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1、x正弦、余弦、正切函数图象和性质函 数正弦函数 y sinx,x R余弦函数 y cos x, x R正切函数y tan x, x k2有界性有界有界无界疋义域(,)(,)x | x k , k Z2值 域1,1当 x 2k (k Z)时，ymax12当 x- 2k (k Z)时，2ymin11,1当 x 2k (k Z)时，ymax1当 x2k (k Z)时，ymin1(,)周 期性是周期函数，最小正周期T 2是周期函数，最小正周期T 2T奇 偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称奇函数，图象关于原点对称单 调性在2k，一 2k ,(k Z)2 2上是单调增函数在一 2k ,2
2、k , (k Z)2 2上是单调减函数在2k ,2 2k , (k Z)上是单调增函数在2k ,2k , (k Z)上是单调减函数在(一k , k ),(k Z)2 2上是单调增函数对 称轴x k,(k Z)2x k ,(k Z)对 称中 心(k ,0) (k Z)(k-,0) (k Z)2kCy,0) (k Z)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像-5372 ”-丁1T Vx2*伽-4-7-3 、一-2-3-1o253 J. 4222y=ta nxJJJ1Jrjr yy；11/ /I r / /yy=cotx111i1!iI13f-21fJ1Jffo2fIIi1I LoIIX21三角函数的性质
3、1 定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx.八黒 -型三角函数的奇偶性（i）g（x丄 丁（xR）(x)为偶函数-U 山呂 in（曲+ 训+ e二匕T +七W E）由此得-同理 或劝=丿血(阪+呦肚丘)为奇函数u 如卩二 0 吕貯=匕吋上亡)丘） Q.I 二一 L : C 2. 为偶函数；.匚 一一.S 为奇函数O 炉=Rr+ (he 7)3、周期性1)基本公式(i)基本三角函数的周期y= sinx , y= cosx 的周期为; y = tanx , y = cotx的周期为；T(ii) ，：型三角函数的周期尹=幻 n
4、(购 + 朝 +匕尸=+炉)+上的周期为同y=cosxP =tan（处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为 91 .（2）认知（i） 卜巳-，?|型函数的周期y = pisin(伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)|的周期为7Ty = |j4tan(dft + 训,y=血 ot伽 + 训的周期为 = |了（曲+卩）+円往无0）的周期 =|血 （血工+朝胡 =|1 （：0（处+上|y = |tan(&r + ) +円 j =凶诃(你+昉+刈的周期为；7T的周期为均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变注意这一点与（i）的区别（ii）若函数为-二 型两位函数之和，则探
5、求周期适于“最小公倍数法”.（iii）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明（3）特殊情形研究y 二门 彳J的解析式施加绝对值后，该函JT(i)y=tanxcotx 的最小正周期为；y = sin z|+|co5z|7T的最小正周期为二；7T（iii）y = sin4X + cos4x 的最小正周期为 二.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1） 基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：1选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；2写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）
6、；3获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2）丁 型三角函数的单调区间2，此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为1换元、分解：令 u=，将所给函数分解为内、外两层：y 二 f (u), u ;2套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于 u 的不等式；3还原、结论：将 u=A 代入中 u 的不等式，解出 x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论正弦、余
7、弦、正切、余切函数的图象的性质:/y si nxy cosxy tanxycotxy(A、As in x 0)定义域RRx | x R 且 x k 1 ,k Zx|xR 且 x k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数2k 1 ,k , k2 2k,k1 上为减函2 2k ,2k ;数 (kZ )2k2(A),2k 上为增函上为增函数2数(k Z )2k1上为增函2k ,2( A(A)数；2k 1 单调性上为减函上为增函数；【22k ,数2k3(k Z )2(A),2k 22k3上为减函2_ / A数(k Z )(A)上
8、为减函数(kZ )注意：ysinx与y sinx的单调性正好相反；y cosx与y cosx的单调性也同样相反.一般sin x与y COS x的周期是.y sin( x )或y cos( x )的周期为2(T2(k Z)，对称中心(k ,0) ;y cos( x )的对称轴方o) ；y tan( x )的对称中心(,0).,o2地，若y f(x)在a,b上递增(减)，则y f (x)在a,b上递减(增).2，20)的周期T .如图，翻折无效).y sin( x )的对称轴方程是程是x k(k Z)，对称中心(k-2关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数:f( x)f (x)，奇函
9、数：f( x) f (x)奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数,tan(x1）是非奇非偶.（定义域不3关于原点对称）奇函数特有性质：若 0 x 的定义域，则f （x）一定有f（0）0.(0 x 的定义域，贝 U 无此性质）y sinx不是周期函数；ysin x为周期函数（T）;cosx是周期函数（如图）；ycos x为周期函数（T） ；1的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期,例如:y f(x) 5f (x k), kR.y a cosb sin.a2 2b sin() cos二、形如yA sin( x）的函数：11、几个物理量：A振幅；f频率T2、函数yAsin
10、( x）表达式的确疋：定，如f（x） A sin( x)(A0,0,|相位;|2）的图象如图所示，则f（x）1/2y=| cos2x+1/21图象初相;由图象上的特殊点确3 .函数y A sin( x)B (其中 A 0,0）最大值是 A B，最小值是 B A，周期是J 最小正周期Tn频率是f厂相位是x，初相是其图象的对称轴是直线xk2(k Z)，凡5当tan tan 1,k y（k Z）;tan tan 1,kfk Z）.6y cosx与y sin x 2k是同一函数，而y （ x）是偶函数，贝 U21y （ x ） sin（ x k ） cos（ x）.27函数 y tanx 在 R 上为
11、增函数.（为只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是f （x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件:y cos 2 x原点对称cos( 2x) cos 2x是定义域y= cos|x|图象yy(答: f(x)A 由最值确定；由周期确定;cos2x2（周期的倒数）;x2sin(15x -);b有a2b2y.a22是该图象与直线y B的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin（ x ）性质的方法：类比于研究y sin x的性质，只需将y Asin（ x ）中的 x 看成y sinx中的x，但在求y Asin（ x ）的
12、单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。如A。，。）的简图，是将x看着一个整体，先令x忖牛2列表求出对应的x的值 与y的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。图象变换法： 这是作函数具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩函数y Asin（ x ） k的图象与函数y sin x的图象之间可以通过变化A ， ，k来相互转化.A影响图象的形状，k影响图象与x轴交点的位置.由A引起的变换称振幅变换，由 引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由 引起的变换称 相位变换，由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换.既可以将三角函数的图象先平 移后伸缩也可以将
13、其先伸缩后平移.（一）先平移后伸缩向左（0）或向右（0）ysin x的图象平移1|个单位长度得ysin (x)6.函数y Asin(x )k的图象与y si nx图象间的关系：图象变换（1）振幅变换 ysin x, xR所有点的纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）到原来的 A 倍y A sinx,x R所有点的横坐标缩短（11）或伸长（0 1）到原来的倍（2）周期变换 ysin x, xRysin x, x R（3）相位变换 ysin x, xR所有点向左（0）或向右（0）平移 1 1 个单位长度ysin (x),x R简图常用方法=由ysin x图象推y Asin( x）k的图象上下平移
14、（纵向平移变换）:是由 k 的变化引起的.k 0,上移；kv0,下移（1）函数y sin（ 2x ）的递减区间是3（2）y logicos（-一）的递减区间是_234一一(答: k（答：6k51234,k,6k5、函数y Asin（ x ）图象的画法：（1 ）利用“五点法”作函数(k123T(kAsin( xZ） ；Z） ；),x R(其中ysin (x）的图象横坐标伸长（0 1）1到原来的一（纵坐标不变）得ysin( x )ysin( x）的图象纵坐标伸长（A 1）或缩短（0A1）为原来的 A 倍（横坐标不变）得yAsin( x)yAsi n(向上（k 0）或向下（k 0）x）的图象平移 k
15、 个单位长度得yAsin(x )k图象（二）先伸缩后平移纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）y sin x的图象为原来的A倍（横坐标不变）得yAsinx.横坐标伸长（01）或缩短（1）- . .yAsinx的图象到原来的丄（丄（纵坐标不变）得ysin（x）向上（k 0）或向下（k 0）y Asinx（ x ）的图象平移|k|个单位长度得y Asin（ x ） k图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 特别注意，若由 y sin x 得到 y sin x的图象，则向左函数 y 2si n（2x -） 1 的图象经过怎样的
16、变换才能得到-）1向上平移 1 个单位得y 2sin（2x -）的图象，再向横坐标扩大到原来的 2 倍得y2sinx的图象，最后将纵1坐标缩小到原来的丄即得y sin x的图象）;2三、正切函数 y tanx 的图象和性质：（1 ）定义域：x|x k ,k Z。（2）值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值；2（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线 y a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其 周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，k - k k Z内都,0k
17、Z2对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正（余）切型函数的x轴的交点，但无对称轴，这是y Asin( x)的图象向左（0）或向右（0）平移个单位得y Asinx( x或向右平移应平移| |个单位，例如:y sinx的图象？（答：y 2sin（2 x左平移-个单位得y 2sin2x的图象,其它不定。如y sin1 2x, ysinx的周期都是，但y sinxCOsx的周期为，而胪人契耙仪+沟丿）yy 邻中心轴相距雪 f4补邻中心 |X3-X4|=T/2彷邻轴 |X1-X2|=T/2无穷对称中心：无穷对称轴：由 y=0 确定由 y=A 或-A 确定与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间是增函数。但三注函数图2 2；上质具有单调性。三角函数图象几何性质质y=Atantan（x+（）1y |2sin(3x -) -|,y |2sin(3x -) 2|，y |tanx|的周期不变;
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