MATLAB概率统计

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1、MATLAB 6.0数学手册第4章概率统计本章介绍MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于 MatlabR12ToolboxStats 中。4.1 随机数的产生4.1.1 二项分布的随机数据的产生命令参数为N, P的二项随机数据函数 binornd格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。R = binornd(N,P,m)%m指定随机数的个数，与 R同维数。R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示 R的行数和列数例4-1 R=binornd(10,0.5) R =3 R

2、=binornd(10,0.5,1,6) R =6475312318137 R=binornd(10,0.5,1,10) R =6 846 R=binornd(10,0.5,2,3) R =7 588 56 n = 10:10:60; r1 = binornd(n,1./n)r1 =2101 r2 = binornd(n,1./n,1 6) r2 =01214.1.2 正态分布的随机数据的产生命令 参数为科、b的正态分布的随机数据函数 normrnd格式 R = normrnd(MU,SIGMA)%返回均值为 MU ,标准差为SIGMA的正态分布的例4-2n1n1 =随机数据，R可以是向量或矩

3、阵。R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)=normrnd(1:6,1./(1:6)2.16502.31343.0250n2 = normrnd(0,1,1 5) n2 =0.05911.79710.2641n3 = normrnd(1 2 3;4 5 6,0.1,2,3) n3 =4.08790.8717R同维数。%m,n分别表示R的行数和列数4.86076.2827-1.4462%mu为均值矩阵2.96405.9864%mu为10, sigma为0.5的2行3列个正态随机数0.92991.93614.12

4、465.0577 R=normrnd(10,0.5,2,3) R =9.783710.06279.42689.167210.143810.59554.1.3 常见分布的随机数产生常见分布的随机数的使用格式与上面相同表4-1随机数产生函数表函数名调用形式注释Unifrndunifrnd ( A,B,m,n)A,B上均匀分布(连续)随机数Unidrndunidrnd(N,m,n)均匀分布(离散)随机数Exprndexprnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的指数分布随机数Normrndnormrnd(MU,SIGMA,m,n)参数为MU , SIGMA的正态分布随机数chi2rndchi

5、2rnd(N,m,n)自由度为N的卡方分布随机数Trndtrnd(N,m,n)自由度为N的t分布随机数Frndfrnd(N 1, N2,m,n)第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数gamrndgamrnd(A, B,m,n)参数为A, B的二,分布随机数betarndbetarnd(A, B,m,n)参数为A, B的串分布随机数lognrndlognrnd(MU, SIGMA,m,n)参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数nbinrndnbinrnd(R, P,m,n)参数为R, P的负二项式分布随机数ncfrndncfrnd(N 1, N2, delta,m,n)参数为N1

6、, N2, delta的非中心F分布随机数nctrndnctrnd(N, delta,m,n)参数为N, delta的非中心t分布随机数ncx2rndncx2rnd(N, delta,m,n)参数为N, delta的非中心卡方分布随机数raylrndraylrnd(B,m,n)参数为B的瑞利分布随机数weibrndweibrnd(A, B,m,n)参数为A, B的韦伯分布随机数binorndbinornd(N,P,m,n)参数为N, p的二项分布随机数georndgeornd(P,m,n)参数为p的几何分布随机数hygerndhygernd(M,K,N,m,n)参数为M, K, N的超几何分布

7、随机数Poissrndpoissrnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的泊松分布随机数4.1.4 通用函数求各分布的随机数据命令 求指定分布的随机数函数 random格式 y = random(name,A1,A2,A3,m,n)%name的取值见表 4-2; A1 , A2, A3为分例4-3 产生12 (3行4歹U)个均值为布的参数；m, n指定随机数的行和列 2,标准差为0.3的正态分布随机数y =2.35671.98872.0982 y=random(norm,2,0.3,3,4)2.05241.82352.03421.94402.65502.32002.21771.9591

8、2.01784.2随机变量的概率密度计算4.2.1 通用函数计算概率密度函数值命令通用函数计算概率密度函数值函数 pdf格式 Y=pdf(name , K, A)Y=pdf(name , K, A, B)Y=pdf(name , K, A, B, C)说明 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是 不同；name为分布函数名，其取值如表 4-2。表4-2常见分布函数表name的取值函数说明beta或BetaBeta分布bino或Binomial二项分布chi2或Chisquare卡方分布exp或Exponential;指数分布f或FF分布gam或GammaGAM

9、MA分布geo或Geometric几何分布hyge或Hypergeometric超几何分布logn或Lognormal对数正态分布nbin或Negative Binomial负二项式分布ncf或Noncentral F非中心F分布nct或Noncentral t:非中心t分布ncx2或Noncentral Chi-square非中心卡方分布norm或Normal正态分布poiss或Poisson泊松分布rayl或Rayleigh瑞利分布t或TT分布unif或Uniform均匀分布unid或Discrete Uniform离散均匀分布weib或WeibullWeibull 分布例如二项分布：设一

10、次试验，事件A发生的概率为p,那么，在n次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 K 次的概率 P_K 为：P_K=PX=K=pdf(bino , K, n, p)例4-4 计算正态分布 N ( 0, 角军： pdf(norm,0.6578,0,1)1)的随机变量X在点0.6578的密度函数值。ans =0.3213例4-5自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。解： pdf(chi2,2.18,8)ans =0.03634.2.2 专用函数计算概率密度函数值命令二项分布的概率值函数 binopdf格式 binopdf (k, n, p) %等同于pdf (binoK, n, p) ,

11、p 每次试验事件 A发生的概 率；K一事件A发生K次；n一试验总次数命令 泊松分布的概率值函数 poisspdf格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于 pdf(poiss： K,Lamda)命令正态分布的概率值函数 normpdf (K,mu,sigma)%计算参数为(i=mu, =sigma的正态分布密度函数在K处的值专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。表4-3专用函数计算概率密度函数表函数名调用形式注释Unifpdfunifpdf (x, a, b)a,b上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值unidpdfUnidpdf(x,n)均匀分布(离散)概率密度函数值Ex

12、ppdfexppdf(x, Lambda)参数为Lambda的指数分布概率密度函数值normpdfnormpdf(x, mu, sigma)参数为mu, sigma的正态分布概率密度函数值chi2pdfchi2pdf(x, n)自由度为n的卡方分布概率密度函数值Tpdftpdf(x, n)自由度为n的t分布概率密度函数值Fpdffpdf(x, n 1, n2)第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值gampdfgampdf(x, a, b)参数为a, b的7分布概率密度函数值betapdfbetapdf(x, a, b)参数为a, b的P分布概率密度函数值lognpdflogn

13、pdf(x, mu, sigma)参数为mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值nbinpdfnbinpdf(x, R, P)参数为R, P的负二项式分布概率密度函数值Ncfpdfncfpdf(x, n 1, n2, delta)参数为n1, n2, delta的非中心F分布概率密度函数值Nctpdfnctpdf(x, n, delta)参数为n, delta的非中心t分布概率密度函数值ncx2pdfncx2pdf(x, n, delta)参数为n, delta的非中心卡方分布概率密度函数值raylpdfraylpdf(x, b)参数为b的瑞利分布概率密度函数值weibpdfweibpd

14、f(x, a, b)参数为a, b的韦伯分布概率密度函数值binopdfbinopdf(x,n,p)参数为n, p的二项分布的概率密度函数值geopdfgeopdf(x,p)参数为p的几何分布的概率密度函数值hygepdfhygepdf(x,M,K,N)参数为M, K, N的超几何分布的概率密度函数值poisspdfpoisspdf(x,Lambda)参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值例4-6绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形 x=0:0.1:30; y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,:) hold on图4-1 y2=chi2pdf(x,5);

15、plot(x,y2,+) y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,o) axis(0,30,0,0.2)%指定显示的图形区域则图形为图4-1。4.2.3 常见分布的密度函数作图1 .二项分布例4-7x = 0:10;y = binopdf(x,10,0.5);plot(x,y,+)2 .卡方分布例4-8 x = 0:0.2:15;y = chi2pdf(x,4);plot(x,y)0.2 50.20.1 50.10.0 50图4-23 .非中心卡方分布例4-9 x = (0:0.1:10); p1 = ncx2pdf(x,4,2); p = chi2pdf(x,4);plot(x

16、,p,-,x,p1,-)4 .指数分布例 4-10x = 0:0.1:10;y = exppdf(x,2);plot(x,y)第4章概率统计4-35.例F分布4-116.例x = 0:0.01:10;y = fpdf(x,5,3);plot(x,y)非中心F分布 4-12x = (0.01:0.1:10.01);p1 = ncfpdf(x,5,20,10);p = fpdf(x,5,20);plot(x,p,-,x,p1,-)4-47.例r分布8.例4-13x = gaminv(0.005:0.01:0.995),100,10);y = gampdf(x,100,10);y1 = normpd

17、f(x,1000,100);plot(x,y,-,x,y1,-.)对数正态分布4-14x = (10:1000:125010);y = lognpdf(x,log(20000),1.0);plot(x,y)set(gca,xtick,0 30000 60000 90000 120000)set(gca,xticklabel,str2mat(0,$30,000,$60,000,$90,000,$120,000,)-3-5x 10:139 :MATLAB 6.0数学手册图4-50.1 50.10.0 500246810图4-69 .负二项分布例 4-15x = (0:10);y = nbinpdf

18、(x,3,0.5);plot(x,y,+)10 .正态分布例 4-16 x=-3:0.2:3; y=normpdf(x,0,1); plot(x,y)0.211 .泊松分布例 4-17x = 0:15;y = poisspdf(x,5);plot(x,y,+)12 .瑞利分布例 4-18x = 0:0.01:2;p = raylpdf(x,0.5);plot(x,p)图4-713. T分布例 4-19 x = -5:0.1:5; y = tpdf(x,5); z = normpdf(x,0,1);例 4-20 t=0:0.1:3; y=weibpdf(t,2,2); piot(y)图4-84.

19、3随机变量的累积概率值(分布函数值)4.3.1 通用函数计算累积概率值命令通用函数cdf用来计算随机变量 X WK的概率之和(累积概率值)函数 cdf格式 cdf( name；K, A)cdf ( name,K, A, B)cdf(name；K, A, B,C)说明 返回以name为分布、随机变量Xw K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1常见分布函数表例4-21求标准正态分布随机变量X落在区间(-8, 0.4)内的概率(该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表)。解： cdf(norm,0.4,0,1) ans =0.6554例4-22 求自由度为16的卡方分布随机变量落在0

20、, 6.91内的概率 cdf(chi2,6.91,16) ans =0.02504.3.2 专用函数计算累积概率值(随机变量XK的概率之和)命令二项分布的累积概率值函数 binocdf格式 binocdf (k, n, p) %n为试验总次数，p为每次试验事件 A发生的概率，k为n 次试验中事件 A发生的次数，该命令返回n次试验中事件 A 恰好发生k次的概率。命令正态分布的累积概率值函数 normcdf格式 normcdf( x, mu,sigma)%返回 F(x)= IxyOdt 的值，mu、sigma 为正态分布的两个参数例 4-23 设 XN (3, 22)(1)求 P2 X 5， RM

21、X 2, PX 3(2)确定 c,使得 RX G =PX c解(1) p1= P2 :二 X ：5p2= P -4 :二 X 2 =1 _ P X| E2p4= RX 3 =1 -RX p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)p1 =0.5328p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)p2 =0.9995p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)p3 =0.6853p4=1-normcdf(3,3,2)p4 =0.5000专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。表4-4 专用函数的累积概率值函数表函数名调用形式注

22、释unifcdfunifcdf (x, a, b)a,b上均匀分布(连续)累积分布函数值F(x)=PX xunidcdfunidcdf(x,n)均匀分布(离散)累积分布函数值F(x)=PX xexpcdfexpcdf(x, Lambda)参数为Lambda的指数分布累积分布函数值F(x)=PX xnormcdfnormcdf(x, mu, sigma)参数为mu, sigma的正态分布累积分布函数值F(x)=PX xchi2cdfchi2cdf(x, n)自由度为n的卡方分布累积分布函数值F(x)=PX xtcdftcdf(x, n)自由度为n的t分布累积分布函数值F(x)=PX xfcdff

23、cdf(x, n 1, n2)第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值gamcdfgamcdf(x, a, b)参数为a, b的7分布累积分布函数值F(x)=PX xbetacdfbetacdf(x, a, b)参数为a, b的B分布累积分布函数值F(x)=PX xlogncdflogncdf(x, mu, sigma)参数为mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值nbincdfnbincdf(x, R, P)参数为R, P的负二项式分布概累积分布函数值F(x)=PX xncfcdfncfcdf(x, n 1, n2, delta)参数为n1, n2, delta的非中心

24、F分布累积分布函数值nctcdfnctcdf(x, n, delta)参数为n, delta的非中心t分布累积分布函数值F(x)=PX xncx2cdfncx2cdf(x, n, delta)参数为n, delta的非中心卡方分布累积分布函数值raylcdfraylcdf(x, b)参数为b的瑞利分布累积分布函数值F(x)=PX xweibcdfweibcdf(x, a, b)参数为a, b的韦伯分布累积分布函数值F(x)=PX xbinocdfbinocdf(x,n,p)参数为n, p的二项分布的累积分布函数值F(x)=PX x第4章概率统计geocdfgeocdf(x,p)参数为p的几何分

25、布的累积分布函数值 F(x)=PX xhygecdfhygecdf(x,M,K,N)参数为M, K, N的超几何分布的累积分布函数值poisscdfpoisscdf(x,Lambda)参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=PX x说明累积概率函数就是分布函数F(x)=PX x=icdf(norm,0.975,0,1) x =1.9600例4-25在飞分布表中，若自由度为解：因为表中给出的值满足P 2的临界值儿。所以，这里的a取为0.025, Lambda=icdf(chi2,0.025,10)Lambda =3.2470例4-26 在假设检验中，求临界值问题:(x) =0.9

26、75,求 x10, a =0.975,求临界值 Lambdao=：,而逆累积分布函数icdf求满足P 2 ：二 = ： 即已知：口 = 0.05 ,查自由度为10的双边界检验t分布临界值lambda=icdf(t,0.025,10) lambda =-2.22814.4.2专用函数-inv计算逆累积分布函数命令函数格式正态分布逆累积分布函数norminvX=norminv(p,mu,sigma)例 4-27 设 X N (3, 2 2),确定%p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X 为临界值，满足：p=PX wx。c使得 PX =PX c。解：由 PX=RX c得，PX A0=PX

27、 X=norminv(0.5, 3, 2) X= 3:143 :MATLAB 6.0数学手册关于常用临界值函数可查下表4-5。表4-5常用临界值函数表函数名调用形式注释unifinvx=unifinv (p, a, b)均匀分布(连续)逆累积分布函数(P=PX x,求 x)unidinvx=unidinv (p,n)L均匀分布(离散)逆累积分布函数，x为临界值expinvx=expinv (p, Lambda)指数分布逆累积分布函数norminvx=Norminv(x,mu,sigma)正态分布逆累积分布函数chi2invx=chi2inv (x, n):卡方分布逆累积分布函数tinvx=ti

28、nv (x, n)t分布累积分布函数finvx=finv (x, n 1, n2)F分布逆累积分布函数gaminvx=gaminv (x, a, b)分布逆累积分布函数betainvx=betainv (x, a, b)台分布逆累积分布函数logninvx=logninv (x, mu, sigma)对数正态分布逆累积分布函数nbininvx=nbininv (x, R, P);负二项式分布逆累积分布函数ncfinvx=ncfinv (x, n 1, n2,delta)非中心F分布逆累积分布函数nctinvx=nctinv (x, n, delta)非中心t分布逆累积分布函数ncx2invx=

29、ncx2inv (x, n, delta)非中心卡方分布逆累积分布函数raylinvx=raylinv (x, b):瑞利分布逆累积分布函数weibinvx=weibinv (x, a, b)韦伯分布逆累积分布函数binoinvx=binoinv (x,n,p)二项分布的逆累积分布函数geoinvx=geoinv (x,p)；几何分布的逆累积分布函数hygeinvx=hygeinv (x,M,K,N)超几何分布的逆累积分布函数poissinvx=poissinv (x,Lambda)泊松分布的逆累积分布函数例 4-28公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X

30、 (单位：cm)服从正态分布 N (175, 36),求车门的最低高度。 解：设h为车门高度，X为身高求满足条件PX Ah E0.01的h,即PX h=norminv(0.99, 175, 6) h =188.9581例4-29卡方分布的逆累积分布函数的应用在MATLAB的编辑器下建立 M文件如下：n=5; a=0.9; %n为自由度，a为置信水平或累积概率x_a=chnv(a,n) ;%x_a 为临界值x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n) ;%计算？2(5)的概率密度函数值，供绘图用plot(x,yd_c,b), hold on% 绘密度函数图形xxf=0:0.1:x_

31、a; yyf=chi2pdf(xxf,n) ;%计算0, x_a上的密度函数值，供填色用图4-9fill(xxf,x_a, yyf,0, g)%填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)% 标注临界值点text(10,0.10, fontsize16XchiA2(4)%图中标注text(1.5,0.05, fontsize22alpha=0.9 )% 图中标注结果显示如图4-9。4.5随机变量的数字特征4.5.1平均值、中值命令利用mean求算术平均值格式 mean(X) %X为向量，返回X中各元素的平均值mean(A) %A

32、为矩阵，返回A中各列元素的平均值构成的向量mean(A,dim)%在给出的维数内的平均值n说明 X为向量时，算术平均值的数学含义是x=1xi ,即样本均值。n y例 4-30 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A =134523461315 mean(A) ans =1.33333.00003.0000 mean(A,1) ans =1.33333.00003.0000命令忽略NaN计算算术平均值5.33335.3333格式 nanmean(X) %X为向量，返回X中除NaN外元素的算术平均值。nanmean(A)例 4-31%A为矩阵，返回 A中各列除NaN外元素的算术平均

33、值向量。 A=1 2 3;nan 5 2;3 7 nan A = 123NaN 5237NaN nanmean(A) ans =2.00004.66672.5000命令利用median计算中值(中位数)格式 median(X) %X为向量，返回X中各元素的中位数。median(A)%A为矩阵，返回 A中各列元素的中位数构成的向量。median(A,dim)%求给出的维数内的中位数例 4-32 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A =134523461315 median(A)ans = 1345命令忽略NaN计算中位数 格式 nanmedian(X) %X为向量，返回 X中除

34、NaN外元素的中位数。nanmedian(A) %A为矩阵，返回 A中各列除NaN外元素的中位数向量。 例 4-33 A=1 2 3;nan 5 2;3 7 nan A =123NaN 5237NaN nanmedian(A) ans =2.00005.00002.5000命令利用geomean计算几何平均数格式 M=geomean(X)%X为向量，返回X中各元素的几何平均数。M=geomean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的几何平均数构成的向量。n 2M 二(口 xi)i ,其中：样本数据非负，主要用于对数正 i 1说明几何平均数的数学含义是态分布。例 4-34 B=1 3 4 5B

35、= 1345 M=geomean(B) M =2.7832 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A =134523461315 M=geomean(A) M =1.25993.00002.51985.3133命令利用harmmean求调和平均值格式 M=harmmean(X)M=harmmean(A)%X为向量，返回X中各元素的调和平均值。%A为矩阵，返回A中各列元素的调和平均值构成的向量。0,主要用于产重偏斜说明调和平均值的数学含义是M =，其中：样本数据非T xi分布。例 4-35 B=13 4 5B =1345 M=harmmean(B) M =2.2430 A=1 3

36、4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A =134523461315 M=harmmean(A) M =1.20003.00002.00005.29414.5.2数据比较命令排序格式 Y=sort(X)Y=sort(A)%X为向量，返回X按由小到大排序后的向量。%A为矩阵，返回 A的各列按由小到大排序后的矩阵。Y,I=sort(A) % Y为排序的结果，I中元素表示Y中对应元素在 A中位置。sort(A,dim)%在给定白维数 dim内排序说明若X为复数，则通过凶排序。例 4-36 A=1 2 3;4 5 2;3 7 0 A = 123452370 sort(A) ans = 1203524

37、73 Y,I=sort(A) Y = 120352473I = 113322231命令按行方式排序 函数sortrows格式Y=sortrows(A)Y=sortrows(A, col) Y,I=sortrows(A, col)%A为矩阵，返回矩阵Y, Y按A的第1列由小到大，以 行方式排序后生成的矩阵。%按指定列col由小到大进行排序% Y为排序的结果，I表示丫中第col列元素在A中位置。说明 若X为复数，则通过 凶的大小排序。例 4-37 A=1 2 3;4 5 2;3 7 0 A = 123452370 sortrows(A) ans = 1233 704 52 sortrows(A,1

38、) ans = 1233 704 52 sortrows(A,3) ans = 370452123 sortrows(A,3 2) ans = 370452123 Y,I=sortrows(A,3) Y = 370452123I = 3 2 1 命令求最大值与最小值之差 函数 range格式 Y=range(X) %X为向量，返回X中的最大值与最小值之差。Y=range(A) %A为矩阵，返回 A中各列元素的最大值与最小值之差。 例 4-38 A=1 2 3;4 5 2;3 7 0 A = 123452370 Y=range(A) Y = 3534.5.3期望命令计算样本均值函数 mean格式

39、用法与前面一样例4-39 随机抽取6个滚珠测得直径如下：(直径：mm)14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32解：X=14.7015.21 14.90 14.91 15.32 15.32;mean(X)%计算样本均值则结果如下：ans =15.0600命令由分布律计算均值 利用sum函数计算例4-40 设随机变量X的分布律为:求 E (X) E(X2-1)解：在Matlab编辑器中建立 M文件如下:X=-2 -1 0 1 2;p=0.3 0.1 0.2 0.1 0.3; EX=sum(X.*p) Y=X.A2-1 EY=sum(Y.*p) 运行后结果如下：EX =

40、 0Y = 30EY =1.60004.5.4方差命令求样本方差 函数 var格式 D=var(X)X-2-1012P0.30.10.20.10.3-10%var(X)=士土(Xi X)2 ,若X为向量，则返回向量的样本方差。 n -1 id：149D=var(A) %A为矩阵，则D为A的列向量的样本方差构成的行向量。D=var(X, 1)%返回向量(矩阵)X的简单方差(即置前因子为n的方差)命令函数格式D=var(X, w) %返回向量(矩阵)X的以w为权重的方差求标准差stdstd(X)%返回向量(矩阵) X的样本标准差(置前因子为 n11 )即：n-std =- ，Xi -Xn -1 i

41、 士std(X,1)%返回向量(矩阵)X的标准差(置前因子为 工)nstd(X, 0)%与 std (X)相同MATLAB 6.0数学手册std(X, flag, dim)%返回向量(矩阵)中维数为dim的标准差值，其中 flag=0时,置前因子为n1i 否则置前因子为例4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差14.70 15.21 14.90 15.32 15.32解：X=14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32;DX=var(X,1)% 方差DX =0.0559sigma=std(X,1)% 标准差sigma =0.2364DX1=var(X)%样

42、本方差DX1 =0.0671sigma1=std(X) % 样本标准差 sigma1 =0.2590命令忽略NaN的标准差则返回除NaN外的元素的标准则返回各列除NaN外的标准差函数 nanstd格式 y = nanstd(X)%若X为含有元素 NaN的向量,差，若X为含元素NaN的矩阵, 构成的向量。例 4-42 M=magic(3)M =813549%产生3阶魔方阵6726、8个元素为NaN M(1 6 8)=NaN NaN NaN%替换 3 阶魔方阵中第 1、M =NaN 1 354 NaN y=nanstd(M)6NaN2%求忽略NaN的各列向量的标准差y = 0.70712.8284

43、2.8284 X=1 5;%忽略NaN的第2列元素 y2=std(X)%验证第2列忽略NaN元素的标准差y2 = 2.8284 命令样本的偏斜度函数 skewness格式 y = skewness(X) %X为向量，返回 X的元素的偏斜度；X为矩阵，返回X各 列元素的偏斜度构成的行向量。y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜纠正，flag=1 (默认)表示偏斜不纠正。说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的数据比均值右边的数据更散;因而正态分布的偏斜度为其中：科为x的均值,例 4-43 X=randn(5,4)X =如果偏斜度为正，

44、说明均值右边的数据比均值左边的数据更散,0；偏斜度是这样定义的：y = E(X;丹3ab为x的标准差，E(.)为期望值算子0.29440.8580-0.39990.6686-1.33621.25400.69001.19080.7143-1.59370.8156-1.20251.6236-1.44100.7119-0.0198-0.69180.57111.2902-0.1567 y=skewness(X) y =-0.0040-0.3136 y=skewness(X,0) y =-0.0059-0.4674-0.8865-1.32164.5.5常见分布的期望和方差命令函数格式-0.2652-0.

45、3954均匀分布(连续)的期望和方差unifstatM,V = unifstat(A,B)例 4-44a = 1:6; b = 2.*a;M,V = unifstat(a,b) M =1.50003.00004.50000.08330.33330.7500命令函数格式正态分布的期望和方差normstat%A、B为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差,A、M,V = normstat(MU,SIGMA)例 4-45 n=1:4; M,V=normstat(n*n,n*n) M =1234246836912481216149164163664936811441664144256二项分布的均值和方

46、差V =命令B也可为向量或矩阵，则 M、V也是向量或矩阵。6.00007.50009.00001.33332.08333.0000%MU、SIGMA可为标量也可为向量或矩阵, 则 M=MU , V=SIGMA 2。二:151 ；函数binostat格式M,V = binostat(N,P)%N, P为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量或矩阵。例 4-46n = logspace(1,5,5) n =10100100010000100000M,V = binostat(n,1./n) M = 111V = 0.90000.9900110.99900.99991.0000m,v = binos

47、tat(n,1/2) m =550500500050000v =1.0e+04 *0.00030.00250.02500.25002.5000常见分布的期望和方差见下表4-6。表4-6常见分布的均值和方差函数名调用形式注释unifstatM,V=unifstat (a, b)均匀分布（连续）的期望和方差，M为期望，V为方差unidstatM,V=unidstat (n)均匀分布（离散）的期望和方差expstatM,V=expstat (p, Lambda)指数分布的期望和方差normstatM,V=normstat(mu,sigma)正态分布的期望和方差chi2statM,V=chi2stat

48、 (x, n)卡方分布的期望和方差tstatM,V=tstat ( n)t分布的期望和方差fstatM,V=fstat ( n 1, n2)F分布的期望和方差gamstatM,V=gamstat (a, b)分布的期望和方差betastatM,V=betastat ( a, b)分布的期望和方差lognstatM,V=lognstat ( mu, sigma)对数正态分布的期望和方差nbinstatM,V=nbinstat ( R, P)负二项式分布的期望和方差ncfstatM,V=ncfstat ( n 1, n2,delta)非中心F分布的期望和方差nctstatM,V=nctstat (

49、n, delta)非中心t分布的期望和方差ncx2statM,V=ncx2stat ( n, delta)非中心卡方分布的期望和方差raylstatM,V=raylstat ( b)瑞利分布的期望和方差WeibstatM,V=weibstat (a, b)韦伯分布的期望和方差BinostatM,V=binostat (n,p)二项分布的期望和方差GeostatM,V=geostat (p)几何分布的期望和方差hygestatM,V=hygestat (M,K,N)超几何分布的期望和方差PoisstatM,V=poisstat (Lambda)泊松分布的期望和方差4.5.6协方差与相关系数命令协

50、方差函数 cov格式 cov（X） %求向量X的协方差cov(A)cov(X,Y) 例 4-47%求A的第1列向量的方差%求A的第2列向量的方差%求矩阵A的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是 方差，即：var(A尸diag(cov(A)。%X,Y为等长列向量，等同于 cov(X Y)。 X=0 -1 1;Y=1 2 2; C1=cov(X) %X 的协方差C1 =1 C2=cov(X,Y)%列向量X、Y的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差C2 =1.0000000.3333 A=1 2 3;4 0 -1;1 7 3 A =12340-1173 C1=cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵

51、 C1 =3.0000-4.5000-4.0000-4.500013.00006.0000-4.00006.00005.3333 C2=var(A(:,1)C2 =3 C3=var(A(:,2)C3 =13 C4=var(A(:,3)C4 =5.3333命令相关系数函数格式corrcoefcorrcoef(X,Y)%返回列向量X,Y的相关系数，等同于 corrcoef(XY)。corrcoef (A)%返回矩阵A的列向量的相关系数矩阵例 4-48 A=1 2 3;4 0 -1;1 3 9 A =12340-11 39 C1=corrcoef(A)%求矩阵A的相关系数矩阵C1 =1.0000-0.9449-0.8030-0.94491.00000.9538-0.80300.95381.0000 C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)%求A的第2列与第3列列向量的相关系数矩阵C1 =1.00000.95380.95381.00004.6统计作图4.6.1 正整数的频率表命令正整数的频率表函数 tabulate格式 table = tabulate(X) %X为正整数构成的向量， 返回3列：第1列中包含X的值 第2