考研数学考前必备重点题型级数

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1、考研数学考前必备重点题型级数12.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 (Kinetic theory of gases)2.1 理想气体的压强理想气体的压强2.2 温度的微观意义温度的微观意义 2.3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 2.4 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律* 2.6 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证2.7 实际气体等温线实际气体等温线* 2.8 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程考研数学考前必备重点题型级数22.1 理想气体

2、的压强理想气体的压强Pressure of ideal gas一、状态参量一、状态参量(quantity of state)在一定条件下，当物体的状态保持不变，为描述物体的特在一定条件下，当物体的状态保持不变，为描述物体的特性而采用的物理量。如体积、温度、压强、浓度等性而采用的物理量。如体积、温度、压强、浓度等 。对于一定。对于一定质量的气体，除它的质量质量的气体，除它的质量M和摩尔质量和摩尔质量Mmol，它的状态一般可，它的状态一般可用下列三参量来表示：用下列三参量来表示：1. 气体所占的体积气体所占的体积V： 气体分子活动所能达到的空间范围。气体分子活动所能达到的空间范围。 气体动理论是在

3、物质结构的分子学说的基础上气体动理论是在物质结构的分子学说的基础上,为说明人们为说明人们所熟知的气体物理性质和气态现象而发展起来的。所熟知的气体物理性质和气态现象而发展起来的。 (Kinetic theory of gases)考研数学考前必备重点题型级数32. 气体的压强气体的压强P： 压强是气体作用在容器壁单位面积上的指向器壁的平均正压强是气体作用在容器壁单位面积上的指向器壁的平均正压力，是气体分子对器壁碰撞的宏观表现。压力，是气体分子对器壁碰撞的宏观表现。3. 气体的温度气体的温度T： 从宏观上来讲，温度表示物体的冷热程度；从微观上讲，从宏观上来讲，温度表示物体的冷热程度；从微观上讲，温

4、度反映物质内部分子运动的剧烈程度。温度反映物质内部分子运动的剧烈程度。考研数学考前必备重点题型级数4由实验可知，由实验可知，热现象是物质中大热现象是物质中大量分子无规则运动量分子无规则运动的集体表现，人们的集体表现，人们把大量分子的无规把大量分子的无规则运动叫做分子热则运动叫做分子热运动，即所谓的布运动，即所谓的布朗运动。朗运动。分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁相互碰撞。分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁相互碰撞。二二*、分子布朗运动、分子布朗运动考研数学考前必备重点题型级数5三、关于每个分子的力学性质的假设三、关于每个分子的力学性质的

5、假设理想气体的微观模型理想气体的微观模型(1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计。可以忽略不计。(4)气体分子的运动服从经典力学规律。气体分子的运动服从经典力学规律。(2)因为气体分子间的平均距离相当大因为气体分子间的平均距离相当大,所以除碰撞的瞬间外所以除碰撞的瞬间外,分分子间相互作用力可以忽略不计。子间相互作用力可以忽略不计。总之总之,气体被看作是自由地气体被看作是自由地 无规则运动着的弹性球分子的集合。无规则运动着的弹性球分子的集合。 (3)分子之间的碰撞以及分子与器壁的碰撞都是弹性的，即在碰分子之间的碰撞以及分子与器壁的碰撞都是弹

6、性的，即在碰撞前后气体分子的动量守恒撞前后气体分子的动量守恒,动能守恒。动能守恒。考研数学考前必备重点题型级数6四、关于分子集体的统计性假设四、关于分子集体的统计性假设统计规律统计规律Statistical law 尽管个别分子的运动是杂乱无章的，但就大量分子的集体尽管个别分子的运动是杂乱无章的，但就大量分子的集体来看，却又存在着一定的统计规律。来看，却又存在着一定的统计规律。(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个方向上分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个方向上气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各个方向运动的平气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各个方向运动

7、的平均分子数应该相等。均分子数应该相等。(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。222231vvvvzyx(1) 在热力学平衡状态下，气体分子的空间密度是均匀的。在热力学平衡状态下，气体分子的空间密度是均匀的。考研数学考前必备重点题型级数7五、气体动理论的统计方法五、气体动理论的统计方法(statistical metheds) 用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的真实性质。用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的真实性质。对个别分子（或原子）运用牛顿定律求出其微观量，如质量、对个别分子（或原子）运用牛顿定律求出其微观量，如质量、速度

8、、能量等，再用统计的方法，求出大量分子关于微观量的速度、能量等，再用统计的方法，求出大量分子关于微观量的统计平均值，并用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性统计平均值，并用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质，如温度、压强、热容等。质，如温度、压强、热容等。六、理想气体的压强公式的推导六、理想气体的压强公式的推导（方法（方法1：容器是长方体形）：容器是长方体形） （3） 应用统计假设应用统计假设,求器壁所受的平均正压力。求器壁所受的平均正压力。压强公式推导步骤如下：压强公式推导步骤如下：思路：思路：（1）用牛顿定律先求一个分子对器壁的压力）用牛顿定律先求一个分子对器壁的压力;（2）全体分

9、子作用于器壁的压力）全体分子作用于器壁的压力;设一定量气体总分子数为设一定量气体总分子数为N，每个分子质量为，每个分子质量为m。考研数学考前必备重点题型级数8（1）设边长分别为）设边长分别为l1、l2、l3 的长方的长方形容器中，有形容器中，有N个同类气体分子，每个同类气体分子，每个分子的质量均为个分子的质量均为m。以容器的某一。以容器的某一顶点为原点，沿容器边长为方向建顶点为原点，沿容器边长为方向建立直角坐标系。立直角坐标系。（2）选任意一个分子）选任意一个分子a作为研作为研究对象，求其对究对象，求其对A1面的压力面的压力分子分子“a” 的速度：的速度：kvjvivvzyx分子分子“ a”碰

10、撞器壁碰撞器壁A1面一次所受的冲量：面一次所受的冲量：由牛顿第三定律可知，器壁由牛顿第三定律可知，器壁A1面受分子碰撞一次所受的冲量：面受分子碰撞一次所受的冲量：xxmvI2amvx-mvxl2l1l3A1XYZOxxxxmvmvmvI2考研数学考前必备重点题型级数9分子分子“ a”相继碰撞器壁相继碰撞器壁A1面两次所用的时间为：面两次所用的时间为：xvl12单位时间内，分子单位时间内，分子“ a”与器壁与器壁A1面碰撞的次数为：面碰撞的次数为：12lvx单位时间内，分子单位时间内，分子“ a”对器壁对器壁A1面的冲量即冲力为：面的冲量即冲力为：21122xxxxvmvFmvll任意分子对器壁

11、任意分子对器壁A1面的冲力为：面的冲力为：12lmvFixix（3）器壁）器壁A1面受面受N个分子的冲力个分子的冲力iixixivlmlmvF2112考研数学考前必备重点题型级数10器壁器壁A1面单位面积受面单位面积受N个分子的冲力：个分子的冲力：32llFp n是单位体积内的分子数或称分子数密度是单位体积内的分子数或称分子数密度由分子统计假设：由分子统计假设：2xvnmp tnp32221vmt分子平均平动动能：分子平均平动动能：理想气体的压强公式：理想气体的压强公式：iixNvmlllN2321iixvlllm23212xvnm231vnm考研数学考前必备重点题型级数11六六*、理想气体的

12、压强公式的推导、理想气体的压强公式的推导（方法（方法2：容器是任意形状）：容器是任意形状） 把所有分子按速度区间分为若干组，在每一组内的分子速度把所有分子按速度区间分为若干组，在每一组内的分子速度大小方向都差不多相同。大小方向都差不多相同。设第设第 i组分子的速度区间为：组分子的速度区间为：以以 ni 表示第表示第 i 组分子的分子数密度组分子的分子数密度总的分子数密度为：总的分子数密度为：设器壁上面积元设器壁上面积元dA 法向为法向为 x 轴轴dAxvi dtvix dt一定质量的处于平衡态的某种理想气体，被封闭在体积为一定质量的处于平衡态的某种理想气体，被封闭在体积为V的任意形状的容器中。

13、的任意形状的容器中。iiivdvvinn任意一任意一 个分子速度：个分子速度：kvjvivviziyixi考研数学考前必备重点题型级数12该分子碰撞器壁一次所受的冲量：该分子碰撞器壁一次所受的冲量：ixixmvI2ixixixixmvmvmvI2在在 dt 时间内与时间内与dA碰撞的分子数碰撞的分子数ni vix dt dA总冲量为：总冲量为：)2(ixiximvdAdtvn所有分子在所有分子在 dt 时间内对时间内对 dA 的总冲量为：的总冲量为：022dixvixidAdtvmnIiixiiixitAvmnAdtvmnIddd221d22气体对器壁的宏观压强为：气体对器壁的宏观压强为：At

14、Ipdddiixivmn2iixivnm2dAxvi dtvix dt考研数学考前必备重点题型级数13由分子统计假设由分子统计假设2xvnmp tnp32221vmt分子平均平动动能：分子平均平动动能：理想气体的压强公式：理想气体的压强公式：231vnm2xvnvniixi2考研数学考前必备重点题型级数142.2温度的微观意义温度的微观意义 Temperature equation of ideal gas 根据理想气体的压强公式和状态方程，可以导出气体的根据理想气体的压强公式和状态方程，可以导出气体的温度与分子的平均平动动能之间的关系，从而揭示宏观量温温度与分子的平均平动动能之间的关系，从而

15、揭示宏观量温度的微观本质。度的微观本质。1.温度的本质和统计意义温度的本质和统计意义:考研数学考前必备重点题型级数15tkT23（2 2）当两种气体有相同的温度时，意味着两种气体分子的平）当两种气体有相同的温度时，意味着两种气体分子的平均平动动能相等。均平动动能相等。 tnnkTp32气体的温度是气体分子平均平动动能的量度；气体的温度是气体分子平均平动动能的量度；kRNA1.3810-23 J/K 称玻耳兹曼常量称玻耳兹曼常量温度的意义：温度的意义：注意：注意：（1 1）温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计的意）温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计的意义，对于个别分子并无意义。

16、义，对于个别分子并无意义。考研数学考前必备重点题型级数162.气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率:(root-mean-square speed)mkTv32由上式可见由上式可见, ,在相同温度时在相同温度时, ,虽然各种分子的平均平动动能虽然各种分子的平均平动动能相等相等, ,但它们的方均根速率并不相等。但它们的方均根速率并不相等。 tkT23221vmAAmNTkN3molMRT3注意注意: :考研数学考前必备重点题型级数17 1.一定质量的气体一定质量的气体,当温度不变时当温度不变时,压强随体积减小而增大压强随体积减小而增大;当体当体积不变时积不变时, 压强随压强随 温度升高而增大

17、，从宏观上说温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化都这两种变化都使压强增大使压强增大;从微观上说从微观上说,它们是否有区别它们是否有区别? 2.两种不同种类的理想气体两种不同种类的理想气体,压强相同压强相同,温度相同温度相同,体积不同体积不同, 试试问单位体积内的分子数是否相同问单位体积内的分子数是否相同? 3.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同分子平均平动动能相同,但气体的分但气体的分子数密度不同子数密度不同,试问他们的压强是否相同试问他们的压强是否相同? 4.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体,体积不同体积不同,但温度和压强相同但温度和压强相同,问气体问气体分子的

18、平均平动动能是否相同分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动单位体积中的分子的总平动动能是否相同动能是否相同?问题：问题：（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动加剧导后者是由于运动加剧导致）致）（答案（答案:相同）相同）（答案（答案:不同）不同） （答案（答案:相同相同,相同）相同）考研数学考前必备重点题型级数182.3 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 Equipartition theorem of energy Internal energy of ideal gas 一、分子的自由度一、分子的自由度

19、 i :1.自由度定义自由度定义degree of freedom 确定一个物体位置所需要的独立坐标个数称该物体的自由度。确定一个物体位置所需要的独立坐标个数称该物体的自由度。在空间自由运动的质点在空间自由运动的质点,它的位置用三个独立坐标它的位置用三个独立坐标(x,y,z)确定。确定。(1)质点的自由度质点的自由度如火车运动（一维如火车运动（一维),自由度为一个；自由度为一个；考研数学考前必备重点题型级数19oYXZP（x,y,z) (2)刚体的自由度刚体的自由度:刚体位置的确定共需要六个自由度。刚体位置的确定共需要六个自由度。确定刚体上某一点位置确定刚体上某一点位置:确定刚体转轴的方位确定

20、刚体转轴的方位:确定刚体绕转轴转过的角度确定刚体绕转轴转过的角度,需要一个自由度需要一个自由度();需要二个自由度需要二个自由度(,);需要三个自由度需要三个自由度(x,y,z);飞机运动飞机运动(三维三维),自由度为三个自由度为三个;轮船运动轮船运动(二维二维),自由度为二个自由度为二个;考研数学考前必备重点题型级数20(3)气体分子模型自由度气体分子模型自由度单原子分子模型单原子分子模型:质心需要三个平动自由度质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要二个转两原子连线方位需要二个转动自由度动自由度,一共五个自由度一共五个自由度;刚性双原子分子模型刚性双原子分子模型:如氦原子如氦原子 如氧气

21、分子如氧气分子i=t+r=3+2=5需要三个平动自由度需要三个平动自由度 i=t=3;刚性三原子以上分子模型刚性三原子以上分子模型:i=t+r=3+3=6小结：小结：n个原子组成的分子最多是个原子组成的分子最多是3n 个自由度。常温下振动自个自由度。常温下振动自由度可以不考虑。由度可以不考虑。OHHH2OHeO2考研数学考前必备重点题型级数21 上式表明上式表明,气体分子沿气体分子沿x、y、z三个方向运动的平均平动动三个方向运动的平均平动动能完全相等；即可以认为，分子的平均平动能能完全相等；即可以认为，分子的平均平动能 是平均地是平均地分配在每一个平动自由度上的。因为分子分配在每一个平动自由度

22、上的。因为分子 平动有平动有3个自由度，个自由度，所以相应于每一个平动自由度的能量是所以相应于每一个平动自由度的能量是kT21kT23二、能量均分定理二、能量均分定理Equipartition theorem of energy1. 理想气体分子的平均平动动能：理想气体分子的平均平动动能：22123vmkTt按理想气体的统计假设：按理想气体的统计假设：222231vvvvzyx222212121zyxvmvmvm2. 意义意义)21(312vmkT21考研数学考前必备重点题型级数223. 推广：推广：在平衡态下，气体分子的每一个自由度都在平衡态下，气体分子的每一个自由度都 具有相同的平具有相同

23、的平均动能。如果气体分子有均动能。如果气体分子有i 个自由度，则每个分子的总平个自由度，则每个分子的总平均动能就是均动能就是 kT21kTi2问题：问题：单原子分子，刚性双原子分子，刚性三原子以上分子的单原子分子，刚性双原子分子，刚性三原子以上分子的平均动能各是多少？平均动能各是多少？注意：注意：能量均分原理是个统计规律，仅对大量分子平均而言，对个别能量均分原理是个统计规律，仅对大量分子平均而言，对个别分子并不适用。分子并不适用。考研数学考前必备重点题型级数23三、理想气体的内能三、理想气体的内能1. 气体的内能包括哪些？气体的内能包括哪些？气体的内能气体的内能=气体分子的总能量气体分子的总能

24、量 + 分子间相互作用势能分子间相互作用势能2. 理想气体的内能包括哪些？理想气体的内能包括哪些？理想气体的内能理想气体的内能=所有气体分子各种运动能量的总和所有气体分子各种运动能量的总和问题：问题：3. 内能与机械能有什么区别？内能与机械能有什么区别？机械能可以为零，而内能永不为零。机械能可以为零，而内能永不为零。一摩尔理想气体的内能一摩尔理想气体的内能RTiKTiNEomol22M千克理想气体的内能千克理想气体的内能RTiMMEmol2考研数学考前必备重点题型级数241.三个容器内分别储有三个容器内分别储有1mol氦气氦气(He),1mol氢气氢气(H2),1mol氨氨气气(NH3)( 三

25、种气体均三种气体均 视为刚性分子的理想气体视为刚性分子的理想气体),若它们的若它们的温度都升高温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？则三种气体内能的增加分别是多少？问题：问题：1摩尔气体的内能摩尔气体的内能( )。kT23分子的平均平动动能分子的平均平动动能( );分子的平均总动能分子的平均总动能( );kT25分子的平均总能量分子的平均总能量( );kT251摩尔气体分子的总转动动能摩尔气体分子的总转动动能( );RTRT252.写出下列各量的表达式：写出下列各量的表达式： 某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为T的平衡态下的平衡态下:(

26、答案答案:12.5J,20.8J,24.9J)考研数学考前必备重点题型级数25 (答案答案: 1:8; 1:1; 5:24)3.有一个处于恒温条件下的容器有一个处于恒温条件下的容器,其内贮有其内贮有1mol某种理想气体某种理想气体, 若容器发生缓慢漏气若容器发生缓慢漏气,试问容器内气体分子的平均平动动能是试问容器内气体分子的平均平动动能是否改变否改变?气体的内能是否改变气体的内能是否改变?（答案（答案: 不变不变,变变)4.两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧气的气的1/2,氦气的容积是氧气的氦气的容积是氧气的2倍。试问氦气的

27、内能是氧气内能倍。试问氦气的内能是氧气内能的多少倍的多少倍?（答案（答案:3 /5倍倍)5.质量相等的的理想气体氧和氦质量相等的的理想气体氧和氦,分别装分别装 在两个容积相等的容在两个容积相等的容器内器内,在温度相同的情况下在温度相同的情况下,氧和氦的压强之比为氧和氦的压强之比为 ;氧氧分子和氦分子的平均平动动能之比为分子和氦分子的平均平动动能之比为 ;氧和氦内能之氧和氦内能之比为比为_.考研数学考前必备重点题型级数262.4 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律The Maxwell distribution law of speed一、一、 统计规律：统计规律：二、二、 速率分

28、布函数速率分布函数 f(v) 的物理意义的物理意义将速率分成若干相等的区间将速率分成若干相等的区间,如如;sm10sm10sm10;sm10001111 111111sm10sm30sm30;sm10sm20sm20伽尔顿板伽尔顿板考研数学考前必备重点题型级数27设任一速率区间为设任一速率区间为:vvv设总的气体分子数为设总的气体分子数为N,在该区间内的分子数为在该区间内的分子数为NvNvNN分布在速率分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数附近单位速率间隔内的分子数分布在速率分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总分子附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。数的比率。 当当,0时v1

29、. 速率分布函数速率分布函数 f(v) 的定义：的定义：vNNvfvlim0)(在平衡态下，在平衡态下，f f（v v）仅是仅是v v 的函数。的函数。注意：注意：vf（v）Ovv+v;dvv ;dNN NdvdN考研数学考前必备重点题型级数282. 速率分布函数速率分布函数 f(v) 的意义：的意义：分布在速率分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；当速率分布函数已知当速率分布函数已知,求速率区间求速率区间v1，v2内的总分子数为多少？内的总分子数为多少？21vvdNN3. 麦克斯韦分子速率分布律麦克斯韦分子速率分布律早在早在

30、1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式下气体分子速率分布函数的具体形式22223)2(4)(vekTmvfkTmv对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位速率间隔内的概对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位速率间隔内的概率率 。问题：问题：21)(vvdvvfN考研数学考前必备重点题型级数29问题：问题：?)(0) 1 (vfv时(3)如图如图(a)曲线下的阴影面积的物理意义是什么？曲线下的阴影面积的物理意义是什么？(4)如图如图(a)曲线下的总面积的物理意义是什么？曲线下的总面积的物理意义是什

31、么？?)()2(vfv时22223)2(4)(vekTmvfkTmv根据根据答：答：f（0）=0。答：答：f（）=0 vvvdvvf)(NdN即速率区间即速率区间vv+v内的分子数占总分子数的内的分子数占总分子数的 比值。比值。 NdNNN0)(dvvf1归一化条件归一化条件f（v）vov v+v图图(a)(a)某一温度下速率分布函数曲线某一温度下速率分布函数曲线考研数学考前必备重点题型级数30三、三、 分子三种特殊速率的统计平均值分子三种特殊速率的统计平均值(1)算术平均速率算术平均速率average speed dvvvf)(0(2)方均根速率方均根速率 root-mean-square

32、speed dvvfvv)(022mkT8molMRT8molMRT6 . 1mkTv32molMRT3molMRT73. 1dvvekTmvkTmv220223)2(4dvvekTmvkTmv2202223)2(4NvdNv考研数学考前必备重点题型级数31(3)最概然速率最概然速率vp most probable speed 最概然速率是指在任一温度最概然速率是指在任一温度T时时,气体中分子最可能具有的速率值。气体中分子最可能具有的速率值。0mkTvp2(4)三种速率的关系三种速率的关系2vvvppvvvkTmvkTmvekTmvvekTm2)2(42232222dvdfmolMRT2mol

33、MRT41. 1某一温度下分子速率的三个统计值某一温度下分子速率的三个统计值vpvv2即在即在v =vp时时,分布函数应有极大值。分布函数应有极大值。f（v）vo考研数学考前必备重点题型级数32问题问题:如图如图(1)所示所示,三条曲线分别代表同一种气体在不同温度下的速三条曲线分别代表同一种气体在不同温度下的速率分布曲线率分布曲线,试判断它们所代表的温度关系。试判断它们所代表的温度关系。答答 :T1T2T3图图(1)f（v）vof(vp3)vpf(vp1)f(vp2)T1T3T2考研数学考前必备重点题型级数33如图如图(2)所示所示,三条曲线分别代表同一种温度下不同分子的速率三条曲线分别代表同

34、一种温度下不同分子的速率分布曲线分布曲线,试判断它们所代表的质量关系。试判断它们所代表的质量关系。答答 :m3m2r0 时两分子相时两分子相互作用表现为引力。当互作用表现为引力。当 rs)相互作用力几乎为零相互作用力几乎为零 。当两个分子中心距离为。当两个分子中心距离为 d 时时斥力无限大。斥力无限大。一、分子引力所引起的体积修正：一、分子引力所引起的体积修正：将气体分子视为刚性球，则分子本身占有体积将气体分子视为刚性球，则分子本身占有体积 ，容器容积应有，容器容积应有修正。这时一摩尔气体所占的可被压缩的空间体积不再等于修正。这时一摩尔气体所占的可被压缩的空间体积不再等于Vm ，而应该等于，而

35、应该等于Vm 减去一个反映气体分子本身体积的修正项减去一个反映气体分子本身体积的修正项 b。一摩尔气体一摩尔气体bVRTpm理论指出理论指出 b 约为一摩尔气体分子本身总体积的约为一摩尔气体分子本身总体积的 4 倍。估算倍。估算 b 值值 10 -6 （m3）=1（cm3）。）。注意：通常情况下注意：通常情况下 b b 可以忽略，但压强增大，容积缩小到可与可以忽略，但压强增大，容积缩小到可与 b b 相相比拟比拟时，时，b b 的修正就必须考虑了。实际的修正就必须考虑了。实际 b b 值要随压强变化而变化。值要随压强变化而变化。 考研数学考前必备重点题型级数43ss二、分子引力所引起的压强修正

36、：二、分子引力所引起的压强修正：容器中的容器中的分子分子 ，凡位于以，凡位于以 为球为球 心，以分子有效作用距心，以分子有效作用距离离 S 为半径的球内的分子都对为半径的球内的分子都对 有引力作用其效果是引力平均有引力作用其效果是引力平均值为零。值为零。 处于器壁附近厚度为处于器壁附近厚度为S 的表面层内的分子的表面层内的分子由于引力作用由于引力作用的分子分布不对称，平均来说的分子分布不对称，平均来说受到一个指向气体内部的合力。受到一个指向气体内部的合力。这层气体分子受到的指向气体内部的力所产生的总效果相当于这层气体分子受到的指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，称一个指向内

37、部的压强，称内压强内压强 pint 。考研数学考前必备重点题型级数44intpbVRTpm气体分子实际作用于器壁的压强气体分子实际作用于器壁的压强22int1mVnp2intmVapn分子数密度，分子数密度， a分子引力常数。分子引力常数。三、三、 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程RTbVVapmm)(2质量为质量为M 的气体的气体Mmol为气体的摩尔质量为气体的摩尔质量RTMMbMMVVaMMpmolmolmol)(222一摩尔气体一摩尔气体考研数学考前必备重点题型级数45液液汽液共存汽液共存汽汽气气KABCDGEFoVmP考研数学考前必备重点题型级数462.9 气体分子的平均自由程气体分子的平

38、均自由程一、气体分子的碰撞过程一、气体分子的碰撞过程每两次连续碰撞之间每两次连续碰撞之间一个分子自由运动的平均一个分子自由运动的平均路程。路程。三、三、 平均自由程平均自由程 ：mean free path二、平均碰撞频率二、平均碰撞频率Z：mean collision frequency设分子的平均速率为设分子的平均速率为 vzv考研数学考前必备重点题型级数47ddd围绕分子的中心围绕分子的中心,以以 d为半径画出的球叫做为半径画出的球叫做分子的作用球分子的作用球。(1)假定每个分子都是直径为假定每个分子都是直径为d 的刚性小球的刚性小球;(2)假定一个假定一个A分子以相对速率分子以相对速率

39、 u 运动运动,其它分子都静止不动其它分子都静止不动;当当A分子与其它分子作一次弹性碰撞时分子与其它分子作一次弹性碰撞时,两个分子的中心相隔距离就是两个分子的中心相隔距离就是d。d2dAu围绕分子的中心围绕分子的中心,以以 d为半径画出为半径画出的截面叫做分子的的截面叫做分子的碰撞截面碰撞截面。以以A分子中心的运动轨迹为轴线分子中心的运动轨迹为轴线,以以 d 为半径做一曲折的圆柱体为半径做一曲折的圆柱体d2d考研数学考前必备重点题型级数48d2dAu在在t 时间内时间内,分子分子A走过的路程为走过的路程为:tut 时间内时间内,以以A分子中心的运动轨迹为分子中心的运动轨迹为轴线轴线,以以 d

40、为半径的圆柱体体积为半径的圆柱体体积:tudtu2设单位体积内的分子数为设单位体积内的分子数为n, 则该体积内的分子总数为则该体积内的分子总数为:tudn2即在即在t 时间内时间内,分子分子A碰撞的次数为碰撞的次数为:tudn2unttunz平均碰撞频率平均碰撞频率 Z：vu2vdnunz22考研数学考前必备重点题型级数49平均自由程：平均自由程：zv221dnnkTp pdkT22对于空气分子对于空气分子,在标准状态下在标准状态下:md10105 . 3m8109 . 6sz/105 . 69所以平均自由程与温度成正比所以平均自由程与温度成正比,与压强成反比。与压强成反比。考研数学考前必备重

41、点题型级数50练习练习1:一个大热气球的容积为一个大热气球的容积为 2.110 4 m3,气球本身和负载质气球本身和负载质量共量共4.5 10 3 Kg ,若外部空气温度为若外部空气温度为20C,要想使气球上升要想使气球上升,其内部空气最低要加热到多少度其内部空气最低要加热到多少度?标准状态下空气的密度标准状态下空气的密度:设热气球外空气的密度设热气球外空气的密度:设热气球内空气的密度设热气球内空气的密度:nkTp 3kg/m29. 1o12由于热气球内外空气压强相同由于热气球内外空气压强相同(均取一个大气压均取一个大气压):ooTTT2211温度温度:1T温度温度:2T温度温度:K2730T

42、T1T212考研数学考前必备重点题型级数51由热气球所受浮力与负载重量平衡可得由热气球所受浮力与负载重量平衡可得:VgmgVg21mVTTToo)11(21C84o112mTTVTTVToooomgVg )(21T1T212考研数学考前必备重点题型级数52练习练习2:一容器被中间的隔板分成相等的两半一容器被中间的隔板分成相等的两半,一半装有氦气一半装有氦气,温温度为度为250K;另一半装有氧气另一半装有氧气,温度为温度为310K，二者压强相等。求去，二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。掉隔板两种气体混合后的温度。1111RTVp混合前混合前,对于氦对于氦:2222RTVp由于压强相同

43、由于压强相同:2211TT混混 合前的总内能合前的总内能:21oooEEE22112523RTRT混混 合后的总内能合后的总内能:21EEE1128RTRTRT212523RTTT121)2523(混合前混合前,对于氧对于氧:考研数学考前必备重点题型级数53K284310/250532508/538211TTTT由于混合前后的总内能不变由于混合前后的总内能不变:EEo1128RTRTTT121)2523(考研数学考前必备重点题型级数54CNdvdNvf)(练习练习3:有有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为)0(0 vv)(0vv 0)(vf（1）作速率分布曲线）作速率分布曲线（

44、2）由）由 vo求常求常 数数C（3）求粒子的平均速率）求粒子的平均速率考研数学考前必备重点题型级数55f（v）vovo（1）速率分布曲线）速率分布曲线（2）由归一化条件）由归一化条件（3）粒子的平均速率）粒子的平均速率0)(dvvf10ovCvCdvoovC/1dvvvfv)(0CvvCdvov20021oovvv2112120解：解：考研数学考前必备重点题型级数56容器中储有容器中储有1.013105 Pa, 300K的氧气。求：的氧气。求： 解题思路解题思路 题目给的是宏观量题目给的是宏观量 p 和和T, 求的是微观求的是微观量的统计平均值量的统计平均值 n、m、l、 等等 ，选用相应的

45、公式，选用相应的公式即可求得。即可求得。（1）单位容积内的分子数）单位容积内的分子数 n（2）分子的质量）分子的质量 m（3）密度）密度 （4）分子间平均距离）分子间平均距离 l（5）平均速率）平均速率 （6）方均根速率）方均根速率（7）分子平均平动动能）分子平均平动动能（8）分子平均动能）分子平均动能v2v kE考研数学考前必备重点题型级数57解：解： （1）由）由p=nkT 得得)(1045. 23001038. 110013. 1325235 mkTpn（2）)(1031. 510023. 61032262330kgNMmmol （3）)/(30. 11031. 51045. 23262

46、5mkgnm （4）设每个分子占据一个边长等于平均距离）设每个分子占据一个边长等于平均距离 l的的小立方体，即：小立方体，即：)(1044. 31045. 21193253mnl 13 nl（5）)/(1047. 4103230031. 860. 160. 1823smMRTMRTvmolmol 考研数学考前必备重点题型级数58（2）温度相同，说明分子的平均平动动能相等，）温度相同，说明分子的平均平动动能相等，但但 和和 却与分子种类有关。却与分子种类有关。)/(1083. 4103230031. 873. 13232smMRTvmol )(1004. 13001038. 125252023J

47、kTEk （6）（7）（8）讨论：（讨论：（1）由）由 可见，分子数密度与可见，分子数密度与p成成正比，与正比，与T成反比。成反比。)(1021. 63001038. 123232123JkT kTpn/ v2vmkTv 8 mkTv32 （3）分子的平均动能与分子的自由度有关，自由度）分子的平均动能与分子的自由度有关，自由度愈多，分子的平均动能愈大（在一定温度下）。愈多，分子的平均动能愈大（在一定温度下）。考研数学考前必备重点题型级数59解：解：设氢气的分子数为设氢气的分子数为N，速率在速率在30003010m/s之间的分子数之间的分子数 N1 为：为：设氢气的温度为设氢气的温度为 300。

48、求速率在。求速率在30003010m/s之间的分子数之间的分子数 N1 与与速率在速率在15001510m/s之间的之间的分子数分子数 N2 之比。之比。解题思路解题思路 根据麦克斯韦速率分布律根据麦克斯韦速率分布律vevkTmvvfNNkTvm 22232)2(4)( 写出速率在写出速率在30003010m/s之间的分子数之间的分子数 N1 及及速率在速率在15001510m/s之间的分子数之间的分子数 N2 的表达式，的表达式，然后相比可得。然后相比可得。12212311121)2(4)(vevkTmNvvNfNkTvm 考研数学考前必备重点题型级数60由于由于v1 =v2 , Mmol=

49、N0 m讨论：讨论：同理，速率在同理，速率在15001510m/s之间的分子数之间的分子数 N2 为：为：22222322222)2(4)(vevkTmNvvNfNkTvm 根据题意根据题意smv/30001 )/(10300030101smv smv/15002 )/(10150015102smv %9 .96)(2exp2122222121 vvRTMvvNNmol)()()()(/2122112121vfvfvvfvvfNNNNNN 两个速率区间的分两个速率区间的分子数之比恰等于两子数之比恰等于两速率所对应的分布速率所对应的分布函数之比。函数之比。考研数学考前必备重点题型级数61（2）平

50、均速率：）平均速率：在标准状态下，在标准状态下，1 m3 中有多少个氮气分子？中有多少个氮气分子？氮气分子的平均速率为多少？平均自由程为多少？平氮气分子的平均速率为多少？平均自由程为多少？平均碰撞次数为多少？设氮分子的平均有效直径均碰撞次数为多少？设氮分子的平均有效直径 d =3.7610-10m.nkTpVNn 或0解题思路解题思路 n 可用两种方法求得可用两种方法求得)(1068. 2104 .221002. 63253230 mVNn解解：（：（1）或：或：)(1068. 22731038. 110013. 1325235 mkTpn)/(1055. 4102827331. 860. 160. 123smMRTvmol 考研数学考前必备重点题型级数62（3）平均碰撞次数：）平均碰撞次数：)/(106 . 74551068. 2)1076. 3(14. 3414. 129252102svndz次 （4）平均自由程：）平均自由程：)(1096. 51068. 2)1076. 3(14. 3414. 11218252102mnd