(完整)2016年高考理科数学全国1卷-含答案(2),推荐文档

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1、理科数学试卷 A 型 第 1 页（共 5 页）2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学第I卷、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（A）（1，3）（ B）（1，3）（ C）（0，3）（ D）（0，如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半28径若该几何体的体积是，则它的表面积是3(A) 1(B)2(C) , 3(D) 2（3） 已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则a100(A) 100(B) 99(C) 98(D) 97某公司的班车在小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,7

2、:30,8:00,8:30 发车,(4)(1)设集合Ax x24x 30，B x2x3 0， 则A(2)(A) (3，(C)(1，|)(D)设(1i)x 1yi，其中x,y是实数，则yi且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10 分钟的概率是(5)已知方程x21 -217B3m2n1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则m的取值范围是(6)理科数学试卷 A 型 第 1 页（共 5 页）(A)17n(B)18n(C)20n(D)28n理科数学试卷 A 型 第3页(共 5 页)(11)平面 过正方体ABCDABIGU的顶点A, /平面CB1D1,门平面ABCD m, 门平面ABB,

3、A(n,则m,n所成角的正弦值为3(A)2(B)y1(D)-3(12)已知函数f (X)sin( x )(0,) x为2，4f (x)的零点，x二为yf (x)图象4的对称轴，且5f(x)在(一,)单调， 则的最大值为18 36(A) 11(B)9(C) 7(D) 5第H卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。.2 . . 2 - - 2(13)设向量a (m,1),b (1,2)，且a b a b，则m_(14)(2x_x)5的展开式中，x3的系数是 (用数

4、字填写答案)(15)设等比数列an满足a1a310,a2a4_5，则a1a2an的最大值为 (16) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料1kg,用 5 个工时；生产一件 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg ,用 3 个工时.生产一件 A 产品的利理科数学试卷 A 型 第4页(共 5 页)润为 2100 元,生产一件 B 产品的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为 _.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过

5、程或演算步骤。(17)(本小题满分 12 分)ABC的内角 代B,C的对边分别为a,b,c，已知2cosC(acosB b cos A) c.(i)求C；(n)若c .7,ABC的面积为 土？.求厶ABC的周长2(18)(本小题满分 12 分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF 2FD,AFD 90,且二面角D AF E与二面角C BE F都是 60 (I)证明：平面ABEF丄平面EFDC;(n)求二面角E BC A的余弦值(19)(本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种

6、零件为备件，每个 200 元.在机器使用期间,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜 集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得 下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(I)求X的分布列;(n)若要求P(X n)0.5，确定n的最小值;(川)以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？x理科数学试卷 A 型 第5页(共 5 页)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为acost,

7、1 asi nt,(t为参数，a 0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线4 cos(20)(本小题满分 12 分)设圆x2y22x 15 0的圆心为A，直线|过点B(1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C, D两 点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(n)设点E的轨迹为曲线Ci，直线I交Ci于M , N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围(21)(本小题满分 12 分)已知函数f(x) (x 2)exa(x 1)2有两个零点(I)求a的取值范围；(n)设X1,X2是f(x)的两个零点

8、，证明：花 X22.请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲1如图， OAB是等腰三角形，AOB 120.以O为圆心，-OA为半径作圆.(n)点C, D在OO上，且A, B,C,D四点共圆，证明:AB/CD.(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程(I)证明：直线AB与OO相切;理科数学试卷 A 型 第6页(共 5 页)(I)说明Ci是哪一种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；(n)直线C3的极坐标方程为，其中满足tan2，若曲线G与C2的公共点都在C3上，求a.

9、(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲已知函数f(x) x 1 2x 3.(I)在答题卡第(24)题图中画出y f (x)的图像;(n)求不等式f (x)1的解集-I In-1IT-I r-I1TIT1 y-In- -T - -!r- -I In- -_T- -I r卜一+ t I-卜一4- Ir I I IT 1十Il-l-+L-tf - - -厂I4. L- - -I一II-iI1- - - n I H I J 11_- - - T 十丄_理科数学试卷 A 型 第 6 页（共 5 页）2016年全国卷I高考数学（理科）答案与解析-、选择题【答案】(I) D(II) A

10、(2) B(12) B(3) C( 4) B(5) A(6) A(7) D(8) C(9) C(10) B【解析】(1)Ax2x4x 30 x1x 3,B x2x 30 x3x ，二2ABx3x 3.能保证他等车的时间不超过10 分钟,2c 42 2 2 2(2)/ (1i)x 1 yi即xxi1 yi x 1”口x 1，解得：，二x yy 1x yiy!x2y2J 2(3)- S99(a1a?)92a59a527a53a108 da10a512210 5，a100a1090d98.(4) 如图所示，画出时间轴：7:307:407:508:008:10 8:208:30ACDB小明到达的时间会

11、随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才根据几何概型，所求概率10 1040(5)2x2 m n2y23m n1表示双曲线，则（m2n)(3m2n) 0，m2n 3m2，解得m211 n 3.理科数学试卷 A 型 第 6 页（共 5 页）c (m n) (3m n) 4m（6）原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1/8 后的三视图，表面积是7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，理科数学试卷 A 型 第9页(共 5 页)2217(7)f(2)8e28 2.820，排除 A;f (2) 8 e282.721，排除x 0时,f(x)2x2f (x) 4xx1e,

12、当x (0, )时,4f (x)e00 1f (x)在(0, )单调递减,4故选 D排除C；(8)对 A :由于在R上单调递增，因此a bcb , A 错误;由于0，函数1x 在 1,上单调递减，1cbacabB错误对 C: 要比较alogbC和blogaC只需比较匹和匹，只需比较ln b InaIncbl nb，只需blnb和aln a和aln a1，则fxx在1,上单调递增，因此11f af b 0aln abl nb 0al nabl nb又由0c 1得lnc0, ln cln cblogac alogbc, C 正确aln abln b构造函数xxln x xln x 110而函数yl

13、nx在 1,上单调递增，故1 1a b 1 In a In b 0Ina Inb又由0 c1得ln c 0lncln clogac logbc, D 错误ln aln b故选 C.对 D :要比较lOgac和lOgbc，只需比较和In a In b1 _【2。用特殊值法，令a 3,b 2,c得322 22，排除 A;3 222 32，排除 B;3log22(9)如下表：12log32，C 正确；log32log 2 -，排除 D；.选 C】2循环节运 行次数n 1x x x -2y y ny判断2 2 “x y 36是否 输出n n n 1运行前01/1第-次101否否2第二次22否否3第三次

14、326是是理科数学试卷 A 型 第10页(共 5 页)理科数学试卷 A 型 第11页(共 5 页)3, y 6，满足 y 4x 故选C-2，(10)以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理2 2 2 2设抛物线为y 2pxp o，设圆的方程为x y r,题目条件翻译如图:理知DF2OF2DO2即(-5)2(E)2(2 . 2)22焦点到准线的距离为 4】(11)如图所示：焦点到准线的距离为p 4.2y 2 px， 圆的半径为 r,， 即A点纵坐4，由勾股定PPr2,AC2OC2AO2r2,42()，解得P 4，即C的P/平面CB1D1.若设平面CB1D1I平面ABCD m1则m1IIm又.平

15、面ABCD/平面ABGD，结合平面B1D1CI.B1D1II m故B1D1IIm同理可得：CD，n故m、n的所成角的大小与B, D1、CD1所成角的大小相等，即CDiB,的大小.门输出Xx0,2 2, D 匕.5 ,2x)，2 2在抛物线 y22px 上，8 2pxo -E,5252r2在圆 x2y2r2上,/2x0,2 2在圆 x2y2r2上，.2 2xo8 r联立解得：p2【如图，设抛物线方程为AB,DE交x轴于C,F点，则AC 2三 标为22，则A点横坐标为4，即OC平面A,BC1D1B DiA占八D占八A占八4设 ADCEAiBi理科数学试卷 A 型 第12页(共 5 页)而BiC B

16、iDiCD1(均为面对交线)，因此CD1B1，即 sin CD1B13.32试题分析:如图，设平 KCBDX仃平面ABCD =1，平面CB.DP 面且胭詁=心 因为圧平面切山,心 则心所威的甫竽于硬涉斤成的甬一过吗作砸口 6交血的延长于点良连接CE,刚匚対泊.连接域叭 过$昨坷砒 杯交均的起长播于点巧/则场歼为时.连按 so?则BDll CErll比 ff,贝?n：?r所成的角即力AB=BD的期力60a,故肚弄所战弟的止弦曲7纟，(12)由题意知:n.+k1n4n. n+ k?n+一42 贝 y2k 1，其中k ZQf(X)在誥单调，le届讨扌，12接下来用排除法n4，此时 f (x) sin

17、 11x , f (x)在 ,3递增，在_3n,5n递减，不满418 4444 36若11,足 f(x)在-n,5n单调;18 369,n4，此时 f(x)sin 9x ，满足 f (x)在，单调递减418 36试题ms因为工=彳対/的零点，”牛走严/V) )團像的称$由，所以$( 一夕) )=2+竝品444445=4A+2r=4fc-l 2，所以ty=4k+KJtubT),又因为/Xr)在堕调断茂24斗 曲11& 36 务-77 V ，SP*w 0目标函数z 2100 xa310a4a110a1解得3)(2)(n 4)1n( n 7)2494当an取得最大值2664B 产品y件，根据所耗费的

18、材料要求、工时要求等其他限制条件，构造900y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)理科数学试卷 A 型 第15页(共 5 页)川苻域为:在(60,100)处取得最大值，z 2100 60 900 100 216000三、解答题(17)解：(I)由已知及正弦定理的，2cosC(sin AcosB sin BcosA) sinC，即2cosC s in (A B) si nC，故2sinCcosC sinC,1可得cosC丄，C21(ll )由已知，一abs inC2又C, ab 6,3由已知及余弦定理得，故a2b213，从而(a b

19、)225,ABC的周长为5, 7(18)解：(I) 由已知可得 AF丄DF , AF丄FE, AF丄平面EFDC . 又AF 平面 ABEF， 故平面 ABEF丄平面 EFDC .(II)过 D 作 DG 丄 EF ,垂足为 G ,由(I)知 DG 丄平面 ABEF ,以 G 为坐标原点，?的方向为 x 轴正方向，I?为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.33 32，2 2a b2ab理科数学试卷 A 型 第16页(共 5 页)由(I)知/ DFE 为二面角？?- ? ?勺平面角，故/?=00,则|?= 2, |?|?= v3,可得?(1,4,0), ?(-3,4,0) , ?(

20、-3,0,0) , ?(0,0,v3),由已知，AB / EF , AB/平面 EFDC ,又平面 ABCD ?平面 EFDC =CD，故 AB / CD , CD / EF ,由 BE / AF，可得 BE 丄平面 EFDC，/ CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，/ CEF=60,从而可得 C(-2,0, v3),?= (1,0, v3),?(0,4,0),?= (-3, -4,v3),?= (-4,0,0),?= 0石 _c设?= (?是平面 BCE 的法向量，贝 U ，即 g+ v3z=0, .可取?= (3,0,-间,?華0,4y=0设？?是平面 ABCD 的法向量，则?= 0

21、? ?=0,同理可取?= (0,V3,4),则 cos? ? =?|?土丁，故二面角 E-BC-A 的余弦值为2VT919(19) 解:(I)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2 ，从而P(X=16)=0.2X0.2=0.04,P(X=17)=2X0.2X0.4=0.16,P(X=18)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24,P( X=19)=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2=0.24,P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2,P(X=21)=2X0.2X0.2=0.0

22、8,P(X=22)= 0.2X0.2=0.04,所以 X 的分布列为(II)由(I)知 P(XWX16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04理科数学试卷 A 型 第17页(共 5 页)18)=0.44 , P(Xw19)=0.68，故 n 的最小值为 19.(III )记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，当 n=19 时，EY=19X200X0.68+(19X200+500)X0.2+(19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500)X0.04=4040.当 n=20 时，EY=20X200X0.88+(2

23、0X200+500)X0.08+(20X200+2X500)X0.04=4080 .可知当 n=19 时所需费用的期望值小于n=20 时所需费用的期望值，故应选n=19.理科数学试卷 A 型 第18页(共 5 页)y k(x 1)由x2y21，得(4k23)x28k2x 4k21243综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8.3)(21) 解：(I)f (x) (x 1)ex2a(x 1) (x 1)(ex2a).(i) 设a 0，则f(x) (x 2)ex,f (x)只有一个零点.(ii)设a 0,则当x (,1)时，f (x)0；当x (1,)时，f (x)0.f (x)在(，1)

24、单调递减，在(1,)单调递增.又f (1) e, f (2) a，取 b 满足b 0且bIna，则2(20) 解:(l)T|AD|= |EB| = |ED|，故 |EA| + |EB| = |EA| + |ED|.又圆 A 的标准方程为(x221) y 16,从而 |AD| = 4 , |EA|+ |EB| =由题设得,|AB| = 2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:1( y0).(II)当 I 与 x 轴不垂直时，设I 的方程为y k(x 1)( k0)，M(Xi，yi)，N(X2, y2)则x1x28k24k23，X1X24k2124k23；MN.1 k2XiX212(k21)4k23

25、过点 B(1,0)且与 I 垂直的直线m：y1(x 1), A 到 m 的距离为k24(了 J)2Vk214k2321故四边形 MPNQ 的面积S2MP|PQ1214k23可得当 I 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ面积的取值范围为(12,8,3).当 I 与 x 轴垂直时，其方程为x 1, MN3, PQ 8，四边形 MPNQ 的面积为 12.理科数学试卷 A 型 第19页(共 5 页)f(b)a(b 2) a(b 1)2a(b23b) 0,2 2故f (x)存在两个零点.(iii )设a 0，由f (x)0得x 1或x In( 2a).递增.又当x 1时，f(x) 0 , f (x)不

26、存在两个零点;e右a,则ln( 2a) 1，故当x (1,ln( 2a)时，f (x) 0;当x (ln( 2a),)2时，f (x) 0因此f (x)在(1,ln( 2a)单调递减，在(ln( 2a),)单调递增.又当x 1时，f (x)0,f (x)不存在两点零点.综上，a的取值范围为(0,).(II)不妨设X1X2,由(I)知，咅(,1),X2(1,),2 X2(,1),f(x)在(,)单调递减，x1x22 f (x1)f (2x2)，即f(2 x2)0.Tf(2x2)x2e2 x2a(x21)2，而f (x2) (x22)ex2a(x21)20,- f (2x2)x2e2 x2(x22

27、)ex2.设g(x) xe2x(x 2)ex，则g (x)(x 1) (e2 xex).当x 1时，g (x)0,而g(1)0，故当x 1时g(x) 0.从而g(x2)f(2 x2) 0，故为x22.(22) 解：(I)设 E 是 AB 的中点，连结 OE./ OA=OB,/ AOB=120,. OE 丄 AB，/ AOE =60.1在 Rt AOE 中，OEAO,即 O 到直线 AB 的距离等于OO 的半径， AB 与OO 相切.(II ) / OA=2OD , O 不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心，作直线OO .由已知得 O 在线段 AB 的

28、垂直平分线上，又 O 在线段 AB 的垂直平分线上， OO 丄 AB .-,则ln( 2a)1，故当x (1,2)时，f (x)0,因此f (x)在(1,)单调B理科数学试卷 A 型 第20页(共 5 页)同理可证， OO 丄 CD . AB / CD .理科数学试卷 A 型 第21页(共 5 页)(23) 解:(I)消去参数t得到C1的普通方程x2(y 1)2a2.C1是以(0,1 )为圆心，a 为半径的圆.将x cos , y sin代入G的普通方程中，得到G的极坐标方程为1时，极点也为C1,C2的公共点，在C3上. a 1.(24) 解：xIx或 1 x 3 或 x 5322 sin1 a20.(Il)曲线CC2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos28sin2 22 sin1 a04 coscos1 a0，由已知tan2，可得2216 cos 8sin cos 0,从而1 a 0,解得af (x)f(x)1时，可得x1或x 3；当f(x)1时，可得x1或3x 5;故f (x)1的解集为x1x 3;f(x)1的解集为xIx1或 x 5.f (x)1的解集为-IT In 1(舍去)，a 1.f(x)的图像如图所示.(II )由f(x)得表达式及图像，当