2018-2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷2-包含解析)

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1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试课标 II 理科数学【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第I卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一。试卷坚持对 基础知识、基本方法与基本技能的考查，注重数学在生活中的应用。同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中有降略。具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大，概率统计一大一小，立体

2、几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大（或两小一大）。2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的考试大纲（数学）中增加了数学文化的考查要求。2017高考数学全国卷II理科第3题以算法统宗中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以以养殖水产为题材，贴近生活。3.注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的

3、应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。2.立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在 一起考查，解答题一般分2进行考查。3解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运 算量，难度有所降低。4.三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基本量求 通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题

4、中一般会有一道与三角函数性质有 关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活的特点。【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：J3+iI =2-i，故选Do1 +i2【考点】复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时,要注意利用共轭复数的性质：若Z1,Z2互为共轭复数，则Z1Z2=IZ1I2=IZ2I2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。2.设集合A= 1,2,4,B= x x2-4x + m =oh若= 1，则E =()A.1,-3?B.1,0?C.11,3?D.d,5?【

5、答案】C【解析】试题分析：由ADB = p得ME,即兀二1是方程x:-4x+w = o的根，所以1-4十啣=0加二孑，g打故选Co【考点】交集运算，元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题彩响较犬特别杲含有字母的集合在求出宇母的11后要注意检峻集合中的元素是否满足互异性。两个陶范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性&国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几2该组合体的体积为：V二y=36二 27二=63二。故选B。【考点】 三视图；组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个

6、视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何 体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正 视图和俯视图为主， 结合侧视图进行综合考虑。 求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直 观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。1.、选择题：本题共A.1 2iB【试卷解析】12小题，每小5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 -2iC2-i3.我盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A. 1盏B.3盏C

7、.5盏D.9盏【答案】B【解析】试題分析：i殳塔的顶层共有灯斗盏，则各层的灯数构成一个首项为X,公比为2的等匕樹列，结合等比数xx(l-27)列的求乐吆式有：- = 381,解得工=3,即塔的顶层共有灯孑盏，故选氏1 【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点晴】用数列知识解相关的实际冋题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型一列模型，判 断量等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系冋题， 所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值冋题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放 回到实际问题中进行检验，最终得出结论匚4.如图，网格纸上小正方

8、形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()A.90二B.63二C.42二D.36：2 2【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体 积2 1*2V)=恵爼3 4 =36二，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体积V3 6二27二,2x 3y3 _ 0|5.设x,y满足约束条件2x 3y，3亠0，贝U z = 2x y的最小值是（）y 3 _0A.-15B.-9C.1D.9【答案】A【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标国数即 S 其中E表示斜率为

9、的直线系与可行域有交点时直线的载距值数形结合可得目标函数在点2（-6,-釘处取得最小值z = -12-3 = -15,故选肛【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标的数尸仮+加居0）的最值，当Q0时，直线过可行域且在丁轴上截距最大时 工值最大，在丁轴截距最小时，壬值最小！当此0时，直线过可行域且在丁轴上截距最大时，二值最小，在F轴上截距最小时：:值最大排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有2323C4种方法，然后进行全排列

10、A3即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C4A =36种方法。 故选Dt【考点】排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或 位置）。6.安A. 12种.18种.24种.36种（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部 分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2

11、位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上 信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解折】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人貝好，乙看到丙的结果则知道目己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果贝联D道自己的结果与甲的结果相反，即乙 丁可汰Ml自己的成绩故选D【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一nfi结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个

12、数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是合乎情理的推理，它得到的结论不一定正确。而滝绎推理得到的结论一定正确:前提和推理形式都正确的前提8.执行右面的程序框图，如果输入的a - -1，则输出的S =（）A. 2【答案】B【解析】试题分析：阅读溢程画 初始慚值7 匕S = 0循环结果执行如下:第一次：S = 01 = L(J= 17 = 2j第二夬：S = 1+2 = la = -l,A = 3；第三次：S = l_3二一2卫二1用二4.；第皿尖：S = 2+4 = 2:df = -Lfc = 5 5第五次：S=2-5 = -la = U=6；第丸欠：5 = -3 + 6

13、= 3lfl= -l = 7亍结束循环，输出5=3 o故选【考点.】流程图【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框團的思踣 要明确程序框團的顺序结构、条件结构和循环结构。P)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际冋题。(3)按照题目的要求完成解答并验证。22y1（a 0,b 0）的一条渐近线被圆x-2y2=4所截得的弦长为2,则C的离心b2【答案】【解析】试题分析：由几何关系可得双曲线二-二=1（“0上0）的渐近线为：a.Ym =0,口亠 扩圆心（20）到渐近距离为：日4“二屈不妨考査点（2R）劃直绒bx+qy=Q的距寫:d=二空= =3,筋亠亠扩 &4（?-a;）、即：=3,整理可得：

14、双尅戋的禽 X占一胡=人故选汕【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是戏曲线最重要的几何性质，求赵曲线的离心率（咸离心率的取值范围），常见 有两种方法；1求出 6 代入公式金二匕？a2只需要根据一个条件得到关于 6X t的齐次式，结合醉=卞-炉轻化为 6 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除匕2或用转化为关于。的方程不等式），解方程（不等式即可得咚的取值范围“10已知直三棱柱 2c-ZimiCi中，=120%，丄三=2,mc=cci=i，则异面直线亠与m Ci所成角的余弦值为（）【答案】C29.若双曲线C：笃a率为（A. 2.3 Ci55_?

15、05_J3不同。若f（x）在（a,b）内有极值，那么f（x）在（a,b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。DGABB5eBD.1C【解析】试題分析：如團所示补成四核柱.IBCD-C则所求角为BCy= JID = 721+ l-2x2xlxcos60D=賦賦C】D= =隔隔= =逛逛因狀皿”务半，故选c。x = -2是函数f(x) =(x2，ax -1)ex4的极值点，贝U f (x)的极小值为()【答案】A【解析】x 12x 12x 1试题分析：由题可得f(x)=(2x，a)e (x，ax-1)e=x (a 2)x-1e因为f (-2) =0,所以a 1，f (x) =(

16、x2-x-1)ex4，故f (x) =(x2x-2)ex令f (x) 0,解得x：-2或x 1，所以f(x)在(：，-2),(1,=)单调递增，在(-2,1)单调递减所以f (x)极小值为f 1 =(1一1一1)上-1，故选A。【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用【名师点睛】平移线段法是求异面產戋所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面冋題化归为共面问题来解决具体步寢如下:平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的甬认定：证明作出的角就是所求异面直线所咸的角;计算：求该角的值，常利用解三角形;取舍：由异面直线所成的角的取值范围是卫专v当所作的甬为钝角时，应取它的补

17、角作为两条异面直线所成的角O求异面直线所成的角要特别注青异面直线之间所成角的范围。11.若A. -1【考点】函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数y=f(x)在点xo处取得极值的充要条件是f(xo)=0，且在xo左侧与右侧f(x)的符号12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA （PB PC）的最小是（）A. -2B.3C.4D.-123【答案】B【解析】试题分析:CUC为兀轴，眈的垂直平分线加为F轴Q 为坐标原点建立坐标，则我a班70）,cao），设尸（兀刃，所以西=（一兀苗一刃，西=（一1一览一刃，PC=（I-X1-J）所以PB + PCPA（PB+P

18、C）= 2宀叮（J5-勿=2?.1当只（）时，所求的最小值为-二故选乱【考点】平面向量的坐标运算,函数的最值【容师点晴】平面向重中有黄最值冋题的求解通常有两种思路：一罡;形化i即利用平面向量的几何意又将 冋题转化为平面几何中的最値或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是赞化 s 即利用平 面向量的坐标运算，把冋题韩化为代数中的函数最值与倩域、不等武的解集、方程有解等问题然后利用 函数、不等式、方程的有关知识来解决。填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件， 有放回地抽取100次，工表示抽到的二等品件数, 贝yD工=

19、。【答案】1.96【解析】 试题分析：由题意可得抽到二等品的件数符合二项分布，即1兀乂02),由二项分布的朗望公式 可得DX = np(l-p = WQ 0.02x0.98 = 1.96。【考点】二项分布的期望与方差【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布墓看两点：-是是否为花次独立重复试验。在每友试验中事件左发生的概率罡否均为严。二是随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生的次数。且戸(X = Jt) = Cpk(1-戸广，表示在独 立重复试验中，事件上恰好发生k次的概率中【答案】1【解析】 试题分析：化简三角函数的解析式:3if x = 1-cos2x .3cosx cos2x、3

20、cosxcosx44由自变量的范围：x0,可得：cosx- 0,1丨IL 2【考点】三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等 式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效 方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。【答案】-n +1【解析】 试题分析：设等差数列的首项为a1，公差为d，14.函当cosx =时,函数f x取得最大值1。15.等差数列：an的前n项和为Sn，a3=3，1S4=10，则 7kSk数f x=s

21、in2的最大值是a12d=3a1由题意有：彳4工3，解得彳，4耳4 3d =10d =12氓*n(n1)n(n1)n(n+1数列的刖n项和Sn二naid = n 11 =22 21 2(1 1裂项有：2，据此：Skk(k+1)(k k+1丿=2 11一丄=21k4Sk _22 3【考点】 等差数列前n项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,S,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要

22、注意正负项相消时消去了哪些项，保留 了哪些项，切不可漏写未被消去的项， 未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。16.已知F是抛物线C: y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN =_。【答案】6【解析】试题分祈：如图所示/不妨设点M位于第一象限设抛物线的准线与兀轴交于点F,做做A/3_/与点E与点虫由抛物线的解祈式可得准线方程为“七七则,V = 2:FF1= 4,JV+FF在直角梯形見VFF中中位线加 一=3f由抛物线的定义有：MF = AB = 3,结合题意，有=线段FN的长度：|EV| = |K/|+卜珊（ =3 +

23、3 = 6.2n- 。n n 1n 1 n 1【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义 就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、 焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离， 这样就可以使问题简单化。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60

24、分。17.（12分）2BABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin A C =8sin -，（1）求cos B；（2）若a，c=6，ABC的面积为2，求b。15【答案】cosB =17（2）b= 2。【解析】试题分析:利用三甬形内角和定理可知A + C=T-B，再利用诱导公式化简sinU+C）,制用降靠公式化简结合気订=1求出cosJ；利用 中结论B=90利用勾股定理和7J面积公式求出口+c ac,从而求出b 试题解析：（1）由題设及A+B+C = 7Tfsiti =8sinz?故sinE =4（1匚3月）。rJ上式两边平方，整理得17COS25-32COS+15 =解得cos

25、5 = l舍去），17g14. _ * 宙cos S = f亍sin S j古勿S屈亡=口f sin= GC&ITi rii ?17又j.ASCf则C二o由余弦定理及也=6得:b* =+c2 2af cos B二I L7 - C ._-2uC I 1- COSB |所叹b=2o【考点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式。【名师点睛】解三角形冋题是高考高频考点命题大多放在解答题的第一题，主要刑用三角形的内角和定 理，正、余弦定理、三角形面枳公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进亍边转角角转边3另外要注意口十三者的关系这样的题目小而活，备受老帅和学生的欢迎。(12分)海水养殖场进行某水

26、产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量v50kg箱产量50kg旧养殖法18.的产量(单位：kg)某频率分布直方图如下：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)(2)新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)(2)2n(ad -be)K二(a+b

27、)(c+d)(a +c)(b+d)【答案】(1)0.4092；(2)有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)52.35kg。【解析】试题分析：首先利用独立事件概率公式求得事件A的概率估计值；写出列麻表计算K項卩可确走有韓的把握认为箱产量与养殖方法有关,结合频率分布直方图估计中位数为5235 c试题解析1)记/表示事件旧养殖法的箱产量低于5Qkg , C表示事件噺养殖法的箱产量不低于沁沁- -由题意知P(/) = P(BC) =P(B)F(C)旧养殖法的箱产量低于盹盹的频率为(0.012-0.014+0.024-0.034 +0.0401x5 = 0.62,故尸 3)的估计值为山62新养殖

28、法的箱产量不低于50的频率为(0.068 + 0,046 +0.010+0.008)x5 =666,故P(C)的估计值为0. 66因此，事件A的概率估计值为0.62 xO.66 = 0.4092 根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法6238附：P(K2k)0.0500.0100.001k3,8416,63510.8282(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)(2)新养殖法34661052220062 6634 38K215.705100灯00汉96汉104由于15.705 . 6.635，故有99%的把握认为箱产量

29、与养殖方法有关。（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方團中，箱产量低于丸炬的直方團面枳为（0.004 4-0.020+0.044）x5 =0.34 0.5 ,0 J0 34故新养殖法箱产量的中位数的估计值为旳+；鳶轰52.35俺）。0.068【考点】独立事件概率公式；独立性检验原理；频率分布直方图估计中位数申【名师点睛】剎用独立性检殓，能够帮助我们对日常生活中的实际冋題作出合理的推断和预测。独立性检 脸就是考察两个分类变量星否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度随机变量颐测值K：值越 犬说明两个变量有关系啲可能性越大。利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形

30、底边中点的横坐标即是 众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的重心3等于频率 分布直方圉中每个小长方形的面积乘次小长方形底边中点的槿坐标之和。19.（12分）1如图，四棱锥RABC呼，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD AB = BC =AD上BADABC = 90,2E是PD的中点。（1）证明：直线CE/平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45。，求二面角M - AB - D的余弦值。【答案】（1）证明略;。【解析】试题分析：取皿的中点连结EF , EF,由题童证得CEII BF,利用线面平行的判断定理即可证得结论；建立空

31、间直角坐标系，求得半平面的法向量：TQ-曲曲, ,M=(001),然后利用空间向量的结论可求得二面角U-AB-D的余弦值为壘* 试题解析：(1) PA的中点F,连结防，BF.因为是尸。的中点，所以以EF H AD EF = -AD由亠亠D二厶二厶BCW得占C月D又BC = -AD所次EFJLBC。四边形BCEF为平行四边形，CE II BF r 又又BF二二平面PABr作工平面PAB,故C平面PAB由已知得BA_AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n二0,0,1是底面ABCD的法向量,(2)P 0,1, 3,=(1,0, - 3)

32、AB =(1,0,0),设M x,y,z 0 x 1则BMx -1,y,z ,PM二x, y T,z 7 3，则A 0,0,0,B 1,0,0,C 1,1,0,I2由，解得彳1|舍去 476设却=（兀風呂）是平面A3M的法向量，贝Um - AM - 0. 即m - AB=0.|2-2llx:+2v?+ =0B*%ffx- = 0.所以可55 = （0:-6;2 j于是cos=因此二面角M钮-D的余弦值为理o【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。设m n分别为

33、平面a,3的法向量，则二面角0与m n互补或相等，故有|cos0|=|cos1=-巴。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。20.（12分）2X2设0为坐标原点，动点M在椭圆C：y =1上，过M作X轴的垂线，垂足为N点P满足NP 2NM。（1）求点P的轨迹方程;设点Q在直线x - -3上，且OP，PQ =1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。0f cos/3/. = sin 45；厂 Zlj（x_ir+F+F又在技兀上，设而二方匚则、从而AV =所以1-丄【答案】X2寸寸=2。证明略。【解析】试题分析：U)设出点P的坐标利用帀血应得到点？与点坐标之间的关系即可求得

34、轨迹方程为F + i：=2 i二利用亦西=1可得坐标关系-齐-/十加-结合中的结论整理可得元- 0,即OO-PF , 1B此即可得出题中的结论。试题解析:(1)设P(斗心设Vl,o):XP = (X-X:=V)SA57 = (0;VC)O由帀二血而得乞-x.y,-y o_-X* I宀因为I E J：I在c上所以,= =1 *因此点p的轨迹方程为X3+，=2 题意知F -1,0。设Q -3,t ,P m,n,则T TTTOQ - -3,t , PF =1 -m, -n ,OQ PF =3 3m -tn,OP = m, n ,PQ = -3-m,t - n。33m -tn = 0。所以OQLPF=

35、o,即OQ丄PF。又过点P存在唯一直线垂直于OQ所以过点P且垂直于OC的直线I过C的左焦 点F。【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0。(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。(4)代入(相关点)法：动点P(x,y)依赖于另一动点Qxo,yo)的变化而运动，常利用代入法求动点F(x,y)的轨迹方程。(2)由由OPLPQ1得-3m-m2tn2 2 2n =1,又由(1)知m，n =2，故21.(

36、12分) 已知函数f x ax ax - x In x,且f x 0。求a；证明：f x存在唯一的极大值点xo，且e :：f xo: 2。【答案】a =1；证明略。【解析】试题分析：(1)*1用题青结合导函数与原函魏的手系可求得日=1,注意验证结果的正确性；结合的结论构造函数h(x) = 2x-2-nxf结合町X)的单调性和力的解析式即可证得題中的不等 式J /(XQ)0等价于gl xinO。因为f (ll = 0f (xi 0 ,因fI li = 0 ,而g lx)111 =df-l?得& =1。x若4 = 1,则g(x) =1- , 3 0 x 1时g(x)0,凶刃单调递増。所以21是呂仗

37、)的极小值鼠故g(“zg(iro综上f口= 1 由(1)知f x = x2x -xln x，f x = 2x2In x。1设h x =2x-2-l nx，贝U h x =2x当x：0,l |时，h(x)0,I 2丿l2丿所以h x在io, 1 i单调递减，在i 1, r：|单调递增。I 2丿12丿又he* I 0?A 0;当疋E(花Jl时，h(x 0 因为f( = h(x),所法 2 总是/O)的唯一极大倩晟由/Xj I = 0得in弋=2(為一I),故门忑丨二壬(1-兀)由XQc (0(11得/( Xj I 川0)=尸。*、罩/所以唸才(对吒2=【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函

38、数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值最值:最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所 臥在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专題在高考中的命题方向反命题角度 从高考来看, 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(D考查导数的几何意义，往往与解析几何、徹积分相联系。利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求夢数。利用导数求的数的最值服值h解二丄f了臥.-=匸刖十忙屮旺厂儿.(二选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22。选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半

39、轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos)- 4。(1)M为曲线G上的动点，点P在线段OME,且满足|OM | |OP16,求点P的轨迹C?的直角坐标方程；兀(2)设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值。3【答案】(1)x-2i亠y2=4 x = 0；2.3。【解析】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后制用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为 仗一2+ 旷二4（0）?二利用中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性庚可得03面积的最犬値为2+ +爲、爲、试題解析：（1设尸的根坐标为硏（硏（E E , ,1的极坐标为

40、& ）1只0）,由題设知|0牛厂网|= p =由0M 0P = 16得C:的根坐标方程芦心站I Q0 | 因此c2的直角坐标方程为（x-2）：+ y:=4（X0N 设点B的极坐标为（呛a）（ps O i由题设知0A = 2tps= 4cosa于罡 g面枳S = i|tL4| 耳耳-sinAAOR当时,S取得最大值2+屁 所以0AB面积的最大值为2 +历。点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几

41、何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。23.选修4-5:不等式选讲（10分）已知a 0,b0,a3b2。证明：(1)(a b)(a5b5) -4；(2)a b乞2。【答案】(1)证明略；证明略。【解析】=4 cos Ct sin.试题分折：第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；第二问剎用均11不等式的结论结合题青证得+硕壬8即可得出结论。试題解析：(0 a-ba +护护I -亠应夕= (a;+b 2ab +ab ct + If Ri=4+Q0T扩扩I4因/ a b -cC +3ab + 3ab*=2 -3ab(a-b)2 + - (a + b)43(a+b)3=1 +-,4所臥(应+盯因此口 +此人【考点】基本不等式；配方法。【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问 題的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题&若不等式 恒等娈形之后若与二次国数有关，可用配方法4