(完整)最新沪科版八年级数学下册教案

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1、1 / 100第 1 课时二次根式的概念1.了解二次根式的概念；（重点）2理解二次根式有意义的条件；（重点）3.理解,a（a0）是一个非负数，并会应用a（a0）的非负性解决实际问题.（难点）大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧!二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】 二次根式的识别二次根式的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有满足题意.故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：含有 次根号“p-”被开方数为非负数两者缺一不可.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型

2、二】二次根式有意义的条件代数式有意义，则x的取值范围是（）A.x1且XM1B.XM1C.x1且xM1D.x1x+10且x1M0,解得x 1且XM1.故选A.方法总结：（1）要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非一、情境导入1.小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是 么它的边长是多少？8平方厘米，那2已知圆的面积是6n,你能求出该圆的半径吗?311（2015安顺期末）下列各式:：，2；2x; ；x2+y2;5:罷，其中解析：根据题意可知2 / 100负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数;若式子中含有分母，则字

3、母的取值必须使分母不为零.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】利用被开方数的非负性求字母的值| R (1)已知a,b满足，2a+8+|b1|=0,求2ab的值；已知实数a,b满足a=,b2+；2b+3,求a,b的值.解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可.解：由题意知2a+8 得2a= 8,b=1，贝U 2ab=9;b1=0,由题意知b2,解得b=2所以a=0+0+3=3.2b0,方法总结：当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0;当题目中，同时出现a和一a时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a=0.变式

4、训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】与二次根式有关的最值问题EH当x=_时，p3x+2+3的值最小，最小值为 _ .解析：由二次根式的非负性知-3x+20,二当3x+2=0即x= 时，.3x+2+3的值最小，此时最小值为3.故答案为3,3.方法总结：对于二次根式.a0(a0)，可知其有最小值0.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计与次根式有关:,的总俏问鞠/ .次浪式的识别丨二次根成的虬念二伙根代有 意艾的条件r A和川次根式的定2 j 龙戍敲斤方尅的护 l负件求垠的値3 / 100本节课的内容是在我们已学过的平 方根、算术平方根知识的基础上，进一

5、步引入二次根式的概念教学过程中，应鼓励学生积 极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第 2 课时二次根式的性质1.理解和掌握C a)2=a(a0)和JO2=|a|;(重点)2.能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算.(难点)一、 情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是，3,则面积是多少？如果正方形的面积是a,那么它的边长是多少？若边长是,a,则面积是多少？你会计算吗？二、 合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】 利用(；a)2=a(a0)计算311(1)( 0.3)2;(2)( 一13)2；(3) (2 3)2;(4)(2 xy

6、)2.解析：(1)可直接运用(卫)2=a(a0)计算，(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2=a2b2，再利用(,a)2=a(a0)进行计算.解：(1)(,0.3)2=0.3;(2) (. 13)2=(1)2X( ,13)2=13;(3) (2 3)2=22x( 3)2=12;(4) (2 xy)2=22x( xy)2=4(xy)=4x4y.方法总结：形如(n . m)2(m0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2=a2b2,化为n2m)2(m0)后再化简.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用 ,a2=|a|计算 Al沖.(1)2；“；(3)2；一.

7、(一n)2解析：利用，a2=|a|进行计算.解：(1)，.22=2;/可2, 2 2 (-2)2=|沪3；3124 / 100 _ 寸(一n)2= n|=_n方法总结：,a2=a的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a+,1+2a+a2,其中a=一2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答.解：a+ -話1+2a+a2=a+(a+1)2=a+a+1,当a= 一2时，原式=一2+一2+1=一2+1= 一1;当a=3时，原式=3+3+1=3+4=7.方法总结：本题考查了二次根式

8、的性质，解决本题的关键是先化简，再求值.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第10题探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】 与数轴的综合解析：由a,b在数轴上的位置确定av0, abv0, a+bv0.再根据a2=a进行化简. 解：由数轴可知一2vav1,0vbv1,贝Uabv0,a+bv0.原式=2aab+a+b=2a+ab(a+b)=2a2 b.方法总结：利用 昴=a 化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：把被开方数的底数移到绝对值符号中；根据绝对值内代数式的正负性去掉 绝对值符号.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第7题(cba)2.

9、解析：根据三角形的三边关系得出b+ca,b+ac,根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可.解：Ta、b、c是厶ABC的三边长，b+ca,b+ac,.原式=a+b+cb+ca+cba=a+b+c(b+ca)+(b+ac)=a+b+cbc+a+b+ac=3a+bc.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计a,b在数轴上的位置，化简2.a2、； (ab)2+ : (a+b)2【类型二】已知与三角形三边关系的综合a、b、c是厶A

10、BC的三边长，化简(a+b+c)2(b+ca)2+如图所示为5 / 100利用二次棍式的，性匪进仃化简二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础.本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习 的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯.性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意 引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第 1 课时二次根式的乘法1掌握二次根式的乘法运算法则；（重点）2.会进行二次根式的乘法运算.（重点、难点）一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少?探究点一：二次根式的乘法

11、法则成立的条件A.x1C.1x2 D. 1vxv2x+10,解析：根据题意得解得1x0.方法总结：运用二次根式的乘法法则：.aab（a0,b0）,必须注意被开方数是非负数这一条件.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：二次根式的乘法311式子，x+1.2x=(x+1)（2-x）成立的条件是（、合作探究6 / 100【类型一】 二次根式的乘法运算7 / 1001!2(43 4；(4)2a 8ab(-3；6a2b)3a(a0,b0).解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2),(3),(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘.解：(1)

12、原式=二加磊=5；原式一(9X6) 18X54=-2；1823=-27 3;(3)原式=-(2X4)- JX3X6=-i.i=-55；2 ._原式=-2aX3,8ab6a2b3a=-16a3b.方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相 乘，被开方数与被开方数相乘最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】逆用性质3(即辿=a=.b,a0,b0)进行化简3 . 225a6b2(a0,b0).解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积,8 / 100方法总结：利用积的算术平方根的性质

13、进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符 号进行转化，如(2)小题.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式的乘法的应用小明的爸爸做了一个长为588ncm,宽为，48ncm的矩形木板，还想做一个与 它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留根号）解析：根据“矩形的面积=长X宽”“圆的面积=冗X半径的平方”进行计算.解：设圆的半径为rem.因为矩形木板的面积为588nX48n=168n（cm2,所以nr2=168n,r=2 42（r=-2 42舍去）.答：这个圆的半径为2 42cm.方法总结：把实际问

14、题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二底根式的兼註ISHM成立的条件_本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质， 两者是可逆的，它们成立的条件都 是被开方数为非负数. 在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣， 让学生自主探究二次根 式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算(1) .196X0.25;(2)小题中先确定解：(1) 196X0.25=.196X0.25=14X0.5=7;.225a6b2=.225,a6.b2=15a3b._827；全平方数或偶次方进行开平方计算,二次根式乘虑的应

15、用式的 康法运曹9 / 100第 2 课时二次根式的除法1会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；（重点，难点）2掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；（重点、难点）3掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用.（重点）一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律?10 / 100二、合作探究探究点一：二次根式的除法12(4)2-a3b5-(-3、：a2b6)(a0,b0).解析：（1）直接把被开方数相除；（2）把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；（3）被开方数相除时，注意约分；系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成 商的算术平方根的形式，再化简.解：（1(4)； ；a3b5(

16、3；a2b6)方法总结：二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有 负号时，要先确定商的符号；二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；最后结果要化为最简二次根式.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：最简二次根式F列二次根式中，最简二次根式是（B/.3a因式分解后得a2+a2b_a2（1+b）含能开得尽方的因数a2， 不是最简二次根式故选B.an计算:.27a2b3；12ab2；解析：A选项8a中含能开得尽方的因数4,不是最简二次式；C选项；

17、中含有分母，D选项一，a2+a2b中被开方数用提公因式法方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件:被开方数中不含能开得尽方的6 12 6莎二5121827a2b3.12ab227a2b3_12ab2_9ab4=2x(-2)a3b5冠=-D. . a2+a2bC. nr rMrJIA.賂11 / 100因数或因式；被开方数不含分母. 判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同 时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：商的算术平方根的性质C.0wav2 D.a0a0,解析：根据题意得解得0wav2

18、故选C.2a0,非负数且分母不等于零这一条件.【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去， 即被开方数 不含分母，从而化为最简二次根式.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点四：二次根式除法的应用解析：因为“长方体的体积=长x宽x高”，所以“高=长方体的体积 珂长x宽)”，代 入计算即可.解：长方体的高为30.10-( .20X方法总结：运用商的算术平方根的性质:b0),必须注意被开方数是4a4b2_,4a4b2=盘3c.已知某长方体的体

19、积为30.10cm3，长为20cm，宽为15cm，求长方体的高.【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值b0,c0).解：泮4；J5)=30,畀12 / 100方法总结：本题也可以设高为X,根据长方体体积公式建立方程求解.三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第 1 课时二次根式的加减i经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则;2.掌握二次根式的加减运算.(重点、难点)一、情境导入计算：(1)2x5x;(2)3a2a2+2a2.上述运算实际

20、上就是合并同类项，如果把题中的x换成3,a2换成.5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)2 .35 .3;(2)3 .5,5+2 .5.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式一吸根云除法的就用311F列二次根式中与：2是同类二次根式的是最简i二次眼式裔的咼来甲I方械的性质13 / 100解析：选项A中，. 12=2 ,3与，2被开方数不同，故与，2不是同类二次根式；选项B中,|3=2-2被开方数不同,故与.2不是同类二次根式;选项C中,与.2被14/100开方数不同，故与“J2不是同类二次根式； 选项D中，18=3 2与.2被开方数相同，故与，2是同类二次根式故选D.方法总

21、结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二 次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二： 二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法L_B补.32；a#*+r ,1 ；4 48-3 .75;(4)18;*-；;96.解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.解：(1)原式=2 2+4,2=(2+4),2=6.2;原式=6-6+6 6=(6+6) 6=；原式=16 .3-15 .3=(16-15) .3=.3；(4)原式=3 6-6 6=(3-6) . 6=

22、-3,6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合 并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第【类型二】 二次根式的加减混合运算12一:晋；(2)；4x-3：；+3(3) 31彳-45+2解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.解：(1)原式=2.3-,3-, 3=0；原式=3 x-x+3 x=5 x；原式=15-3 5+4.5-.15=5；原式=存轨-乎+5百=乎+ .计算:15 / 100方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：把每个二次根式化为最简二次根式；运数不变.变式训练：见学练优本

23、课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式加减法的应用L_D一个三角形的周长是(2 3+3 2)cm，其中两边长分别是(.3+/2)cm,(3,乜2 2)cm，求第三边长.解析：第三边长等于(2 ,3+3 2)( 3+.2)(3 32 2)，再去括号，合并同类二次根式.解：第三边长是(2 3+3 2)( 3+2)(3 32 2)=2 3+3 2323 _3+2 2=4 22 , 3(cm).方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的 长.解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设

24、计同类二次權式L-J34一玄根式酣力1A11根式加 世快的应用二次根贰对冉】减运算3了解二次根式的混合运算顺序；4会进行二次根式的混合运算.(重点、难点)用加法交换律把同类二次根式的系数相加减，被开方16 / 100通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习.引导学生归纳总结出二次根式加 减运算的两个关键步骤：把每个二次根式化为最简二次根式；合并同类二次根式.并让 学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯.教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比), 培养学生良好的思维品质第 2 课时 二次根式的混合运算17 / 100一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为2.2cm,4 .3cm，高

25、为.6cm，那么它的面积是多少?毛毛是这样算的：梯形的面积：2(2 2+4 3)X6=( ,2+2 .3)X6=.2X6+2 .3X6=. 2X6+2 18=2 3+6 2(cm2).他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的混合运算计算:解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简.解：原式=,16,6+.24=46+2 6=4+,6;原式=飞X4X导5 2=.8X2 35 2=申X3 35 2冷5,2= 92.方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算 加减，如果有括号就先算括号里面的.

26、变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1) ( 5+3)( . 5.3)；(2) (3 22 . 3)2(3 2+2 3)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算.解：(1)(,5+,3)(,5.3)=(.5)2( 3)2=53=2;(2)(3 22 .3)2(3 2+2 3)2=(3 22 .3+3,2+2 , 3)(3 22 33 22 3)=24 .6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用, 的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三

27、】 二次根式的化简求值x+寸xy才xyy(-厂先化简，再求值：五+y+xGygo,y0)，其中x=V5+1，/-1.计算时应先观察式子(1) .48-3-(2)18 / 100解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算.解：原式_ &（yx+yy）_迪（&血=返丰心=x+y牛 工百（伍+W）五（心_旳）百vx晶,Tx=护 +1,y=J31 ,. x+y=2书，xy=31=2,.原式=半.在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入,虽然能求出结果,但往往导致烦琐的运算化简求值时注意整体思想的运用.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型

28、四】二次根式混合运算的应用一个三角形的底为6 .3+2,；2,这条边上的高为3 .3.2，求这个三角形的面积.解析：根据三角形的面积公式进行计算.11解：这个三角形的面积为2（6 .3+2 .2）（3，3.2）=寸2X（3 3+ 2）（3 32）=（3 .3）2（ .2尸=272=25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解， 能应用公式的尽量用公式计算.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化方法总结:解析：（1）把分子、分母同乘以2，再约分计算;把半-:的分子、寸3+寸2分母同乘以.32，把

29、斗土华的分子、分母同乘以.3+2,再运用公式计算.解:宀2 j15+12(2.,15+；12)X“22 ,：30+2、6(1)2=2X；2=2 =30+6；/3-V2V3+V2_(羽-V2)2_(頁+yj2)2.3+.2+,32= (.3+.2)(,3 ；2) + (3.2)(,3+；2)52. 6325+2.632=52 J6+5+2(6=10.方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以计算:(1)匚t+匚二19 / 100一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式， 则乘以这个二次根式，使得分母能写成aa的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得

30、能运用平方差公式计算如分母是,a+,b,则分子、分母同乘以,a-,b.【类型二】 分母有理化的逆用比较.15-. 14与,14-. 13的大小解析：把15QT4的分母看作1”，分子、分母同乘以JT5+JT4；把14T3的分母分子、分母同乘以14 +:13，再根据分子相同的两个正分数比较大小，分母大方法总结：把分母为1”的式子化为分子为1 ”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小.三、板书设计i二氏覩上的混合运算i二次柜止的混合丞埠 厂.次根式的分耳有理化二次根式的混合运算可类比整式的 运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简.引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程 中发现问题，解决问题

31、.本节课的易错点是运算错误， 要求学生认真细心，养成良好的习惯。看作1”,的反而小”，得到它们的大小关系.1514=-(1413)(14+13)15. 14)(15+ . 14).15+.14，1413=-14+.13：15+1414+13，:石+帀v石+乜即15-1414-13.14+；131一115+,;14120 / 10017. 1 一元二次方程1.了解一元二次方程及相关概念；（重点）2能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型.（难点）一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少?设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=12

32、0.所列方程是否为一元一次方程？（这个方程便是即将学习的一元二次方程.）二、合作探究探究点一：兀二次方程的概念【类型一】一兀二次方程的识别血！下列方程中，是一元二次方程的是 _（填入序号即可）.y214 y=0 ，2x2x-3=0:-2=3;4x2=2+3x;x3x+4=0; t2=2;x2+3x3=0；.x2x=2.解析：由一元二次方程的定义知 不是.答案为 .方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a丸）的形式，则这个方程就是一元次方程.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二

33、】根据一兀二次方程的概念求字母的值a为何值时，下列方程为一元二次方程?十*屮屮“21 / 100(1)ax2x=2x2ax3;(a1)x|a|+1+2x7=0.22 / 100解析：将方程转化为一般形式，得(a2)x2+(a1)x+3=0，当a2丰0，即a丰2时，原方程是一兀次方程；(2)由|a|+1=2,且a1丰0知，当a= 1时，原方程是一兀二次方程.解：(1)将方程整理得(a2)x2+(a1)x+3=0,va2丰0,二a丰2当a丰2时，原方程 为一元二次方程；(2)v|a|+1=2,.a= .当a=1时，a1=0，不合题意，舍去.当a= 1时，原方程为一元二次方程.方法总结：用一元二次方

34、程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题常数项.(1)x(x2)=4x23x;x2x+1x13 - 2=2；(3)关于x的方程mx2nx+mx+nx2=qp(m+n0).解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号” “移项”“合并同类 项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得x22x=4x23x.移项、合并同类项，得3x2x=0次项系数为3,一次项系数为1，常数项为0;(2)去分母，得2/3(x+1)=3(x1)

35、.去括号、移项、合并同类项，得2x2=0二次项系数为2, 一次项系数为0,常数项为0;移项、合并同类项，得(m+n)x2+(mn )x+pq=0次项系数为m+n, 次项系 数为mn,常数项为pq.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘-1,使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx,则b=0;若没有出现常数 项c,贝U c=0.【类型三】元二次方程的一般形式把下列方程转化成元二次方程的般形式，并指出23

36、 / 100变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型如图， 现有一张长为19cm， 宽为15cm的长方形纸片， 需要在四个顶角处剪去边 长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方 程.解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程.解：设需要剪去的小正方形边长为xcm,则纸盒底面的长方形的长为（192x）cm,宽为（152x）cm.15根据题意，得(192x)(152x)=81.整理得x217x+51=0(00);十a)2=b(b0):(ax+b)

37、2=c(c0);26 / 100(ax+b)2=(cx+d)2(|a|z|c|).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：用配方法解一元二次方程【类型一】用配方法解一元二次方程(1) x22x35=0;(2) 3x2+8x3=0.解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(x+m)2=n(n0)的形式，再用直接开平方法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1,再用配方法解方程.解：移项，得x22x=35.配方，得x22x+12=35+12，即(x1)2=36直接开平方, 得x1=d6.所以原

38、方程的根是X!=7,x2= 5；28282842方程两边同时除以3，得x2+x1=0移项，得x2+衣=1配方，得x2+x+(3)2=1+(4)2，即(x+3)2=(|)2.直接开平方，得x+3= 所以原方程的根是X1=5 x2=3.方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第【类型二】 利用配方法求代数式的值L.Q7已知a23a+b2尹=0, 求a4 .b的值.解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式,得到

39、这两个数都为0,从而可求出a,b的值，再代入代数式计算即可.解：原等式可以写成：(a|)2+(b护=0.3131 a2-=0,b-=0，解得a= ,b=4.a-4 b=|4x，：=-方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键.5理解一元二次方程求根公式的推导过程；（难点）27 / 100变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第11题【类型三】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围28 / 100L_D请用配方法说明：不论x取何值，代数式X1 65X+7的值恒为正.解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方

40、式加上一个常数的形式.55535解：/x25x+7=x25x+（2）2+7（5）2=（X-）2+3，而（x）20,244代数式x25x+7的值恒为正.方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式, 非负数，就可以求出原代数式的最值.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计利用配方怯 代数式的值厂、尸白接开牢方扶L 11-元二次方秤的 解決4配方法）（_利用配方法求槪銚;丿 式的圮備戏判宜代L救式的取值范冋Jo配方法LJ2会用公式法解一元二次方程；（重点）根据一个数的平方是一个29 /

41、 100本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法，领 会降次一转化的数学思想.经历从简单到复杂的过程， 从而培养学生从不同的角度进行探究 的习惯和能力2. 公式法一、情境导入如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a工0），你能否用配方法求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.冋题：已知ax2+bx+c=0（a丰0）且b24ac0,试推导它的两个根b+；b24acX=12a30 / 100、合作探究探究点一：一元二次方程的求根公式方程3x28=7x化为一般形式是 _, 其中a=_,b=_c=_，方程的根为_解析：将方程移项化为3x27x8=0其中

42、a=3,b=乙c=8因为b24ac=497 71454X3X(8)=1450，代入求根公式可得x=6故答案为3x27x8=0,3, 7,71458,x=6 方法总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根是由方程的系数a,b,c确定的，只见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)3x25x+2=0;(2) 2x2+3x+3=0;(3) 3x212x+3=0.解：(1)将3x25x+2=0两边同乘以1得3x2+5x2=0.va=3,b=5,c=2,/22549571b24ac=524X3X(2)=490,/x=2X3=厂，/ * =3,x2=2

43、;(2) / a=2,b=3,c=3,/b24ac=324X2X3=924=15v0,/原方程没有实数根；/a=3,b=12,c=3,.b24ac=(12)24X3X3=108,Ax=2X3=23,/.X1=2+.3,X2=23.用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a,b,c的值，再求出b24ac的值与0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计兀二次7j f i-一兀歎方書的 崛注(铁式达)m公式tt解 元一次方和X2=bb24ac2a311要确定了系数a,b,c的值，代入公式就可求

44、得方程的根.变式训练:探究点二:12【108方法总结:31 / 100经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元 二次方程体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生的解方程的能力。3. 因式分解法1理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)2会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点)一、情境导入我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x1)=0时，可转化为两个 元一次方程x+1=0或x1=0来解，你能求(x+3)(x5)=0的解吗？二、合作探究探究点：

45、用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程311(1) x2+5x=0;(2) (x5)(x6)=x5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法.解：(1)原方程转化为x(x+5)=0，所以x=0或x+5=0，所以原方程的解为X1=0，X2= 5;32 / 100(2)原方程转化为(x5)(x6)-(x5)=0,所以(x5)(x6)1=0,所以(x5)(x7)=0,所以x5=0或x7=0,所以原方程的解为xi=5,x2=7.方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0,观察是否有公因式，若有公因式,就能快速分解因式求解.变式训练：见学练优本课

46、时练习“课堂达标训练”第【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程(1) x26x=9;(2) 4(x3)225(x2)2=0.解：(1)原方程可变形为x26x+9=0,则(x3尸=0,x3=0,原方程的解为xi=X2=3；(2)2(x3)25(x2)2=0,2(x3)+5(x2)2( x3)5(x2)=0,(7x16)(3x+4)=0,7x16=0或3x+4=0,原方程的解为X1= ,X2=3.73方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方 程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.变式训练：见学练

47、优本课时练习“课后巩固提升”第7题(4)小题三、板书设计因式时-兀二次力世一元二煎方程曲解 法(国式分解匡)I _- r_ f利用公式法分解因 式解元二次方郴本节课通过学生自学探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式是一元二次方程中应用 较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度.牢牢把握用因式 分解法解一元二次方程的一般步骤，通过练习加深学生用因式分解法解一元二次方程的方法将方程的右边化为0;将33 / 10017. 3 一元二次方程根的判别式1理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一 元二次方程根的情况；（重点、难点）2通过一元二次方

48、程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数 学思想，提高观察、分析、归纳的能力.、情境导入1你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗?2能力展示：分组比赛解方程.（1）x2+4=4x;（2）x2+2x=3；（3） x2- x+2=0.3发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？二、合作探究探究点：一元二次方程根的判别式【类型一】 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2+x1=O.Tb24ac=14x1x(1)=50,二该方程有两个不相等的实数根

49、故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0（a丰0）.当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b24acv0时，方程无实数根.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范x2+x=1,下列判断正确的是（已知一元二次方程34 / 100围是（）Ak1 Bk1且kz0C.k1 D.k0,同时要求二次项(2)24 k (1)0,

50、系数不为0,艮卩解得k1且kM0故选B.kp易错提醒：利用b24ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合i_B已知a,b,c分别是ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2+(b2+c2a2)x+c2=0没有实数根.解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式厶c,a+cb,b+ca.证明：/b为三角形一边的长，bM0,. b2M0,. b2x2+(b2+c2a2)x+c2=0是关于x的一元二次方程.=(b2+c2a2)24b2c2=(b2+c2

51、a2+2bc)(b2+c2a22bc)=(b+c)2a2( bc)2a2=(b+c+a)(b+ca)(bc+a)(bca)=(a+b+c)(b+c)a( a+b)c b(a+c).Ta,b,c是三角形三条边的长，a0,b0,c0，且a+b+c0,a+bc,b+ca,a+cb.(b+c)a0,(a+b)c0,b(a+c)0, (a+b+c)( b+c)a(a+b)c b(a+c)0，即0,解得m*.Tm为非负整数，m=0.而当m=0时，原方程m2x2(2m1)x+1=0是一元一次方程，只有一个实数根，与假 设矛盾.不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒：在求出m=0后，常常

52、会草率地认为m=0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面.35 / 100变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第10题36 / 100崩養与合-7L.次方程mw判別式根抵一爲二Mt方讯机的悄 况晞足了“餐晴仇卫阖本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范 围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调17.4 一元二次方程的根与系数的关系i掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2会利用根与系数的关系解决有关的问题.(难点)一、情境导入解下列方程，将得到的解填入下面的表

53、格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？x22x=0;(2) x2+3x4=0;(3) x25x+6=0.方程X1X2X1+X2X1X2x22x=0 x2+3x4=0 x25x+6=0、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得.解：这里a=3,b=6,c=1. =b24ac=624X3X(1)=36+12=480,方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是X1,X2,三、板书设计311利用根与系数的关系，求方程3x2+6x1=0的两根之和、两根之积.37 / 100那么X1+X2= X11X2=3.38 / 100方法总结：如果

54、方程ax2+bx+c=0(a0), =b24ac0，有两个实数根X1,X2,那/bc么X1+X2=,X1X2=.aa变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值I R设xi，X2是方程2X2+4x3=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系， 求下列各式的值：X7 xi(1)(X1+2)(X2+2);(2)X1+X2.解析：先确定a,b,c的值，再求出xi+X2与xix2的值，最后将所求式子做适当变形,把X1+X2与X1X2的值整体代入求解即可.3解：根据根与系数的关系，得Xi+X2=2,X1X2=-.

55、33(1)(X1+2)(X2+2)=X1X2+2(X1+X2)+4= 2+2X(2)+4=-；X2X1X2+x2(X1+X2)22X1X2X2+X2=右=矿方法总结：先确定a,b,c的值，再求出X1+X2与X1X2的值，最后将所求式子做适当的变形，把X1+X2与X1X2的值整体带入求解即可.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根解析：由方程5x2+kx6=0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值.解：设方程的另一个根是X1,则2X1= 6,-X1= |.又X1+2= 5，ax2

56、+bx+c=0(a0,b24ac0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积； 当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根3(2)22X(-)32已知方程5x2+kx6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值.3 c k3+2=5,方法总结：对于一元二次方程39 / 100之和.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用1 1且满足一 +=-1,求m的值.a p一1 1解析：利用韦达定理表示出a+ Pa p再由- + =1建立方程，求m的值.aP解：/a p是方程的两个不相等的实数根，a+ P=(2m+3),aP=m2.1a+

57、p (2m+3)”= =2= 1,a PaP化简整理，得m2-2m3=0.解得m=3或m=1.当m=1时，方程为x2+x+1=0, 此时=124v0，方程无解，- m= 1应舍去.当m=3时，方程为x2+9x+9=0, 此时=924X90, 方程有两个不相等的实数根.综上所述，m=3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算， 字母m的取值必须使判别式大于0,这一点很容易被忽略.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明.通过观察、实 践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，

58、养成独立思考的习惯，培养学生观察、 分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.通过交流 互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.31已知a B是关于X的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,又-m2利 用 枳叮 系 数的 关琵求 方 程的根判別式妊根与系数 关爲的综合应用40 / 10017. 5 一元二次方程的应用i.会列一元二次方程解实际问题；（重点、难点）2进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力, 培养学生应用数学的意识.一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出50

59、0张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡 的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元？、合作探究探究点一： 一兀二次方程的应用【类型一】增长（降低）率问题某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理 后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3,4月份销售额的月平均 增长率.解：设3,4月份销售额的月平均增长率为X.根据题意，得60（1-10%）（1+x）2=121.5，则（1+x）2=2.25,解得X1=0.5,X2=-2.5

60、（不合题意，舍去）.答：3,4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长（降低）率问变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】 商品销售问题价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少? 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得(50+x-40)(500-10 x)=8000，即x2-40 x+300=0.解得 冷=10,X2=30.经检验，X1=10,X2=30都是原方程的解.题的关键是明确基础量和变化后的量如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率（或降低率）为x，则两年后的值为a（12由此列a（1X）2=b，求出所

61、需要的量.某超市将进价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨41 / 100当x=10时，售价为10+50=60（元），销售量为50010X10=400（件）; 当x=30时，售价为30+50=80（元），销售量为50010X30=200（件）. 要尽量减少库存，.取x=10,此时售价应为60元.答：售价应为60元.易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽 量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型三】 几何问题 要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化设计方案如图所 示，矩形P,Q

62、为两块绿地，其余为硬化路面，P,Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的丄，求P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽.4H H fB- C解：设P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米.1根据题意，得（603x） （402x）=60X40X4,解得x= 10,x2=30.检验：如果硬化路面宽为30米，则2X30=6040,不符合题意，所以x?=30舍去, 故x=10.答：P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米.易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义在求出方程的解为 时，如果不

63、进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有 长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x=30不符合题意.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：可化为一元二次方程的分式方程为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出“超额高费措施”，即每户每月定额用水不 超过12m3,超过12m3的部分，另加收每立方米2元的高额排污费.（1）某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m3,这使得260m3的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？如果该户居民响应节水号召后，在一年中实

64、际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的 费多少元？40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水解析：（1）本题的等量关系有两个：计划月平均用水量+3= 原 月 平 均 用 水 量 ； 计 划 用 水10或30荒地ABCD是一块42 / 100时间一原用水时间=6;（2）该户一年需交水费=超计划用水费用+计划用水费用.3x130=0,解得xi=10, X2=13.经检验，xi,X2都是原方程的根，但x=13不合实际， 舍去，取x=10.答：这户居民计划平均每月用水10m3;（2）该户居民有四个月的月平均用水量为10（1+40%）=14（m3）,需交水费14X2.1

65、+（1412）X2X4=133.6（元），其余八个月需交水费10X2.1X8=168（元）.二该户居民一年需交 水费为133.6+168=301.6（元）.答：该户居民一年需交水费301.6元.方法总结：列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步， 一是检验所得未知数的值 是不是原方程的根，二是检验所得未知数的值是否使实际问题有意义.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第10题三、板书设计经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对 其进行描述.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学 习数学的兴趣第 1 课时勾股定理1经

66、历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；（重点）2掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.（重点）、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若解：（1）这户居民计划平均每月用水xm3由题意，得260 xXZ3=6去分母，化简得12543 / 100干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形.求证：a2+b2=c2.不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a+b,.它们的面积相等左边的正方形一1 11面积可表示为a2+b2+abx4,右边的正方形面积可表示为c2+abx4.va2+b2+2abx41=c2+abx4,.a2+b2=c2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第11题探究点二：勾股定理【类型一