2016年辽宁省部分重点中学高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)

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1、2016年辽宁省部分重点中学高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分每小题的选项中只有一项是正确的.1 已知集合 A=x| - 3vxV3 , B= x| x (x- 4)v0，则 AUB=()A ( 0, 4) B (- 3, 4)C . (0, 3)D . ( 3, 4)1+i2设 i 是虚数单位，若复数 a+-厂一 (a R)是纯虚数，则 a=()A. - 2 B. - 1 C . 0 D . 13. 在等差数列an中，已知 ai=2, a2+a3=13，贝 U a4+a5+*等于()A . 40 B . 42 C . 43 D .

2、 454. 在厶 ABC 中，/ C=90 东=(k, 1) , BC = (2, 3),贝Uk 的值是()33A.5 B. -5 C. D.乙5.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5 次试验，得到 5 组数据(xi,yi),(X2, y2), (X3, y3), (X4, y4), (X5, y5)根据收集到的数据可知x=20,由最小二乘法求得回归直线方程为，=o.6x+48,则丫1+丫2+丫3+丫4+丫5=()A 60 B 120 C 150 D 3006已知点(a,.：)在幕函数 f (x) = (a2-6a+10) xb的图象上，则函数 f(乂)是()A 奇函数

3、 B .偶函数C 定义域内的减函数 D定义域内的增函数7正方体 ABCD - A1B1C1D1中 E 为棱 BB1的中点(如图)，用过点 A , E, C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()ggcosc二0恒成立，则复合命题 PVq、pAq、p中，真命题的个数为()C. 20Qo9设实数 x, y 满足不等式组* 耳.,最优解，则实数 a 的取值范围是()A. (0,1)B. (0,1 C. (- s,-2)D. (-a,-2210已知点 A 为抛物线 C： x =4y 上的动点(不含原点)，过点 A 的切线交 x 轴于点 B，设 抛物线 C 的焦点为 F，则/ ABF

4、为( )A .锐角 B .直角 C .钝角 D .不确定11.2016 年某高校艺术类考试中，共有 6 位选手参加，其中 3 位女生，3 位男生，现这六名 考试依次出场进行才艺展出， 如果 3 位男生中任何两人都不能连续出场， 且女生甲不能排第 一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为()A. 108 B . 120 C . 132 D . 144，一黑、2112 .已知函数 f (x) =，若方程 f(x) +bf (x) +三=0 有六个相异实根，-/+力，K04则实数 b 的取值范围()55A . (-2, 0) B. (- 2,- 1)C . (- , 0)D . (- ：| ,- 1

5、)二、填空题(本大题共4 小题，每小题 5 分)13 .在(a+b)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为_(结果用数字作答).14 .在图中的算法中，如果输入A=2016 , B=98，则输出的结果是 _.15 .己知 a (3 - a) 0，那么一的最小值是 _ .iJa16 .三棱锥 S- ABC 中，侧棱 SA 丄平面 ABC，底面 ABC 是边长为 的正三角形，SA=2 .,则该三棱锥的外接球体积等于 _ .(2, 1)是目标函数z= - ax+y 取最大值的唯一三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .在公比为 2 的等比数列a

6、n中，a2与 as的等差中项是 9 :-.(1 )求 ai的值；n(2)右函数 y=aisin (三工+, 0vv n的一部分图象如图所示， M( - 1,ai),N(3,-ai)为图象上的两点， 设/ MON=0,其中 0 为坐标原点，0v Bv n求 cos (0- 的值.18甲、乙两所学校高三年级分别有600 人，500 人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110 名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如表：甲校：分组70, 80)80, 90)90, 100)100, 110)频数34714分组110, 120)120

7、, 130)130, 140)140 , 150频数17x42乙校:分组70, 80)80 , 90)90 , 100)100, 110)频数1289分组110, 120)120, 130)130, 140)140 , 150频数1010y4(I)计算 x, y 的值；(n)若规定考试成绩在120, 150内为优秀，由以上统计数据填写下面的2X2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；甲校乙校总计优秀非优秀总计(川)若规定考试成绩在120, 150内为优秀，现从已抽取的110 人中抽取两人，要求每校抽 1 人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的

8、概率.n(ad- be)2参考公式：K= r 门|/ 其中 n=a+b+c+d.临界值表:2P ( K ko)0.100.050.010ko2.7063.8416.63519. 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , AC 丄 AB , AD 丄 DC，/ DAC=60 PA=AC=2 , AB=1 .(1 )求二面角 A - PB- C 的余弦值.(2)在线段 CP 上是否存在一点 E,使得 DE 丄 PB,若存在，求线段 CE 的长度，不存在, 说明理由. /VE20.椭圆 Ci：2+ y2=1，椭圆 C2： .2 +；T=1 (ab0)的一个焦点坐标为(，0),a

9、D斜率为 1 的直线 I 与椭圆 C2相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点 H 的坐标为(2,- 1).(1 )求椭圆 C2的方程；(2)设 P 为椭圆 C2上一点，点 M、N 在椭圆 C1上，且-=|+2 正，则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.ln(x+l)21.已知函数 f (x)= 一:-亠L(1) 判断 f(X)在(0, +8)的单调性；(2) 若 x 0，证明：(ex- 1) In (x+1 ) x2.选修 4-1 :几何证明选讲22.如图，PA、PC 切OO 于 A、C, PBD 为OO 的割线.(1) 求证：AD?BC=A

10、B ?DC ；(2) 已知 PB=2 , PA=3，求 ABC 与厶 ACD 的面积之比.选修 4-4 :坐标系与参数方程2 223.在直角坐标系 xOy 中，已知OO 的方程 x +y =4，直线 I: x=4，在以 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交OO 于 A，交直线 I 于 B.(1) 写出OO 及直线 l 的极坐标方程；(2) 设 AB 中点为 M,求动点 M 的轨迹方程.选修 4-5 :不等式选讲1 124.不等式| X-订| 0 恒成立，命题 q：不等式oosA.logcosC 0 恒成立，则复合命题 pVq、pAq、p 中，真命题的个数为(TTcosA

11、根据 A、B、C 的范围，求出 sinB sin ( - - A) =cosA 0，从而求出.仁 d 的范围，进而判断出命题 p, q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可.【解答】 解：由锐角三角形 ABC，可得 1 cosC 0, 0vAv, 0vBvp, =vA+Bvn,A. 0【考B. 1C. 2 D. 3复合命题的真假.【分析】故命题 p 是真命题，命题 q 是假命题；则复合命题 pVq 真、pAq 假、p 假，真命题的个数是 1 个; 故选：B.x09.设实数 x, y 满足不等式组 y- 1 , (2, 1)是目标函数 z= -ax+y 取最大值的唯一 最优解，则实数 a 的取值

12、范围是()A . (0, 1) B . (0, 1 C. (-a,-2) D.(-汽-2【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，禾 U 用目标函数的几何意义，利用2, 1 )是目标函数 z= - ax+y 取最大值的唯一最优解， 得到直线 y=ax+z 斜率的变化，从而求出 a 的取值范围.【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分 ABC ).则 A (1, 0), B (2, 1), C (0, 5)由 z=y - ax 得 y=ax +z，即直线的截距最大，z 也最大.平移直线 y=ax+z，则直线的截距最大时，z 也最大，当 a=0 时，y=z 在 C

13、的截距最大，此时不满足条件，当 a 0 时，直线 y=ax+z,在 C 处的截距最大，此时不满足条件.当 av0 时，直线 y=ax+z,要使，(2, 1)是目标函数 z= - ax+y 取最大值的唯一最优解， 则 y=ax+z 在B 处的截距最大，此时满足目标函数的斜率a 小于直线 BC 的斜率-2,即 av- 2,故选：C.210.已知点 A 为抛物线 C： x =4y 上的动点(不含原点)，过点 A 的切线交 x 轴于点 B，设 抛物线 C的焦点为 F，则/ ABF 为( )1A .锐角 B .直角 C .钝角 D .不确定【考点】抛物线的简单性质.【分析】求导数，确定过 A 的切线方程

14、，解出 B 的坐标，求出；，|：；的坐标，可得计算 =0,即可得出结论.2121【解答】 解：由 x =4y 可得y=x.，二 y - x,x2x0设 A （xo,肓）,贝 V2 1* 0过 A 的切线方程为 y-=：xo（ x - xo）,令 y=0，可得 x= ,：xo,.B ( .：xo, 0), F (o , 1),冠丄z02B? 1二=(xo,_ ),= (-：xo,1),-o,/ ABF=9o 11. 2oi6 年某高校艺术类考试中，共有 6 位选手参加，其中 3 位女生，3 位男生，现这六名 考试依次出场进行才艺展出， 如果 3 位男生中任何两人都不能连续出场， 且女生甲不能排第

15、 一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为（）A. io8 B. 12o C. 132 D. 144【考点】计数原理的应用.【分析】利用间接法，先求出 3 位男生中任何两人都不能连续出场的种数，再其排除女生甲排第一个的种数，问题得以解决.34【解答】解：把 3 名男生插入到 3 名女生所成的 4 个间隔中，故有 A33A44=144 种，女生甲 排第一个，A22A33=12 种，故女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为144 - 12=132 种，故选：C.:-乱x0f(0)=y0f(i5=i+b-FYQ,即b2- 10-2b1或b- 4即-2b 0，那么-a【考点】基本不等式

16、.【分析】由题意变形已知式子可得原式 誌a+（ 3 - a）（丄 #）=（ 10+二+泸一）,3a J a 3 a J - a由基本不等式可得.满足条件满足条件满足条件满足条件B 不等于零，执行循环体,B 不等于零，执行循环体,B 不等于零，执行循环体,B 不等于零，执行循环体,不满足条件 B 不等于零，退出循环,故答案为：14.C=56,A=98 ,B=56C=42,A=56,B=42C=14,A=42 ,B=14C=0 ,A=14 ,B=0输出 A的值为14.【解答】解： a1=：a+1=一 (10+ +1 .9蔦E)3-0 9a戸)(3 -a)Ha1 (10+2当且仅当原式的最小值为3-

17、.即 a=,|时取等号,16故答案为：匚.16.三棱锥 S- ABC 中，侧棱则该三棱锥的外接球体积等于SA 丄平面ABC，底面球的体积和表面积.由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以厶 SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距 d,【考点】【分析】为底面以径 R，然后求解体积._ABC得球的半【解答】解：根据已知中侧棱 SA 丄平面 ABC ,底面 ABC 是边长为 一的正三角形， 可得此三棱锥外接球，即为以厶 ABC 为底面以 SA 为高的正三棱柱的外接球， ABC 是边长为 的正三角形，_V3 Vs1 Vs ABC 的外接圆半径 r= X =

18、1，球心到厶 ABC 的外接圆圆心的距离SA= ,故球的半径 R= 丫 i 2.SA=2 一，34332三棱锥 S-ABC 外接球的体积为：二nX23= n324故答案为:三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17在公比为 2 的等比数列an中，32与 35的等差中项是 9 二(1 )求ai的值；n(2)若函数 y=aisin (三疋+, 0vv n的一部分图象如图所示，M (- 1, ai), N (3,【考点】两角和与差的余弦函数；由 y=Asin (wx+0)的部分图象确定其解析式.【分析】(1)由条件利用等差中项、等比数列的定义，求得ai的值.(2)由五点法作图求出0的值

19、， 可得函数的解析式， MON 中，再利用余弦定理求得 cos9的值，再利用两角差的余弦公公式，求得【解答】 解：(1)v公比为 2 的等比数列 a2与玄5的等差中项是 9 ，_=9,(-1,二)，N (3,-二)为图象上的两点，_7TTT3兀Ji TT3兀结合五点法作图可得 一？? (- 1) +0=，求得0=，故 y= sin (叮.).4+12 - 28V3= =,5朮再结合 0v 9vn可得i ,5朮3开HHHH7Tn求 cos( 9- 0)=cos (-)=cos 1 丿=cos(-=cos cos+si nsin0v Qv n求 cos (9- 0)的值.cos (9 0)的值.a

20、n中，2 2-a2=2 .=2a1, a1=、 .： .K VS(2)若函数 y=asin (： ：0)= sin(: 0), 0v 0v n的一部分图象如图所示,0於+0酹-测2cos9=ID324 MON 中，由/ MON=9,其中O 为坐标原点，利用余弦定理可得18甲、乙两所学校高三年级分别有600 人，500 人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110 名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如表：甲校：分组70, 80)80, 90)90, 100)100, 110)频数34714分组110, 120)120, 130

21、)130, 140)140, 150频数17x42乙校:分组70, 80)80, 90)90, 100)100, 110)频数1289分组110, 120)120, 130)130, 140)140 , 150频数1010y4(I)计算 x, y 的值；(n)若规定考试成绩在120, 150内为优秀，由以上统计数据填写下面的2X2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；甲校乙校总计优秀非优秀总计(川)若规定考试成绩在120, 150内为优秀，现从已抽取的110 人中抽取两人，要求每校抽 1 人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.n(ad-

22、 be)2参考公式：K= r , |，, -i .|l|/ 其中 n=a+b+c+d.临界值表:P (K2 ko)0.100.050.010k02.7063.8416.635【考点】独立性检验的应用.【分析】(I)关键分层抽样的特点计算x, y;(n)关键 2X2 列联表以及参考公式计算 k2，与临界表比较多的答案； (川)利用条件概率公式解答.600 600【解答】 解：(I)从甲校抽取 110X看=60 (人)，从乙校抽取 110- =50(人)，故 x=9 , y=6.甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110(n)表格填写如下,110(15X30- 20X45)2

23、2K =f ：刃汀 P *2.8292.706,故有 90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.(III )设两班各取一人，有人及格为事件A，乙班学及格为事件B,根据条件概率，则所P)3求事件的概率 P (B| A) =- 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA丄底面 ABCD , AC 丄 AB , AD 丄 DC ,/ DAC=60 PA=AC=2 , AB=1 .(1 )求二面角 A - PB- C 的余弦值.(2)在线段 CP 上是否存在一点 E,使得 DE 丄 PB,若存在，求线段 CE 的长度，不存在，PC=(0,2,-2), PE= (1,0, -2), AC= (0,2,

24、0).显然. = (0, 2, 0)为平面 PAB 的法向量.设平面 PBC 的法向量为 =(x, y, z),则|=0,2z=0:只-冶。，令 z=1，得=(2, 1, 1).J =2,| |= 7, | -.|=2.r AC亜cosv ,=丨门八.二面角 A - PB - C 的余弦值为孚.6(2 )过 E 作 EF 丄 AC 于 F,. EF/ PA, EF=FC . 设 EF=h，则 E (0, 2 - h, h).=亠-=(，DE 丄 PB,. =- 2h=0,解得 h=.【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法.【分析】(1 )以 A 为原点建立空间直角坐标系，求出平

25、面PAB 和平面 PBC 的法向量，则法E 点坐标得出士的坐标，令.；-：=0则 P (0, 0, 2), A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), CAP 为坐标轴建立空间直角坐标系，亨，寺,0).(0, 2, 0), D (-h, h), - = (1 , 0,- 2).斜率为 1 的直线 I 与椭圆 C2相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点 H 的坐标为(2,- 1).(1) 求椭圆 C2的方程；(2) 设 P 为椭圆 C2上一点，点 M、N 在椭圆 Ci上，且.=V2 ,则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【考点】直线与

26、圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质.【分析】(1)求出椭圆 C2的 c,设出 A (xi, yi) , B (X2, y2),代入椭圆方程，运用点差 法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a, b 的方程，解方程解得 a, b,即可得到所求椭圆方程；(2)设 P (xo, yo), M (xi, yi), N (x?, y2),代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到xix2+2yiy2=0 ,再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值.2 2【解答】解：(1)椭圆 C2：xy7 J+- =1 (a b 0)的一个焦点坐标为(，0),旦D则 c=.二，即有 a2- b2=5 ,

27、2S1设 A (xi, yi), B(X2, y2),则:a由于 Xi+X2=4, yi+y2= - 2 , 珂_辿2b则有kAB= :.=- =i,由解得，a= !: , b=!.22y_ 则椭圆 C2的方程为 =1 ；(2)设 P (xo, yo), M (xi, yi), N (x?, y2), 则 xo2+2yo2=1O , xi2+2yi2=2 , x22+2y22=2 ,20.椭圆 Ci：,0),22 2I=1I=1r1,2.2 i ,ba b两式相减的,-z2)(, +垃2) (yj y?) (y)=0,a2b2CE= X .2x2+ y =i，椭圆 C2：(a b 0)的一个焦

28、点坐标为(-14 lney(In/ -1+1)由.=”+2 ；可得：(xo, yo) = (xi, yi) +2 (X2, y2),K Qi X | + 2 X二叫+2乃，2 2 2 2二xo+2yo= (xi+2x2) +2(yl+2y2)=xi2+4xix2+4x22+2yi2+8yiy2+8y22= (xi2+2yi2) +4 (X22+2y22) +4 (xix2+2yiy2)=10+4 (xix2+2yiy2)=10 . 二xiX2+2yiy2=0,7211 ：；一 =：,即卩 kM?kON=,直线 OM 与直线 ON 的斜率之积为定值，且定值为-.ln(x+l)21.已知函数 f(

29、x)=一 ，.虽1(1) 判断 f(x)在(0, +8)的单调性；(2) 若 x 0，证明：(ex 1) ln (x+1 ) x2.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值得关系即可求出；(lneK- 1+1)(2 )原不等式等价于，要证原不等式成立，只需要证明当e丄0 时，xvex 1，令 h (x) =ex x 1，禾 U 用导数和最值得关系即可证明. 【解答】解：(1)由函数 f(x)的定义域为(-1,0)U(0,+8)设 g (x)=77 In (1+x),1+x - X - Xg(x)=l-J_ =丨，：:v0, g (x)在(0,

30、+8)为减函数， g(x)vg(0)=0, f(x) v0, f (x)在(0, +8)为减函数；In(耳卡1)*(2) (ex 1) In (x+1) x2等价于 .,m&+2)(1皿1+1).原不等式等价于要证原不等式成立，只需要证明当X0 时，XVex- 1,令 h (x) =ex- x - 1,. h (x) =ex- 1 0, h (x)是(0, +m) 上的增函数， h (x ) h (0) =0,即 xvex- 1, f (x) f (ex- 1),山仗+1)(止1+1)运即 *三 _=：.：.匸丄故(ex- 1) In (x+1) x2.选修 4-1 :几何证明选讲22.如图，

31、PA、PC 切OO 于 A、C, PBD 为OO 的割线.(1) 求证：AD?BC=AB ?DC；(2) 已知 PB=2 , PA=3，求 ABC 与厶 ACD 的面积之比.【考点】与圆有关的比例线段.PB ABPB AB【分析】(1)证明 PABPDA，可得二.=亍，同理可得.：.= .-,问题得以证明， ABC P”(2)根据圆内接四边形的性质和三角形的面积公式可得i ：“ = ：-,问题得以解决.【解答】 证明：(1)TPA 是OO 的切线,由弦切角定理得/ PAB= / ADB ,/ APB PAB 与厶 PAD 的公共角, PABPDA ,- S ,PB BC同理=, 又 PA=PC

32、, AD?BC=AB ?DC ;由( i)知,(X).是(0,+8)上的减函数,(2)由圆的内接四边形的性质得/ABC +ZADC=n,G1-SABC=：AB?BC?sinZABC,SAADC= .AD ?DC?sinZADC弘ABC贬胆AB? FA，1选修 4-4 :坐标系与参数方程2 223.在直角坐标系xOy中， 已知OO的方程x +y =4，直线 I: x=4，在以 0 为极点，x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交O0 于 A， 交直线I 于 B.(1) 写出O0 及直线 I 的极坐标方程；(2) 设 AB 中点为 M,求动点 M 的轨迹方程.【考点】简单曲线的极坐标方程

33、.【分析】(1)根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得O0 及直线 I 的极坐标方程.P i + P ?P(2)设动点 M (p, 0),A (p, B)、B (p, 0),则由题意可得* p 二 2，化简P2COS 9=4可得动点 M 的轨迹方程.【解答】解：(1)：O0 的方程 x2+y2=4，故它的极坐标方程为p2=4,即 p=2；直线 I: x=4，故它的极坐标方程为pcos0=4.P(+ P ?P(2)由于 AB 中点为 M,设动点 M( p, 0) ,A( p,0)、B( p,0),打 p 】=2,P2COS 9=42动点 M 的轨迹方程为 p=1+!.选修 4-5 :不等式选讲1 124.不等式| x- | 的解集为x| nWx m(1) 求实数 m, n ；5(2) 若实数 a, b 满足：| a+b|vm, | 2a- b|vn,求证：| b| w.十wxw十品朋w十xw半e十w-2016 年 7 月 29 日