导数高考汇编

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1、2009 年导数高考题、选择题1. (2009 年广东卷文)函数f (x) (x 3)ex的单调递增区间是A.(,2)B.(0,3)C.(1,4) D.(2,)【答案】D【解析】f (x) (x 3) ex(x 3) ex(x 2)ex，令f (x) 0,解得 x 2,故选 D2. (2009 全国卷 I 理) 已知直线 y=x+1 与曲线y In(x a)相切，则 a 的值为(B )(A)1(B)2(C) -1(D)-21解:设切点P(x,y)，则yx01,yln(xa)，又Q y |xx01xaa 1 y0,x1 a 2.故答案选 B3. (2009 安徽卷理)设av b,函数y (x a

2、)2(x b)的图像可能是2a b解析:y/(Xa)(3x 2a b)，由y/ 0得x a,x丁当x a时，y取极大值0,当x时 y 取极小值且极小值为负。故选 Co或当 x b 时y 0，当 x b 时，y 0选 C4(2009 安徽卷理)已知函数f(x)在 R 上满足f (x) 2f (2 x) x28x 8，则曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程是(A)y 2x1(B) y x(C)y 3x 2(D)y 2x 3解析:由f(x) 2f (2x) x28x 8得f(2x) 2f(x) (2 x)28(2 x)8,即2 f (x) f (2 x) x24x 4 , f (x) x

3、2f/(x) 2x,二切线方程为y 12(x 1)，即2x y 10选 A5. (2009 安徽卷文)设“.，函数- 的图像可能是【解析】可得x a, x b 为 y (x a)2(x b) 0的两个零解.当x a时，则x b f (x)0当 a x b 时则f(x) 0,当 x b 时，则f (x)0.选 C【答案】C156.(2009 江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y x3和y ax2x 9都相切，则a等4于答案：A【解析】设过(1,0)的直线与y x3相切于点(x0,x。3)，所以切线方程为y x。3233211 或彳C.7或-643x。2(x x)(A)y 2x1(B) y

4、 x(C)y 3x 2(D)y 2x 3即y 3x0 x 2x0，又(1,0)在切线上，则x0或冷 ，151525当x00时，由y 0与y ax2x 9相切可得a464C.成反比，比例系数为 CD.成反比，比例系数为 2C当 x03时，由 y27X27与 y ax215x 9 相切可得 a 1，所以选 A.24447. ( 2009 江西卷理)设函数f(x) g(x) x2，曲线y g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y 2x 1，则曲线y f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为11A. 4 B.C. 2D.-42答案：Ag (x) 2x,所以f (1) g (1) 2 14故选 A8.

5、(2009 天津卷文)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f (x).且 2f(x)+xf (x)x2,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是Af(x) 0Bf(x) 0Cf (x) xDf (x) x【答案】A【解析】由已知，首先令 x 0，排除 B, D。然后结合已知条件排除 C,得到 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考 查了分析问题和解决问题的能力。表面积的增长速度与球半径【解析】由已知g (1) 2，而f (x)9.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 R t。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的C.成反比，比例系数为 CD.成

6、反比，比例系数为 2CA.成正比，比例系数为 CB.成正比，比例系数为 2C【答案】DC24 R(t)，而球的表面积为S(t) 4 R2(t),R(t)R (t)所以 v 表二 S(t) 4 R2(t) 8 R(t)R(t),2c2c即”8R(t)R(t)=2 4 R(t)R(t尸RR(t)=丽，故选D10. (2009 全国卷 U 理)曲线y 在点 1,1 处的切线方程为2x 113. （2009 天津卷理）设函数f（x） -x【解析】由题意可知球的体积为4 4 ) )1L1L/V/VV VR3(t)，贝U c V (t)4 R2(t)R(t)，由此可得A.x y 20B.x y 20C.x

7、 4y 50D.x 4y 50解：y |x 12x 1 2x2(2x 1)|x 1Ex11,故切线方程为y 1 (x 1),即x y 20故选 B.11.(2009 湖南卷文)若函数y f(x)的导函数在区间a,b上是增函数,则函数y f (x)在区间a,b上的图象可能是【A】C.解：因为函数y f（x）的导函数y f （x）在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率 k 是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中y k为常数噢.在点(1，1 )处的切线方程为y 1,12 3 n 1XlX2L.23 4 n1) (n 1)(Xn1)，不妨设y 0,Xn1-,故选 B.n 11A 在区间

8、（-,1）,（1,e）内均有零点。e1B 在区间（一,1）,（1,e）内均无零点。e1C 在区间（-,1 ）内有零点，在区间（1,e）内无零点。e1D 在区间（-,1）内无零点，在区间（1,e）内有零点。e【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。11x3ln x(x 0),则y f(x)12. （2009 陕西卷文）设曲线(n N*)在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为Xn，则XX2L Xn的值为答案:B（B）匕(D) 1解析：对yn 1*.x (n N )求导得 y(n 1)xn，令 x1 得在点（1, 1）处的切线的斜率 k n 1,解析：由题得f(x)-；，令f(x)0得x

9、3 * 4；令f(x)0得0 X 3；344f(x) 0得 x 3 ,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)为增函数，在点1e11x 3处有极小值1 ln3 0；又f(1)亍，f e31，f(e)矗10,故选择 D。14.(2009重庆卷文)把函数f(x) x33x的图像G向右平移u个单位长度， 再向下平移v个 单位长度后得到图像C2.若对任意的 u 0,曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小 值为()A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B解析根据题意曲线 C 的解析式为y (x u)33(x u) v,则方程(x u)33(x u) v x33x,即3ux2

10、(u33u v) 0,即v u33u对任意 u 0 恒4成立，于是vu33u的最大值，令g(u) - u33u(u 0),则44323g(u) u 3 (u 2)(u 2)由此知函数g(u)在(0, 2)上为增函数，在(2,)44上为减函数，所以当 u 2 时，函数g(u)取最大值，即为 4,于是 v 4。、填空题215. (2009 辽宁卷文)若函数f(x) -a在 x 1 处取极值，则a x 122x(x 1) (x (x 1)23af (1)= 0 ? a= 3【答案】3【解析】f (x)二a)16 若曲线 f xax2Inx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数a的取值范围是_ .解析 解

11、析：由题意该函数的定义域 x 0，由f x 2ax-。因为存在垂直于 y 轴的切x1线，故此时斜率为 0，问题转化为 x 0 范围内导函数f x 2ax-存在零点。x1解法 1 (图像法)再将之转化为 g x 2ax 与h x-存在交点。当 a 0 不符合题意，x当 a 0 时，如图 1,数形结合可得显然没有交点，当 a 0 如图 2,此时正好有一个交点，故有 a 0 应填 ,0或是 a|a 0。解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程2ax丄0在 0,内有解，显然可得xa土，02x17. (2009 江苏卷)函数f(x) x315x233x 6的单调减区间为_.【解析】考查利用导数判断函数

12、的单调性。f (x) 3x230 x 33 3(x 11)(x 1)，由(x 11)(x1)0得单调减区间为(1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。18. (2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线C : y x310 x 3上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为_ .【解析】考查导数的几何意义和计算能力。y 3x210 2 x 2，又点 P 在第二象限内，x 2 点 P 的坐标为(-2, 15)19. （2009 福建卷理）若曲线f（x） ax3Inx存在垂直于 y 轴的切线，则实数a取值范围是【答案】:（,0）1解析：

13、由题意可知f（x） 2ax2-，又因为存在垂直于 y 轴的切线，x211所以 2ax 0 a3（x 0） a （,0）。x2x20. （2009 陕西卷理）设曲线y xn 1（n N*）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为Xn,令anlg Xn，贝 U 印a2L a99的值为_ .答案：-221. （2009 宁夏海南卷文）曲线y xex2x 1在点（0,1）处的切线方程为 _。【答案】y 3x 1【解析】y exxex2，斜率 k =e0 2= 3，所以，y1 = 3x，即y 3x 1解答题29. （2009 山东卷理）（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km,

14、现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧宀上选择一点 C 建造 垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对 城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.(1)将 y 表示成 x 的函数;(11)讨论(1)中函数的单调性，

15、并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂所以函数为单调减函数，当4-、6 x 20时，18x58(400 x2)2，即y 0所以函数为单调增函数.所以当x 4、荷时，即当 C 点到城 A 的距离为4.10时，函数49y 二一(0 x 20)有最小值.x2400 x2解法二：(1)同上.59则 m n 400, y 一所以 m n对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离若不存在，说明理由解法一：(1)如图，由题意知 AC 丄 BC,BC2400 x2,y其中当x 10 .2时，y=0.065 所以 k=94g所以 y 表示成 x 的函数为y飞一(0 x 20)x

16、400 x18x48(40049x2400 x28x9 ( 2x)(400 x2)2x2)2，所以x2160,即x 4.10，当0 x4 2 218x8(400 x )x3(400 x2)28(400令y 0得x2)2,即卩y 0(2)设 m2x ,n400 x2,2x4949 m n 1y4 9(m n)m莎134n 9m 1订J云(1314n12)16当且仅当m减函数.为增函数.n 240时取”m 160F面证明函数y9400在 （0,160 上为减函数,在 （160,400 上为增函数.m设 0mim2160,则y2m-400 m-4(m29400 m2)(m2m)(m2m)4(40 讪

17、400 m2)9mim2口和2(400)(400 m2)口和2(400 iri )(400 m2)因为 0m 产 m24 X 240X 2409 nm29X 160X 160 所以4(400讪400叫)9叭。,m1m2(400 m1)(400 m2)所以（mtmJ4(400 m,)(400 m2) 9m,m2m m2(400 mb)(400 m2)0即y1y函数y 49在(0,160)上为m 400 my1y249m1400叶在（160,400）上为增函数，设400 m160m1m2400,则(兰m2400m2(m2mJ4(4000)(400 m2) 9m1m2m1m2(400 m1)(400

18、 m2)因为 1600m1m2400 所以 4(400 m,)(400m2)9 X 160X 160所以4(400叶)(400 m2) 9口口2m1m2(400 m, )(400 m2)0,所以（m2mJ4(400 m, )(400 m2) 9m,m2mim2(400 m1)(400 m2)490即y1y2函数y在(160,400 上m 400 m所以当 m=160 即x 4 10时取”=”函数 y 有最小值,所以弧-上存在一点，当x 4.10时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小【命题立意】：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换

19、元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.30. (2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)1已知函数f(x)ax3bx2x 3,其中 a 03(1)当a,b满足什么条件时，f (x)取得极值？(2)已知 a 0,且f (x)在区间(0,1上单调递增试用a表示出 b 的取值范围.解：(1)由已知得f (x) ax22bx 1,令f(x) 0,得ax22bx 1 0,f (x)要取得极值，方程ax22bx 10必须有解，所以4b24a 0,即b2a, 此时方程ax22bx 1 0的根为2b /4b4ab Vb2a2b 74b24a b4ba为，X2,2aa2aa所以f (x) a(x xj(x

20、 x2)当 a 0 时,11令g (x)0得x一或x(舍去),x(4 ,X1)X1(X1,X2)X2(X2,+ % )f (x)+0一0+f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以f(X)在 x1, X2处分别取得极大值和极小值当 a 0 时,X(4 ,X2)X2(X2,X1)X1(X1,+ X )f (X)一0+0一f (X)减函数极小值增函数极大值减函数所以f(X)在 X1, X2处分别取得极大值和极小值综上，当a, b满足b2a时，f (x)取得极值.(2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增，需使f (x)ax22bx 10在(0,1上恒成立.即bax貴xa 恒成立,所以b(手丄)m

21、ax2x设g(x)于2?g(x)21、 a 丄a(xa)22x22x21单调递增，当 X1 时g(x)最大，最大值为g(1)宁所以b综上，当 a 1 时，b4a;【命题立意】：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数 在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数 研究最值.运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.31. (全国 U,文 21)(本小题满分 12 分)设函数f(x)】x3(1 a)x24ax 24a，其中常数 a13(I )讨论(x)的单调性；(II )若当0 恒成立，求 a 的取值范围。解析：本

22、题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关 键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成当 a 1 时,0丄a1,当x(0,1)时g(x)一a0,g(x)兰丄单调增函数；2 2x(力,1时g(x)o,g(x)于 2 单调减函数，所以当x所以b ,a1 时1a1,此时g(x)0在区间(0,1 恒成立,所以g(x)芍 2 在区间(财上时,g(x)取得最大，最大值为g鳥.立条件得出不等式条件从而求出的范围解： (I)f (x) x22(1 a)x 4a (x 2)( x 2a)由 a 1 知，当 x 2 时，f (x)0,故f(x)在区间

23、(，2)是增函数；当 2 x 2a 时，f (x)0,故f (x)在区间(2,2a)是减函数；当 x 2a 时，f (x)0,故f (x)在区间(2a,)是增函数。综上，当 a 1 时，f (x)在区间(，2)和(2a,)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(II )由(1)知，当 x 0 时，f(x)在 x 2a 或 x 0 处取得最小值。由假设知a 1,4即a(a 3)(a 6)0,解得 1a0,(I)讨论八的单调性；(U)设 a=3，求-亠在区间1，二上值域。期中 e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就

24、根据第一问中所涉及到的单调性来求函数f(x)在 1,e2上的值域。+00+单调递增Z极大单调递减极小单调递增此时f(x)在(0,ap)上单调递增,在(jp今卫)是上单调递【解析】由于 f(x) 1令t丄得y 2t2at 1(t 0) x当a28 0,即0 a 2.2时，f(x) 0恒成立.f (x)在(g ,0)及(0,+ x)上都是增函数.在(叽及(卡卫，)上都是增函数.当 a 3 时，由知f(x)在 1,2 上是减函数.在 2,e2上是增函数.2 22又f (1) 0, f(2)2 3ln2 0 f (e ) e250当a28 0,即a 2. 2时由2t2a .a28亠at 1 0得t或t

25、a ,a288或 x 0 或xa4.a284又由2t2at 0得a匚空t4a a282综上当0 a 2,2时，f (x)在(,0)及(0,)上都是增函数.当a 2 , 2时，f (x)在(a, a8)上是减函数,2 2e2函数f(x)在 1,e2上的值域为2 3ln 2,e2七5e35. (2009 江西卷文)(本小题满分 12 分)设函数f (x) x39x26x a.2(1)对于任意实数x,f (x) m恒成立，求m的最大值;(2)若方程f (x) 0有且仅有一个实根，求a的取值范围.解：f(x) 3x29x 63(x 1)(x 2),因为x (,),f(x) m,即3x29x (6 m)

26、 0恒成立，33所以81 12(6 m) 0,得m-,即m的最大值为 44(2)因为 当 x 1 时,f(x) 0;当 1 x 2 时，f(x) 0;当 x 2 时，f(x) 0; 所以当 x 1 时,f(x)取极大值 f(1)5a;当 x 2 时，f(x)取极小值f(2)2 a;5故当f(2) 0或f (1) 0时，方程f (x) 0仅有一个实根解得 a 2 或a -.236. (2009 江西卷理)(本小题满分 12 分)x设函数f (x) x(1)求函数f (x)的单调区间;(2)若 k 0，求不等式f (x) k(1 x)f(x) 0的解集(1)f(x)$ex-exex,由f(x) 0

27、，得 x 1 .x x x因为当 x 0 时,f (x)0;当 0 x 1 时，f (x)0;当 x 1 时，f (x)0;所以f (x)的单调增区间是:1,);单调减区间是：(,0) ,(0,1.2丄x 1 kx kxx(x 1)( kx 1)x由f (x) k(1 x)f(x)2e2e 0,xx得：(x 1)(kx 1) 0.1故：当 0 k 1 时，解集是：x1 x -；k当 k 1 时，解集是：；当 k 1 时，解集是：x| x 1.k(2009 天津卷文)(本小题满分 12 分)设函数f(x)=x3x2(m21)x, (x R,)其中 m 03(I)当m 1时，曲线yf (x)在点(

28、1, f (1)处的切线斜率(U)求函数的单调区间与极值；(川)已知函数f (x)有三个互不相同的零点0, X1,X2，且X1X2。若对任意的x X1,X2】,f (x) f (1)恒成立，求 m 的取值范围解:37.【答案】(1) 1 (2)f(x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1 m,1 m)内增函数21函数f (x)在 x 1 m 处取得极大值f(1 m)，且f(1 m)= m3m6 7-3321函数f (x)在 x 1 m 处取得极小值f (1 m)，且f (1 m)=m3m2-331【解析】解：当m 1 时，f(x) x3x2, f/(x) x22x,故 f (1) 13

29、所以曲线y f (x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 1.(2)解：f(x) x22x m21，令f(x) 0,得到x 1 m,x 1 m因为m 0,所以 1 m 1 m当 x 变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表:+0-0+极小值极大值f (x)在(,1 m)和(1 m,)内减函数，在(1m,1 m)内增函数。23 21函数f (x)在 x 1 m 处取得极大值f(1 m)，且f (1 m)=m m -3323 21函数f (x)在 x 1 m 处取得极小值f(1 m)，且f(1 m)= m m -3311(3)解：由题设，f(x) x(x2x m21) x(x x1)(x x2)

30、6所以方程1x2xm21=0由两个相异的实根“2，故x1x23，且3314(m21)0，解得 m1(舍)，m1322因为X1X2,所以 2x2X1x23,故 x23 12若X11X2,则 f(1)1(1xj(1 X2)0，而f (X1)0，不合题意若1 X1X2,则对任意的XX1,X2有xx10, xx20,1则f(x) -x(x xj(x X2) 0又f(Xi) 0，所以函数f(x)在x Xi,X2的最小值为310，于是对任意的x xi,X2,f (x) f (1)恒成立的充要条件是f (1) m2- 0 ,解得33.3m一331J3综上，m 的取值范围是(丄,丄)23【考点定位】本小题主要

31、考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。38. (2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分)在 R 上定义运算:p q8p c q b 4bc(b、c 为实常数)。记22c，3f22b，R.令 ff1f2.4如果函数 f 在1处有极什 -,试确定 b、c 的值；8而当，b 0,c 时，g(x)3求曲线 y f 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点；x | 1 x 1的最大值为 M 若 M k 对任意的 b、c 恒成立，试示 k 的最3大值。当 b 1 时，函数 yf (x)得对称轴 x=b 位于区间1,1之外此时M max

32、g( 1),g(1),g(b)由f (1) f ( 1) 4b,有 f (b) f ( 1) (bm1)1 90若1 b 0,则 f(1) f (-1) f (b),g(-1) maxg( 1),g(b)111于是Mmax f ( 1), f (b) 2(f(1)|f(b)-( f (1) |f (b) -(b 1)2若 0 b 1，则f (=1) f (1) f (b)，g(1)maxg( 1),g(b)于是1综上对任意的 b、c都有M29故MK 对任意的 b， c 恒成立的 k 的最大值为1239. ( 2009 四川卷文)(本小题满分 12 分)已知函数f (x) x32bx2cx 2的

33、图象在与x轴交点处的切线方程是y 5x 10(I)求函数f (x)的解析式；1(II) 设函数g(x) f (x) - mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量X的值.【解析】(I)由已知，切点为(2,0)故有f(2)0,即 4b c 3 0又f (x) 3x24bx c,由已知f (2)12 8b c 5得 8b c 70 联立，解得b 1,c 1.所以函数的解析式为f (x) x32x2x 2.4 分1(II )因为g(x) x32x2x 2 mx3人21令 g (x) 3x24x 1 - m 031当函数有极值时，则0,方程3x24x 1 -m

34、 0有实数解，3x2在区间1,1上的最大值 M由4(1 m) 0,得 m 1.221当 m 1 时，g (x)0有实数x ,在 x 左右两侧均有g (x)0,故函数g(x)无极值332当 m 1 时，g (x) 0有两个实数根x11(2、1 m), x21(21 m), g (x), g(x)情况如33下表：+0-0+/极大值极小值/所以在m (,1)时，函数g(x)有极值;4_1-当 x 丄(2.,1m)时，g(x)有极大值；当 x -(2.1m)时，g(x)有极小值;33.12 分40. (2009 全国卷 U理)(本小题满分 12 分)设函数 f x x aln 1 x 有两个极值点x2

35、，且x1x2(I)求a的取值范围，并讨论 f x 的单调性；(II)证明:x21 2I n22x22x22x1 xa(x1)令g(x) 2x22x a，其对称轴为x1-。由题意知为、x2是方程g(x) 0的两个均大2于 1 的不相等的实根，其充要条件为4 8a 0g( 1) a 0当x ( 1,xJ时,x 0, f (x)在(1,xJ内为增函数；当x(X1,X2)时，f x0, f (x)在(X1,X2)内为减函数;当x(X2,)时，f x1(II )由(I)g(0) a 0,-2设 h xx2(2x22x)ln 10, f(x)在(X2,)内为增函数;2X20，a(2 X2+2x2)1x(x

36、 -)，则 h x 2x 2(2x 1)n 1 x 2x 2(2x 1)ln 1 x11当 x ( -,0)时，h x 0, h(x)在丄,0)单调递增；22当x (0,)时，h x 0 ,h(x)在(0,)单调递减。1 2In 2故f x2h(x2)441. (2009 湖南卷文)(本小题满分 13 分)已知函数f (x) x3bx2cx的导函数的图象关于直线 x=2 对称.(I) 求 b 的值；(U)若f (x)在 x t 处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。解：(I)f (x) 3x22bx c.因为函数f (x)的图象关于直线 x=2 对称，所以2，于是 b

37、6.6(U)由(I)知，f(x) x36x2cx，f (x) 3x212x c 3(x 2)2c 12.(i)当 c 12 时，f (x) 0，此时f (x)无极值。(ii)当 c12 时，f (x) 0有两个互异实根 捲必.不妨设x1vx2，则x1v2vx2.当 xvX1时，f (x) 0，f (x)在区间(，X1)内为增函数；当X1vxvX2时，f (x) 0，f (x)在区间(X1,X2)内为减函数；当X X2时，f (X) 0，f (X)在区间(X2,)内为增函数.所以f(x)在x x1处取极大值，在x x处取极小值.因此，当且仅当 c 12 时，函数f(x)在x x2处存在唯一极小值

38、，所以t x22.于是g(t)的定义域为(2,)由f (t) 3t212t c 0得c 3t212t.于是g(t) f (t) t36t2ct2t36t2,t (2,).当 t 2 时，g (t) 6t212t 6t(2 t) 0,所以函数g(t)在区间(2,)内是减函数，故g(t)的值域为(,8).42. ( 2009 福建卷理)(本小题满分 14 分)1已知函数f(x)x3ax2bx,且f( 1) 03(1)试用含a的代数式表示 b,并求f (x)的单调区间；(2)令 a 1 设函数f(x)在为必(捲X2)处取得极值，记点 M(X1,f(xj)，N(x2,f(x2)，P(m, f (m),

39、洛m x?,请仔细观察曲线f (x)在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：(I)若对任意的 m(X1, X2),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结论；(II)若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时，1 2a 1当 x 变化时，f(x)与f (x)的变化情况如下表：x+一+单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(,1 2a)和(1,)，单调减区间为(1 2a, 1)。2当 a 1 时，1 2a1 此时有f(x) 0恒成立，且仅在 x 1 处f(x) 0，故函数f (x)的单调增区间为 R3

40、当 a 1 时，1 2a1 同理可得，函数f (x)的单调增区间为(，1)和(1 2a,)，单调减区间为(1,1 2a)综上：当 a 1 时，函数f(x)的单调增区间为(,1 2a)和(1,)，单调减区间为(1 2a, 1)；3x3直线 MP 的方程为y2(m4m 5xm24m3令g(x)f(x)2(m4m 5m24m3当 a 1 时，函数f(x)的单调增区间为 R;当 a 1 时，函数f (x)的单调增区间为(，1)和(1 2a,)，单调减区间为(1,1 2a).A(H )由 a 1 得f(x) - x3x23x令f(x) x22x 3 0得论1,x233由(1)得f (x)增区间为(，1)

41、和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数f(x)在处5x,1,X23取得极值，故 M ( 1-)N(3, 9)。3观察f (x)的图象，有如下现象：当 m 从-1 (不含-1)变化到 3 时， 线段 MP 的斜率与曲线f(x)在点 P 处切线的斜率f(x)之差 Kmp-f (m)的值由正连续变为负线段 MP 与曲线是否有异于 H，P 的公共点与 Kmpf (m)的 m 正负有着密切的关联;3Kmp f (m)=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmpf (m)的 m 就是所求的 t 最小值，下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线f (x)在点P(m,f(m)处的切线斜率2f (m)

42、 m 2m 3;当 Kmp f (m)=0 时，解得 m 1 或 m 2线段 MP 的斜率 Kmpm24m 533当 m 2 时，g(x) x22x在(1,2)上只有一个零点 x 0 ,可判断f (x)函数在(1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又g( 1)g(2)0,所以g(x)在(MP 与曲线f(x)没有异于 M，P 的公共点。所以存在 m 0,2 使得g( )0即当 m 2,3 时,MP 与曲线f (x)有异于 M,P 的公共点综上，t 的最小值为 2.解法二:(1)同解法5得极值。故 M( 1,).N(3, 9)m24m 5x1,2)上没有零点，即线段当 m 2,3 时，g(0

43、)m彳加0.g(2) (m 2)20(2)类似(1)于中的观察，可得m 的取值范围为 1,3由a 1得f(x)3x323x，令f (x) x 2x 3 0，得洛1,X23由(1)得的f(x)单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为(1,3)，所以函数在处取(I )直线 MP 的方程为ym24m 5xm24m3m24m333132_一x x 3x3得x33x2(m24m 4)x m24m 0线段 MP 与曲线f(x)有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m 上有根,即函数g(x) x33x2(m24m 4)x m24m在(-1,m)上有零点.因为函数g(x)为三次函数所以g(x)至多

44、有三个零点，两个极值点.又g( 1) g(m) 0因此,g(x)在(1,m)上有零点等价于g(x)在(1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点，即g(x) 3x26x (m24m 4) 0在(1,m)内有两不相等的实数根.=36 12( m24m 4)02 2等价于3( 1)6 (m4m 4) 0即3m26m (m24m 4) 0m 1又因为1 m 3,所以 m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.43. (2009 辽宁卷文)(本小题满分 12 分)设f (x) ex(ax2x 1)，且曲线 y= f (x)在 x= 1 处的切线与 x 轴平行(I)求 a 的值，并

45、讨论 f (x)的单调性；(II)证明：当0,时，f(cos ) f(sin ) 22解：(I)f(x) ex(ax2x 1 2ax 1).有条件知，1 m 5m 2或m1,解得2 m 5m 1f (1) 0,故 a 3 2a 0 a 1.于是f(x) ex( x2x 2)ex(x 2)(x 1).故当x (, 2)(1,)时，f (x)V 0;当x ( 2,1)时，f(x)0.从而f (x)在(，2),(1,)单调减少，在(2,1)单调增加.6 分(U)由(I)知f (x)在0,1单调增加，故f (x)在0,1的最大值为f(1) e, 最小值为f (0) 1.从而对任意洛，x20,1，有 f

46、(xj f (x2)e 1 2.10 分而当0,?时，cos ,sin 0,1.从而f (cos ) f (sin )2.12 分44. (2009 辽宁卷理)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x2 ax+(a 1)ln x， a 1。2(1) 讨论函数f (x)的单调性；(2)证明：若 a 5，则对任意 X1，X2(0,)，X1X2，有丄一1。x-ix2解：(1)f(x)的定义域为(0,)。2、a 1 x ax a 1 (x 1)(x 1 a)zf (x) x a2 分(i)若 a 11 即 a 2,则故f(x)在(0,)单调增加(ii)若 a 1 1,而 a 1,故 1 a 2

47、,则当x (a 1,1)时，f(x)0;当x (0,a 1)及x (1,)时，f(x)0故f (x)在(a 1,1)单调减少，在(0,a 1),(1,)单调增加。(iii) 若 a 1 1,即 a 2,同理可得f (x)在(1,a 1)单调减少，在(0,1),(a 1,)单调增加.(II)考虑函数g(x) f (x) x则g (x) x (a 1)2 xga 1(a 1) 1(，廿1)2x V x由于 1a1,证明对任意的 e,都有 M2:(川)若 M = K 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力

48、和份额类讨论的思想(满分 14 分)(I)解：Qf(x)x22bx c，由f(x)在 x 1 处有极值 -3f (1)1 2b c 0A*解得C 1,或c若b 1,c1，贝U f (x)x22x 1若b 1,c3，贝U f (x) x22x 3当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表:10+0极小值 12极大值34当 x 1 时，f (x)有极大值 一，故 b 1，c 3 即为所求。3(U)证法 1:g(x) | f (x)| | (x b) b c|当|b| 1时，函数y f(x)的对称轴 x b 位于区间1.1之外。可得 f(1)3 b c be(x 1)20,此时f(x)没有极值

49、;(x 1)(x 1)f (x)在1,1上的最值在两端点处取得 故 M 应是g( 1)和g中较大的一个2M gg( 1) | 1 2b c| | 1 2b c| |4b| 4,即 M 2证法 2 (反证法)：因为|b| 1，所以函数y f(x)的对称轴 x b 位于区间1,1之外,f(x)在1,1上的最值在两端点处取得。故 M 应是g( 1)和g(1)中较大的一个假设 M 2，则将上述两式相加得：4| 1 2b c| | 1 2b c| 4|b| 4，导致矛盾，M 2(E)解法 1：g(x) | f (x)| | (x b)2b2c|(1) 当|b| 1时，由(U)可知 M 2 ;(2)当|b

50、| 1时，函数y f(x)的对称轴 x b 位于区间1,1内，此时 Mmax g(1),g(1),g(b)由f(1)f( 1)4b,有f(b)f( 1)b(m1)201若1b 0,则 f(1) f( 1)f(b),g( 1) maxg(1),g(b)，1 1 121于是Mmax |f(1),|f(b)|-(| f(1)|f(b)|)-|f(1)f (b)|匚(b 1)匚2222若 0 b 1，则f( 1)f(1) f (b),g(1) max g( 1),g(b)于是M max | f( 1)|,| f(b)|!(| f( 1)| | f(b) |) | f( 1)f(b)|：(b 1)22

51、2 2 2综上，对任意的 b、c都有M132111而当 b 0,c时，g(x)x23在区间1,1上的最大值M -1故 M k 对任意的 b、c恒成立的 k 的最大值为-。2解法 2：g(x) |f(x)| | (x b)2b2c|(1) 当|b| 1时，由(U)可知 M 2 ;(2)当|b| 1时，函数y f (x)的对称轴 x b 位于区间1,1 内，此时 M max g( 1),g(1),g(b)221| 1 2b c ( 1 2b c) 2(b c) | 12b 2| 2，即M -下同解法 150. (2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分)已知函数f (x) x33ax29a2

52、x a3.(1)设 a 1，求函数 f x 的极值；1若a ,且当 x 1,4a 时，f(x)12a 恒成立，试确定a的取值范围.4解：(I)当 a=1 时，对函数f(x)求导数，得13141 4所以a (-,1I -,1I 0,-,即 a (-,-.令f (x) 0,解得捲1,x23.列表讨论f (x), f(x)的变化情况:(-1, 3)3+00+极大值 6极小值-26所以，f(x)的极大值是f( 1) 6，极小值是f(3)26.(n)f (x) 3x1 14 15 166ax 9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称.1若-a 1,则 f (x)在1,4a上是增函数，从而4f

53、(x)在1,4a上的最小值是f(1) 3 6a 9a2,最大值是f(4a)15a2.由|f(x)| 12a,得 12a 3x26ax 9a212a,于是有14由 f(1)12a 得a 1 由 f(4a) 12a 得 0 a .354354 5若 a1 则|f(a)| 12a212a.故当 x 1,4a时 | f(x)| 12a不恒成立.1 4所以使| f (x)| 12a(x 1,4a)恒成立的 a 的取值范围是(,.16 551. （2009 湖南卷理）（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用

54、为256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2. x）x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元。（I）试写出 y 关于x的函数关系式;（U）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小?解（I）设需要新建n个桥墩，（n1)x m,即 n=m1x所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+.x)x=256(mx1)+m(2. x)xx()由（I） 知，f(x)3256m122mx2x23-(x2512).2x3令f(x) 0，得x2512，所以x=64当 0 x64 时f（x）0.f（x）在区间（64，640）内为增函数,

55、 所以f （x）在x=64 处取得最小值，此时，n 11 9.x 64故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。52. （2009 天津卷理）（本小题满分 12 分）已知函数f(x)(X2ax 2a23a)ex(x R),其中 a R(1)当 a 0 时，求曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线的斜率；(2)当a2时，求函数f(x)的单调区间与极值。3本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12 分。(I)解：当 a 0 时，f(x) x2ex，f(x) (x22x)ex，故 f(1) 3e.(II)解：f (

56、x) x2(a 2)x 2a24a ex.以下分两种情况讨论。2(1)若 a2,贝 U 2a v a 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：3+00+/极大值极小值/2(2)若 a v ,贝U2a a 2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表:3+00+/极大值极小值/53. (2009 四川卷理)(本小题满分 12 分) 已知a 0,且 a 1函数f(x) loga(1 ax)。(I) 求函数f (x)的定义域，并判断f (x)的单调性；f (n)(II)若n N ,求lim ;na a(III )当a e(e为自然对数的底数)时，设h(x) (1 ef(x)(x2m

57、 1)，若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解：(I)由题意知1 ax0当0 a 1 时，f(x)的定义域是(0,);当 a 1 时，f (x)的定义域是(，0)当0 a 1 时，x (0,)因为 ax1 0,ax0,故 f (x)0,因为 n 是正整数，故 0a1.f(n)1n所以nimh Ux 2x 2(山)hi(x) e (x m 1)(x0),所以 h (x) e (x 2x m 1)令h (x) 0,即 x22x m 1 0,由题意应有0,即 m 01当 m=0 时，

58、h (x) 0有实根 x 1，在 x 1 点左右两侧均有h (x) 0故无极值2当 0 m 1 时，h (x) 0有两个实根1 m,x21 . m当 x 变化时，h (x)、h(x)的变化情况如下表所示：+0-0+/极大值极小值/h(x)的极大值为 2e1 m(1 5)，h(x)的极小值为 2e1 m(1 m)当 m 1 时，h (x) 0在定义域内有一个实根，x 1 1 时，g (x)0 在 R 上恒成立,K=1 时，g (x)在 R 上为增函数(3)4 4k 0,即当 0k 0解得a ,33,所以实数a的取值范围:a，-、3-3,(U)因 x 1 时函数y g(x)取得极值，故有g( 1)0即 3 2a 1 0,解得 a 22人，1又g (x) 3x 4x 1 (3x 1)(x 1)令g (x) 0,得x1,x23当x (, 1)时，g(x)0故g(x)在(，1)上为增函数当x ( 1,-)时，g(x)0故g(x)在(1,一)上为减函数333)时,g(x)0,故g(x)在(-3）上为增函数3