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1、高图教育数学教研组 卢老师专用-1 -、圆的概念圆知识点及定理四、圆与圆的位置关系集合形式的概念：1 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;外离（图1 1)无交点dR r;外切（图2 2)有一个交点dR r;相交（图3 3)有两个交点Rr d R r；2 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合内切（图 4 4）有一个交点内含（图 5 5）无交点轨迹形式的概念:1 1、圆：至 U U 定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径 的圆；（补充）2 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线
2、段的垂直平分线 （也叫中垂线）；3 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离 等于定长的两条直线；5 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直 线距离都相等的一条直线。- 图4图5二、点与圆的位置关系1 1、 点在圆内d2 2、 点在圆上dr点C在圆内;r点B在圆上;3 3、点在圆外d r点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1 1、直线与圆相离dr2 2、 直线与圆相切dr3 3、直线与圆相交dr五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1 1： （ 1 1
3、 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2 2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3 3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧无交点； 有一个交点; 有两个交点;以上共 4 4 个定理，简称 2 2 推 3 3 定理：此定理中共 5 5 个结论中，只要知道其中 2 2个即可推出其它 3 3 个结论，即:AB是直径AB CDCEDE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意 2 2 个条件推出其他 3 3 个结论。 推论 2 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O O中，AB/CD弧AC弧BDOABAD高图教育 数学教研组 卢老师专用
4、六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相 等，所对的弧相等， 即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 1即：AOB弦心距相等。此定理也称 1 1 推 3 3 定理，个相等，则可以推出其它的 3 3 个结论,D0E:AB DE；0C 0F;弧BA弧BD在O O中，ABCD是内接四边形BAD 180DAE即:四边形C七、圆周角定理1 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：A0B和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角A0B 2 ACB2 2、 圆周角定理的推论：推论 1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O
5、 0中，C、D都是所对的圆周角C D推论 2 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O 0中，AB是直径C 90或C 90 AB是直径B D 180C九、切线的性质与判定定理(1 1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN OA且MN过半径0A外端MN是O 0的切线 切线垂直于过切点的半径(如上图) 1 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。(2 2)性质定理：推论推论 2 2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条
6、件中知 道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PA PB推论 3 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，0C 0A 0B ABC是直角三角形或C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上 的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。PO平分BPA十一、圆幕定理(1 1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两 条线段的乘积相等。即
7、：在O 0中，弦AB、CD相交于点P,PA PB PC PD(2 2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半 是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O 0中，直径AB CD,DO高图教育数学教研组 卢老师专用-3 - CE2AE BE行：OD: BD :OB 1: .3:2；(3 3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比A例中项。DAE即：在O O中，- PA是切线，PB是割线P-cPA2PC PB(4 4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到母条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即：在O O中，- PB、PE是割线PC
8、 PB PD PE(2 2)正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，OE:OE: AEAE :OA:OA 1:1:1:1: . . 2 2 :(3 3)正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，AB:OB:OA 1: 3:2. .十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。如图：Q02垂直平分AB。即：TOOi.oO2相交于A、B两点卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式- O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)1)公切线长：RtRt OQOQ2C C 中，AB2CO,O,O22CO22;(2)外公切线长：C
9、O2是半径之差；内公切线长：CO2A1 1、扇形：(1 1)弧长公式：|(2(2 )扇形面积公式:180n R21S -lR3602n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积是半径之和。十四、圆内正多边形的计算(1 1 )正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进COD2 2、圆柱：(1)圆柱侧面展开图S表S侧2S底= =2 rh 2 r2(2)圆柱的体积：Vr2h(2 2)圆锥侧面展开图(1)S表S侧S底= =Rr r2t D1A母线长C1ArB高图教育数学教研组 卢老师专用-4 -(2 2)圆锥的体积：V1r2h3十六、圆中常见的辅助线1)1) .作半
10、径，利用同圆或等圆的半径相等.2)2) 作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距” 间的关系进行证明.3)3) .作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.4)4) .作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.5)5) .作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角.6)6) .遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.7)7) .遇到切线，作过切点的半径，构造直角.8)8) .欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆
11、的半径.9)9) .遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.10)10) .遇到三角形的内心，常作：(1)(1)内心到三边的垂线；(2)(2)连结内心和三角形的顶占八、11)11) .遇相交两圆，常作：(1)(1)公共弦；(2)(2)连心线.12)12) .遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.13)13) .求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一 条直角边.十七、圆中较特殊的辅助线1)1) .过圆外一点或圆上一点作圆的切线.2)2) .将割线、相交弦补充完整.3)3) .作辅助圆.例 1 1 如图 23-1123-11 , CACA 为OO O 的切线，切点为
12、 A A,点 B B 在OO O 上，如果/ CAB=CAB= 5555，那 么/ AOBAOB 等于( ()A.A. 3535B B. 9090C.C. 110110D.D. 120120 例 2 2 如果圆柱的底面半径为 4cm,4cm,母线长为 5cm,5cm,那么侧面积等于()()A.A.加肮拙B B .C C .如亡忆例 3 3 如图 23-1223-12，在半径为 4 4 的O0 0 中，ABAB CDCD 是两条直径，M M 为 0B0B 的中点，延长 C CM M交O0 0 于 E,E,且 EMMCEMMC 连结 OEOE DEDEDE = /?求：EMEM 的长.例 4 4 如图 23-1323-13 , ABAB 是OO O 的直径，PBPB 切OO O 于点 B,B, PAPA 交OO O 于点 C,C, P PF F分别交 ABAB BCBC 于 E E、D,D,交OO O 于 F F、G G 且 BEBE BDBD 恰好是关于 x x 的方程：，：T ： r二( (其中 m m 为实数) )的两根.(1)(1)求证：BEBE= BDBD若LE:-,求/ A A 的度数.23-13国23-12
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