 都在原点的左边如图 4，点 A、B 在原点的两边ABOBOAbabaab ；ba oABOAOBab abab。BOAboa综上，数轴上A、 B 两点之间的距离ABab 。（ 2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5两点之间的距离是，数轴上表示 -2 和 -5 的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和-3的两点之间的距离是；数轴上表示 x 和 -1的两点 A 和 B 之间的距离是，如果 AB2 ，那么 x 为；当代数式x

10、1x2 取最小值时，相应的x 的取值围是；求 x 1x2x3x 1997的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：aa 0a0a0aa0Word 文档.2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a 表示数 a 的点到原点的距离

11、；a b 表示数 a 、数 b 的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质 a 0 a222 ab a b aa a b a baab 0bb a ba b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例 1 ：已知 a5, b3 且 abba 那么 ab。拓广训练：1、已知 a1, b2, c3, 且 a bc ，那么 abc 2。（北京市“迎春杯”竞赛题）2、若 a8, b5 ，且 ab0 ，那么 ab 的值是（）A3 或 13B13 或 -13C3 或-3D -3 或 -132、恰当地运用绝对值的几何意义例 2 ：x1x1 的最小值是（）A2B0 C 1D -1解法 1、分类讨论当 x1时， x1

12、 x 1x 1x 12x 2 ；当1 x 1时，x 1 x 1 x 1 x 1 2；当 x1时 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2 。比较可知，x1 x1的最小值是2，故选 A。解法 2、由绝对值的几何意义知x 1 表示数 x 所对应的点与数1 所对应的点之间的距离；x 1 表示数 x所对应的点与数 -1 所对应的点之间的距离；x 1x1 的最小值是指x 点到 1与 -1 两点距离和的最小值。如图易知x -1x 1x当 1x1时， x 1x1 的值最小，最小值是2故选 A。拓广训练：Word 文档.1、 已知 x3x2 的最小值是 a ， x3x2 的最大值为 b ，求 ab 的值。三、

13、培优训练1、如图，有理数 a, b在数轴上的位置如图所示：-2 a-10 b1则在 ab,b2a, ba , a b , a2 , b4 中，负数共有（）（省荆州市竞赛题）A3 个B1 个C4 个D2 个2、若 m 是有理数，则m m 一定是（）A零B非负数C正数D负数3、如果 x 2x 20 ，那么 x 的取值围是（）A x 2B x 2C x 2D x 24、a,b 是有理数， 如果 a bab ，那么对于结论 （ 1）a 一定不是负数；（ 2）b 可能是负数， 其中（）（第 15届省竞赛题）A只有（ 1）正确B只有（ 2）正确C（ 1）（ 2）都正确D（1 ）（2 ）都不正确5、已知Aa

14、a ，则化简 a 1a 2 所得的结果为（）1B 1C 2a 3D 3 2a6、已知 0a4 ，那么 a2 3a 的最大值等于（）A 1 B5 C 8 D97、已知 a,b, c 都不等于零，且xabcabcx 有（）abc，根据 a,b,c 的不同取值，abcA唯一确定的值B 3 种不同的值C 4 种不同的值D 8 种不同的值8、满足 abab 成立的条件是（）（省黄冈市竞赛题）A ab 0B ab 1C ab 0D ab 19、若 2xx5x2x5，则代数式52xx的值为。x10、若 ab0abab，则b的值等于。aabWord 文档.abcabc11、已知 a, b, c 是非零有理数，

15、且abc0, abc0 ，求的值。abcabc12、已知 a, b, c, d 是有理数，ab9, cd16 ，且 abcd25 ，求 badc 的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：xx0我们知道x0x0 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式xx0x 1x2 时，可令 x10 和 x 20 ，分别求得 x1, x2 （称1,2 分别为x 1 与 x 2 的零点值）。在有理数围，零点值x1和 x2 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3 种情况：（ 1）当 x1时，原式 =x1x22x 1;（ 2）当1x 2 时，原式 = x1x23 ；（ 3）当 x2 时，原

16、式 = x1x22x1。2 x1x1综上讨论，原式 =31x22x1x2通过以上阅读，请你解决以下问题：（ 1）分别求出 x2 和 x4的零点值；（ 2）化简代数式x 2x 4Word 文档.14、（ 1 ）当 x 取何值时，x3 有最小值？这个最小值是多少？（ 2）当 x 取何值时， 5x2 有最大值？这个最大值是多少？（3）求 x4x5 的最小值。（ 4）求 x7x8x9 的最小值。15、某公共汽车运营线路AB 段上有 A、 D、 C、 B 四个汽车站，如图，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M

17、在何处选址最好？ADCB16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n n 1 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这 n 台机床到供应站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：A1A 2A 1A2（ P） DA 3甲 P乙甲乙丙如图，如果直线上有2台机床（甲、乙）时 ,很明显 P 设在 A1 和 A2 之间的任何地方都行 ,因为甲和乙分别到 P 的距离之和等于A1到 A2的距离 .如图 ,如果直线上有3 台机床 (甲、乙、丙 )时，不难判断， P 设在中间一台机床A2 处最合适，因为如果P放在 A2 处，甲和丙分别到P 的距离之和恰好为A1

18、到 A3 的距离；而如果 P 放在别处，例如 D 处，那么甲和丙分别到 P 的距离之和仍是 A1 到 A3 的距离， 可是乙还得走从 A2 到 D 近段距离， 这是多出来的，因此P放在 A2 处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4 台机床， P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方；有5 台机床， P 应设在第 3 台位置。问题（ 1）：有 n 机床时， P 应设在何处？问题（ 2）根据问题（1）的结论，求x1x2x3x617 的最小值。Word 文档.有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数围，我们又学习了有

19、理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的 符号演算 。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律加法交换律 abba乘法运算律乘法交换律 a bb a乘法结合律 ab ca bc加法结合律 abcabc乘法分配律

20、 a b cabac2322.7572例 1：计算：5433解：原式 = 4.64224.62.7534.6 5.751.152.75733拓广训练：1、计算（ 1）0.62270.9225315917190.081111（ 2 ）113694544114例 2 ：计算：9 245025解：原式 =1015010501500 2498255025拓广训练：1、 计算： 234111153452Word 文档.2、裂项相消a b11；（2）111；（ 3）m11（ 1）a bn n 1 n n 1n n m n n mab（ 4）211n n 1n 1 n 2n n 1 n 2例 3、计算111

21、122334200920101解：原式 =111111112233420092010= 111111112233420092010= 11200920102010拓广训练：1、计算：1111335572007200913、以符代数例 4 ：计算：17 727 111 3713 128 175 38271739172739解：分析： 17 716 34 ,27 126 24 ,113710 76272717173939令 A= 13128 175 38，则17 727 1113716 34262410 762A172739271739271739原式= 2A A2拓广训练：11111111111

22、1111、计算：320062320052320062320052Word 文档.4、分解相约1242482例 5 ：计算：n 2n 4n1392618n 3n 9n12421242n 1 2 4解：原式 =1392139=n 1 3 9124264=397291三、培优训练212412n13912n1、 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则a2007b2009=。20081111=；2、计算：（ 1）55779199731999（ 2） 0.25 48 322 461=。323、若 a 与b 互为相反数，则1898a299b2=。1997 ab4、计算：1131351397=。24

23、46669898985、计算：22 223242526272829210=。6、199797199898。,这四个数由小到大的排列顺序是1998981999996280.68668.66.863.1431.4=（）7、（ “五羊杯”）计算：A 3140B628C 1000D 12008、（ “希望杯”）12341415等于（）246828301B11D1A4C2425642.532）9、（ “五羊杯”）计算：9814.5= （245102040ABCD239910 、（ 2009中考）为了求1 22232 2008 的值，可令S 1222322008 ，则2S2 2232422009，因此 2

24、S-S 220091，所以 1222322008 2 20091仿照以上推理Word 文档.计算出 1 525352009 的值是（）A、 520091B、 520101C、 520091D、 5 201014411 、 a1 , a2, a3 ,a2004 都 是 正 数 ， 如 果 Ma1a2a2003a2 a3a2004，N a1 a2a2004a2a3a2003 ，那么 M , N 的大小关系是（）A MNB MNC MND不确定12、设三个互不相等的有理数，既可表示为1, ab, a 的形式，又可表示为0, b ,b 的形式，求 a1999b2000a的值（“希望杯”邀请赛试题）13

25、、计算（ 1） 5.70.000360.190.00657000.000000164 （ 2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题）3 12（ 2） 0.25 48 346.52461（北京市“迎春杯”竞赛题）3133214、已知 m, n 互为相反数，a,b 互为负倒数，x 的绝对值等于3 ，求 x31mnab x 2mn x2001ab 2003 的值Word 文档.15、已知 ab 21111a 2 0 ，求a 1 b 1a 2 b 2的值aba 2006 b 2006（香港竞赛）16、（ 2007 ，中考）图1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均

26、比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层将图 1 倒置后与原图1 拼成图 2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为12 3Lnn(n 1)2第 1 层第 2 层第 n 层图图 2图 3图 4如果图 1 中的圆圈共有 12层，（ 1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3 的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，L，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（ 2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数23，22，21，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和， L【专题精讲】【例 1】计算下列各题 ( 3)3 0.75 0.52( 3)325 (112) (3)343 ( 3

27、)344372544Word 文档. ( 0.125) 12 ( 12)7( 8)13 (3)935【例 2】计算： 1234567891011 12L2005200620072008【例】计算： 111111111L1326122030L133557991019900反思说明： 一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。11111 ( 11)n(n1) nn 1n(n k) k n nkn(n11 1111 ( 11 )1)(n2) 2n(n 1)(n 1)(n2)(n 1)(n1)2 n1 n 1Word 文档.【例 4】（第

28、18 届迎春杯）计算：111L1248102411212312341235859【例 5】 计算：(3) (44) (555) L (6060L60)23456060【例 6】届“希望杯”）计算：（第 8(1 11 L1 )(111 L1)(111L11 )(11 L1 )23200923420102320092010232009【例 7】 请你从下表归纳出13233343Ln3 的公式并计算出：13233343L503 的值。12345Word 文档246810369121548121620510152025.【实战演练】1、用简便方法计算：999998998999 998 99999999

29、811111) (12、（第 10 届“希望杯”训练题）(1) (1)L (1) (1)200420031002100110001999199919992000200020002001200120013、已知 a1998,b19991999,c20002000则 abc19981998199920004、计算：11L11315131517313311295、（“聪明杯”试题）( 1 2 4 2 4 8Ln 2n 4n )21392618Ln 3n 9n6、 (111)(114)(115)L (11)(11) 的值得整数部分为（）3231998200019992001A 1B 2C 3D 4提示

30、： ( n 1)2n22n1481216407、3355779L211198、计算： S122223L220109、计算 11112123123的值 .1100Word 文档.111110 、计算：234L2010的值。1 1(1 1 )(11)(1 1)(11)(11 )1 )(11)L (1(11 )223234232010参考答案基础训练题一、填空。1、2；2、；3、非负数； 4、互为相反数；5、 0.1220 毫米；6、5 或 1；7、5；8、1 ；9、 8； 10、3，1；11、 101 。8200二、解答题。1、 25 或 87；3、当 1x4 时，常数值为7；4、2；5、 135

31、9Word 文档.6、不可能，因为每次翻转其中任意4 个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题知识点一：数轴例 1、D拓广训练： 1、B；、因为 2a5,5 a2 ，所以5433453例 2、8或2拓广训练： 1、0或 6；2、12例 3、 b aab拓广训练： 1、题目有误。例 4、解：当4a5 时， a4 ；当 4 a 4时， a4 ；当 a4时， a 4 .拓广训练：略。例 5、C拓广训练： 1、 2；2、3、D三、培优训练1、 C2、 D3、B4、 A5、 C6、D7、1； 8、 bx a ；9、 1951522110、

32、5； 11、 3，3，4； x1 ，1 或 3； 1 x2 ； 997002聚焦绝对值例 1、2 或8.Word 文档.拓广训练： 1、4 或 0；2、A例 2、A拓广训练： 1、通过零点值讨论得a=5,b=5; 所以 a+b=10.三、培优训练1、 A;2、B；3、D;4、 A;5、A;6、 B；7、B；8、 C9、 1；10、 1 或 3；11、0；12、 7；13、零点值分别为2，4.略。 (分三种情况讨论 )14、 3；、 -2 ；、 1；、 215、加油站应建在D,C 两汽站之间 (包括 D,C 两汽车站 )16、 95172有理数的运算例 1、拓广训练：1.2； 16211例 2、拓广训练：34例 3、拓广训练：例 4、拓广训练：三、培优训练10042009120061、 1；6、199819992、 998 ，8；3、1；4、 1225 ；5、6；5997219979897 ；7、C；8 、D；9、B；1998999810、52010421 (原题无答案 )；11、A;12、 0；解析如下：由题意： Q1a且 0bb