普通物探第2节磁法勘探的正反问题

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1、（华东）2.2 磁异常正、反演 为了对磁异常做出合理的推断解释，必须要清楚异常特征与磁性体的关系，通常借助于数学物理的方法进行研究。 为便于数学手段的应用，需要对复杂的自然条件做适当的简化，以便于正反问题的开展。 一方面，了解简单是认识复杂的基础；另一方面，规则和均匀的概念都是相对的，因条件而变化。（华东）磁异常问题的简化条件 通常所做的简化有： 磁性体形状规则； 磁性（磁化率）均匀； 不考虑剩磁或剩磁与感应磁性方向一致； 地质体的磁化磁场-地磁场是均匀的； 只考虑单个磁性异常体； 观测面水平。（华东）磁异常问题的简化条件 除少数情况外，实际地质条件并不符合上述假设条件，理论上讲，只有二次曲面

2、形体才能被均匀磁化。 由于磁法主要是研究被覆盖的地质体，形态不规则和磁化不均匀所造成的影响很小，这些假设并不失去实际意义。 （华东）主要内容 本节主要介绍计算磁性体磁场的基本公式、几种简单形体的磁异常，以及根据磁异常求取磁性体埋深的简单方法。 主要内容： 2.2.1 计算磁性体磁场的基本公式 2.2.2 简单形体的磁异常正反问题 2.2.3 磁性体埋藏深度的计算（华东）2.2.1 计算磁性体磁场的基本公式 对一个已知地质体，磁异常的计算比重力异常要复杂得多。磁异常不但取决于物体的几何形状和磁化率，而且还与磁化方向密切相关。 目前，计算磁性题磁场的方法有多种，主要是积分公式法和泊松公式法。（华东

3、）1. 计算磁性体磁位的积分公式 一个体积为 v 的磁性体，可将其看作是由无数多个体积为 dv 的元磁矩的元磁体组成。每个元磁体相当于一个磁偶极子，则该磁体的磁位： 这便是计算磁性体磁位的体积分公式。式中，是矢径 r 与磁化强度矢量 M 之间的夹角。vvmdvrMdvrU23cos441rM（华东）计算磁位的体积分公式 据两个矢量间夹角的公式，有： 磁化强度矢量在三个坐标轴上的分量分别为： 再考虑到 计算磁性体磁位的积分公式可写成以下形式：coscos(, )cos( , ) cos(, )cos( , ) cos(, )cos( , )M xr xM yr yM zr zcos(, )xMM

4、M xcos(, )yMMM ycos(, )zMMM z222cos( , )cos( , )cos( , )mxyzvvvr xr yr zUMdvMdvMdvrrr222()()()rxyzcos( , )()/r xxrcos( , )()/r yyrcos( , )()/r zzr（华东）磁异常计算式 根据磁场与磁位的关系： 磁异常的三分量计算式分别为：amgradU T22205552()()()43()()3()() axxvyzxyzHMrxyxzMMdvrr22205553()()2()()()+43()() +ayxyvzxyyxzHMMrryzMdvr05522253()

5、()3()()42()()() axyvzxzyzZMMrrzxyMdvr（华东）计算磁位的面积分公式 正演计算时经常遇到由几个平面围城的形体，如各种板状体等，这种情况下，用磁荷面积分更方便。 根据计算磁性体磁位的基本公式： 再考虑到： 因此有： 314mvUdvrM r)1()1(3rgradrgradrrpQ对计算点求导数对源点求导数11( )4mpvUgraddvr M（华东）计算磁位的面积分公式 又因为： 所以： 代入前式，得到：11()( )QQQdivdivgradrrrMMM11( )()QQQgraddivdivrrrMMM111()44mQQvvUdivdvdivdvrrMM

6、（华东）计算磁位的面积分公式 根据矢量积分中的高斯公式： 其中n为磁性体表面的外法线方向，因此： 这是场论的一个重要结论，它表明磁性体在 P 点的磁位，等于磁荷面密度 的各个表面和磁荷体密度 的磁体所引起的磁位之和。1()QvsdivdvdsrrMM n1111()44mQsvUdsdivdvrrM nM00mnMM n0mQdiv M（华东）计算磁位的面积分公式 当磁性体为均匀磁化时，M为常量，其散度为零，即内部磁荷体密度为零，只在其表面有磁荷分布。 此时，磁性体外部的磁位可以通过其面磁荷积分来计算，即面积分法，公式为：F对于由几个平面围城的磁性体，每个面上的面磁荷密度是常量，因此计算相对简

7、单方便。 14nmSMUdsr（华东）磁异常计算式 根据磁场与磁位的关系，磁场各分量的积分公式分别为： 当形体和磁化强度给定后，可以根据上述面积分计算磁性体的磁场。0023cos( , )()44mnnaxssUMr xMxHdsdsxrr 0023cos( , )()44mnnayssUMr yMyHdsdsyrr 0023cos( , )()44mnnassUMr zMzZdsdszrr （华东）2. 计算磁位的泊松公式 根据物体的重力位公式 得出 从而求出磁性体的磁位： 这就是根据重力位计算磁位的泊松公式。 根据场与位之间的关系，可以求出磁场矢量，进而求出各个分量。vdvrfW1fWdv

8、rv1WfdvrUvmMM41)1(4（华东）磁异常计算式 利用重磁位场的泊松公式，磁场各分量的计算式分别为： 对于沿走向无限延伸的二度体，引力位函数与 y 无关，上式会大为简化。0()4maxxxxyyxzzxUHM VM VM Vxf 0()4mayxyxyyyzyzUHM VM VM Vyf 0()4maxzxyzyzzzUZM VM VM Vzf （华东）2.2.2 简单形体的磁异常正反问题 对从实际地质模型简化出的规则磁性体的磁场进行数学物理的解析，从中找出异常磁场与磁性体之间的关系，作为异常数据解释推断的依据。 主要内容1. 点磁极的磁场2. 球形体的磁场3. 线磁极的磁场4. 面

9、磁极的磁场（华东）1. 点磁极的磁场 一个点磁极是最简单的磁体模型，用于模拟顺轴磁化，向下无限延伸的细长柱体。此时只在柱体顶端显示负磁荷，可用单点磁极的模型模拟。 根据磁库仑定律，该异常体引起的磁异常： 式中 qm 为柱体顶端的磁荷量。 直角坐标系中，磁异常垂直分量为：rrqmarT241 2/3222)(41hyxhqZmaJxyzOhP(x,y,0)Taza单点磁极模型 （华东）单点磁极的磁场 平面异常等值线为一系列同心圆，在中心点取极大值；剖面异常曲线呈现左右对称性质。 在过中心点的主剖面上，异常极大值：max214maqZh单点磁极的磁场 （华东）单点磁极的磁场 主剖面异常半极值点横坐

10、标x1/2与磁极埋深 h 之间存在如下关系式： 这就是解反问题的特征点法。 1/20.766xh 1/21.305hx单点磁极的磁场 （华东）双点磁极的磁场 当顺轴磁化的细长柱体长度有限时，在柱体的两端均显示磁荷聚集，磁量相等，符号相反，这可用双点磁极的模型来模拟。 此时，总的磁场是正、负磁荷磁场的叠加，即：mamaaZZZ双点磁极模型 JxyzOhP(x,y,0)Tazall（华东）双点磁极的磁场 设柱体长度为2l，倾角为，其中点在地面的投影为坐标原点，正、负磁极各自产生的磁场分别是：2/3222)sin()cos()sin(41lhylxlhqZmma2/3222)sin()cos()si

11、n(41lhylxlhqZmmaJxyzOhP(x,y,0)Taza双点磁极模型 ll（华东）双点磁极的磁场 在北半球，正异常在磁性体南侧，异常幅值大，只在有限范围内分布；负异常在磁性体北侧，幅度小，分布范围要大得多。双点磁极的磁场 （华东）双点磁极的磁场 由于磁场垂直分量向下为正，向上为负。 在北半球，正异常在磁性体南侧，异常幅值大，只在有限范围内分布；负异常在磁性体北侧，幅度小，分布范围要大得多。（华东）双点磁极异常剖面图 在-90磁化情况下基本为简单的负异常；在-45情况下北侧负异常明显；在水平磁化时正负异常相当；在45时南侧正异常明显；在90磁化时基本为简单的正异常。不同磁化倾角情况下

12、的双点磁极磁场剖面图 -1000-50005001000-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.290450-45-90（华东）双点磁极异常平面图-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1000-50005001000-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81不同磁化倾角情

13、况下的双点磁极磁场平面图 -90-4504590（华东）2. 球形体的磁场 对于一些尺度大小有限的地质体，当埋深远大于直径时，其地面磁场与球体磁场特征近似。 设球体的磁化强度为M，体积为V，那么，球体的磁矩m=MV，根据球体的重力位 和重磁位场的泊松公式，相应的磁位计算式为： 是磁矩 M 与矢径 r 的夹角。F可见，球体外的磁位与磁偶极子的磁位具有相同的形式。 /WfV r22cos414141rMrWfUmrMM（华东）球形体的磁场 对 z 求偏导数，再令 z=0，得到球体在地面上引起的垂直磁异常： 式中，I 为磁化倾角，为方位角（测线与 x 轴的夹角）。 iyxhhyxMzUZzmasin

14、)2()(42222/522200sincos3coscos3ihyihx（华东）球形体的磁场 当测线通过球心在地面的投影，并且与磁化方向在同一铅垂面时： 当测线通过球心在地面的投影，并且与磁化方向垂直时：cos3sin)2()(4222/5220ihxixhhxMZasin)2()(4222/5220ixhhxMZa南北向剖面异常南北向剖面异常 倾斜磁化球体的磁场 异常平面等值线图异常平面等值线图东西向剖面异常东西向剖面异常 EZa（华东）球形体的磁场 F球体磁场与双点磁极磁场的特征近似。不同磁化倾角的球体磁场倾斜磁化球体的磁场-90-4504590（华东） 当向下无限延伸的薄层受到顺层极化

15、时，层的侧面不显示磁荷，只在顶端显示磁荷，这样的地质问题可用一个线磁极的模型模拟。 假设薄板顶面埋深为 h ，水平宽度为 2bh，走向延伸长度为 2L，磁极化强度 J 方向与板的下倾方向一致，倾角为 i ，取顶面中心点在地面的投影为坐标原点，y 轴与走向一致。3. 线磁极的磁场 单线磁极模型JxyzOhP(x,y,0)Tazai（华东） 空间点 p(x,y,z) 的垂直磁异常为： 式中 表示磁荷线密度。 单线磁极的磁场 LLSadrbhiJdsrhriJZ3212sin41sin412222214() ()()LhxzhxyLzh22222)()()(hzLyxhzxLsin 2Ji bJxy

16、zOhP(x,y,0)Tazai（华东）单线磁极的磁场 当线磁极无限延伸时，垂直磁异常为： 垂直于磁极线的地面主剖面上： 异常剖面曲线和平面等值线与水平圆柱体的重力异常形态特征一致。2212ahZxh剖面异常曲线剖面异常曲线 xZaxy平面异常等值线平面异常等值线 单线磁极的磁场2212()ahZxzh（华东）双线磁极的磁场 当顺层磁化的薄层向下延伸有限宽度 2l 时，在层的顶底面均有磁荷显示，相当于双磁极线，两极分别产生磁场，总的磁场是二者的叠加。 为简单起见，这里只给出走向无限延伸时地面上的垂直磁异常： 式中 h 为双极中心到地面的埋深，i 为倾角。 22221sinsin2(cos )(

17、sin )(cos )(sin )ahlihliZxlihlixlihliJxyzOhP(x,y,0)Tazalli双线磁极模型（华东）双线磁极的磁场 双线磁极的磁场 Za 剖面曲线左右不再对称，埋藏浅的一极异常幅值大，范围小，埋藏深的一极异常幅值小，范围大。 当薄层的倾向延伸宽度 2lh 时，层的宽度可以忽略，此时可用偶极线模型模拟，等价于水平圆柱体模型。 双线磁极的磁异常 （华东）4. 面磁极的磁场 在顺层极化的异常体厚度较大的情况下，可用有限宽度的面磁极模型模拟。 选择坐标系 y 轴与走向一致，原点位于中心线在地面的投影，为简单起见，假设异常体沿走向无限延伸，此时主测线上一点 P(x)

18、的垂直磁异常： 式中 为磁荷面密度， 是岩层顶面对计算点所张开的角 。 iJ sin面磁极的磁场剖面异常 241sin412ddrhriJZbba（华东）半无限面磁极 岩层接触面的情况可用半无限面磁极的模型模拟。 主测线上的垂直磁异常： 无限面磁荷的情况下 )2(arctan241)(241022hxdhxhZa2241aZxzZa24半无限面磁极的磁场剖面异常 （华东）垂直磁化岩层 对于一个厚度有限的垂直磁化岩层，顶、底面都有磁荷分布，总的异常是顶、底面磁荷分别引起的磁场的叠加。 对于半无限水平层： 其中 h1、h2 为岩层的顶、底埋深。 无限水平层的磁异常： 022aZ)arctan(ar

19、ctan24121hxhxZaxzZa半无限面磁极的磁场剖面异常 （华东）2.2.3 磁性体埋藏深度的计算 在利用磁异常资料研究含油气盆地结晶基底的起伏时，一般不能将基底表面看成一个简单的磁性分界面，像重力勘探方法一样求解，因为： 由于结晶基底的磁性通常是极不均匀的，一般不能把其表面看成一个均匀的磁性分界面。 磁异常 Za和T 通常与磁性界面的起伏之间也不存在简单的直接对应关系，而是随具体条件不同呈现复杂的关系；（华东）磁性体埋藏深度的计算 结晶基底大多经历过强烈的褶皱和变质作用，存在大量的岩浆岩，在盖层沉积之前已遭受了长期的风化剥蚀，被夷为准平原，基底内很多孤立的、具有陡立产状的磁性岩体顶面

20、被切平了，直接出露于基底表面，构成了基底表面的一部分，研究这些孤立磁性体顶面的深度便可了解结晶基底表面的深度变化。 求解磁性体埋深不是利用异常值的大小，而是利用其变化形态。具体方法有切线法、特征点法、选择法、积分法等。（华东）特征点法 特征点法是根据磁异常曲线上的某些特征点，如极大值点、极小值点、半极值点、零值点及拐点等，利用其坐标位置及其间的距离来求取地质体位置和产状的方法。 这些特征点的坐标分别用 xmax、 xmin、 x1/2和x1/2、 x0和x0、 xg和xg等来表示。 利用特征点法计算磁性体的埋深，不同形体有不同的公式。切线法图解maxxminx1/2x1/2xgxgx0 x0

21、x（华东）特征点法: 球体 对于球体异常，其宽度不仅与埋深有关，还与有效磁化倾角 is 有关，因此，特征点的坐标和数值随有效磁化倾角 is 而变化。 中心埋深的近似计算式为：1/21/21.25gghxxxxmaxmin(30)shxxi时切线法图解maxxminx1/2x1/2xgxgx0 x0 x（华东）特征点法: 水平圆柱体 水平柱体异常曲线的特征点坐标和数值也随有效磁化倾角 is 而变化。 中心埋深的近似计算式为： 在 Za 曲线接近反对称的情况下，可用极值点间距求埋深：0s(90)hxi时1/21/2gg1.15hxxxxmaxmin0.8hxx切线法图解maxxminx1/2x1/

22、2xgxgx0 x0 x（华东）特征点法: 厚板状体 顺层极化、向下无限延伸的厚板状磁性体的 Za 曲线对称无负值，其上顶埋深的近似计算式为： 斜交极化时：1. 计算 在两极值间的交点与板状体中心对应；2. 计算辅助曲线 ；3. 利用 f(xi) 曲线的x1/2和x1/4特征点计算埋深 h。斜交磁化厚板埋深的求法 221/41/41/21/21/41/44xxxxhxxamaxminZ (0)ZZiaiai1( )Z ( )Z ()2f xxx（华东）经验切线法 经验切线法是通过做异常曲线的切线，根据切线交点横坐标求取磁性体埋深的方法。 在 Za 或T 曲线的极大值点作一条与横轴平行的切线，在

23、两侧的极小值点分别作横轴的平行线（无极小点时作渐近线）； 在曲线两侧的拐点各作一条切线与水平切线相交；切线法图解0 xmxmx0 x（华东）经验切线法 曲线左支或右支拐点的切线与极大点和极小点切线（或渐近线）的两个交点的水平距离就大约等于磁性体顶面埋深的两倍： 实测曲线往往是不对称的，取其两侧的平均值作为磁性体的深度，即：切线法图解012mhxx02mxxh001 112 22mmhxxxx（华东）切线法校正系数 实践表明，切线法仅对顺轴磁化且走向和延伸大的地质体异常体能取得较好的效果。对其他情况则误差较大，需要乘一个校正系数。磁体形状条件校正系数无限延伸薄板-i=90-i=45-i=00.4

24、10.560.65水平圆柱体i=30i=45i=901.031.101.30直立柱体顺轴磁化0.86球 体i=40-90i=30i=1501.301.402.30切线法求磁性体埋深的校正系数（华东）Depth Determination Can get very approximate depth from magnetic anomalies Sphere or half-cylinder: Depth to centre of body w is roughly equal to width of anomaly peak at half its maximum value dFmax/2

25、. Dipping Sheet or Prism: Depth to centre of body is roughly width of linear segment of anomaly d. 半极值宽度法（华东） Draw tangent at point of maximum slope (line 1) Find two tangents to curve with half maximum slope (lines 3, 4) Depth to top of body is distance between tangent pointsPeters Half-Slope Method (theoretically-based) Map of Half-Slope Method（华东）思考题（华东）作业题1. 已知顺轴极化细长柱体长200m，中心点坐标（0,0,300），计算不同倾角情况下的垂直磁异常，绘制南北向主剖面异常曲线及平面等值线图。计算范围x：-10001000，y：-10001000。（单号）（单号）2. 已知均匀磁化球体中心坐标（0,0,300），计算不同磁化倾角（-90、-45、0、45、90）情况下均匀磁化球体的垂直磁异常，绘制南北向主剖面异常曲线及平面等值线图。计算范围x：-10001000，y：-10001000。（双号）（双号）