2018中考数学专题突破导学练第17讲等腰三角形试题

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1、第1717讲等腰三角形【知识梳理】1. 概念及分类有两条边相等的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为：腰和底不相等的等腰三角形及腰和底相等的等腰三角形。2.等腰三角形的性质（1） 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 简称为“三线合一”；（3）等腰三角形是轴对称图形。3. 等腰三角形的判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2 ）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。4. 等边三角形角的性质：三个内角相等，等于60,5. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是

2、等腰三角形。有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形有两个角是 60的三角形是等边三角形。【考点解析】考点一：等腰三角形的性质与判定【例 1】已知实数 X，y 满足 时氏胚戸公儿，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的 周长是（）A. 20 或 16B. 20C. 16D.以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底边长两种情况讨论求解.【解答】解：根据题意得st-st- 4=04=0by-by-8=08=02(1 )若 4 是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8,不能组成三角形；(2)若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、&

3、8,能组成三角形，周长为 4+8+8=20.故选 B.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出 判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键.考点二、等边三角形的性质与判定【例 2】如图，点 P 在等边 ABC 的内部，且 PC=6 PA=8, PB=10,将线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60得到 PC，连接 AP，贝 U sin / PAP的值为T7:解直角三角形.,如图，先利用旋转的性质得 CP=CP =6, / PCP =60,理的逆定理证明厶 APP 为直角三角形，/

4、 APP =90,然后根据正弦的定义求解.【解答】解：连接 PP，如图,线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60得到 PC , CP=CP =6,Z PCP =60,CPP 为等边三角形， PP =PC=6ABC 为等边三角形， CB=CA / ACB=60 ,/ PCB=/ P CA在厶 PCB 和厶 P CA 中则可判定厶 CPP为等边三角形得到PP =PC=6 再证明 PCBA P CA 得到 PB=P A=10,接着利用勾股定KK 等边三角形的性质;【分析】连接 PP3诧尸c ck-PCB-ZPk-PCB-ZP? ?吐，CB=CACB=CAPCBAP CA PB=P A=10,/ 62+

5、82=102,PP2+AF2=P,A2, APP 为直角三角形，/ APP =90, sin / PAP =.P PJ J. .A A 1010 5 5故答案为：.5 5BC【中考热点】（2017?宁德）如图，在 ABC 中，AB=AC 点 D, E 分别在边 BC 和 AC 上，若 AD=AE 则下列结论错误的是（）A.ZADB2ACB+Z CAD B.ZADENAEDC.ZCDE=/BADD./AED=2/ ECD2 2【考点】KH 等腰三角形的性质.【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C 正确，选项 D 错误，即可得出答案.【解答】解：/ ADB 是 ACD 的外

6、角， / ADB 玄 ACB+/ CAD 选项 A 正确；/ AD=AE /ADE 玄 AED 选项 B 正确；4/ AB=AC/B=ZC,/ADC=z ADE+ZCDEMB+ZBAD/AED=Z CDE+/ C,/CDE+ZC+ZCDEZB+ZBAD ZCDE=ZBAD 选项 C 正确；2 2vZAED=/ ECD+ZCDEZEd CDE选项 D 错误；故选：D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键.【达标检测】 一选择题:1.如图，正厶 ABC 的边长为 2,过点 B 的直线 I 丄 AB 且厶 ABC 与厶 A

7、BC 关于直线 I 对称,D 为线段 BC 上一动点，则 AD+CD 勺最小值是（）卫B B團A. 4 B . 3.2.2C2 2、.3 3D D. .2+2+,、3 3【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质.【分析】连接 CC ,连接 AC交 y 轴于点 D,连接 AD,此时 AD+CD 勺值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形 CBA C为菱形，根据菱形的性质即可求出AC的长度，从而得出结论.如图所示.5ABC与厶A BC 为正三角形，且 ABC 与厶 A BC 关于直线 l 对称,四边形 CBA C 为边长为 2 的菱形，且/ BA C =60 A C=2X3A B=2；3

8、.故选 C.2.（2017 山东滨州）如图，在 ABC 中，AB=AC D 为 BC 上一点，且 DA=DC BD=BA 则/ B的大小为（）【考点】KH 等腰三角形的性质.【分析】 根据 AB=AC 可得/ B=ZC, CD=DA 可得/ ADB=2/ C=2/ B, BA=BD 可得/ BDA=Z BAD=2/ B,在 ABD 中利用三角形内角和定理可求出/B.【解答】解： AB=AC/B=ZC,CD=DA/C=ZDAC/ BA=BD / BDA 玄 BAD=2/ C=2/ B ,又/ B+/ BAD+/ BDA=180 , 5 / B=180 , / B=36 ,故选 B.3.（2017

9、 广西河池）已知等边厶 ABC 的边长为 12 , D 是 AB 上的动点，过 D 作 DEL AC 于点E,过 E 作 EFLBC 于点 F,过 F 作 FGLAB 于点 G 当 G 与 D 重合时，AD 的长是（）6【考点】KK 等边三角形的性质；KO 含 30 度角的直角三角形.【分析】设 AD=x 根据等边三角形的性质得到/A=Z B=Z C=6C ,由垂直的定义得到/ ADF=/ DEB=Z EFC=90，解直角三角形即可得到结论.【解答】解：设 AD=xABC 是等边三角形，/ A=Z B=Z C=6C ,DE 丄 AC 于点 E, EF BC 于点 F, FG 丄 AB,/ AD

10、F=/ DEB 玄 EFC=9C , AF=2x, CF=12- 2x, CE=2CF=24- 4x, BE=12- CE=4x- 12, BD=2BE=8x- 24,/ AD+BD=AB x+8x - 24=12, x=4, AD=4.故选 B.4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段。是厶 ABC 的“和谐分割线”， ACD 为等腰三角形， CBDDABC 相似，/ A=46,则/ ACB 的度数为113 或 92.A. 3B. 4C. 8D. 97

11、【考点】KH 等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.【解答】解： OA=OB/ AOB=30 , / A= =75【考点】S7:相似三角形的性质；KH 等腰三角形的性质.【分析】由厶 ACD 是等腰三角形，/ ADO/ BCD 推出/ ADC/A, 讨论当 AC=AD 时，当 DA=DC 寸，分别求解即可.【解答】解：BCSA BAC/ BCD/ A=46 ,即 ACMCD 分两种情形/ ACD 是等腰三角形， / ADO/ BCD/ ADO/ A,即卩 AO CD1当AC=AD 时，/ACD/ADC=67,2 2/ACB=65.（2017 江西）如图1

12、是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB 若剪刀张开的角为 30,则/ A= 75 度.8故答案为：75.6.有一面积为 5 三的等腰三角形，它的一个内角是 30,则以它的腰长为边的正方形的面 积为 20 三和20.【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质.【分析】分两种情形讨论当 30 度角是等腰三角形的顶角， 当 30 度角是底角，分别作腰 上的高即可.【解答】解：如图 1 中，当/ A=30 , AB=AC 寸，设 AB=AC=a作 BDL AC 于 D,vZA=30, BD= AB= a,？a?a=5z ,a =20, ABC 的腰长为边的正方形的面积为 20.故答案为 20 .二

13、或 20 .2 2 2 2 a2=20 二， ABC 的腰长为边的正方形的面积为 20 .二.如图 2 中，当/ ABC=30 , AB=AC 时，作 BDL CA 交 CA 的延长线于 D,设 AB=AC=a/ AB=AC/ABCMC=30,/BAC=120，/ BAD=60 ,在 RTABD 中，/ D=90，/ BAD=60 ,9團2A ( 1, 1 )、B ( 3, 1),规定把等边 ABC “先沿向左平移 1 个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016 次变换后，等边 ABC 的顶点 C【考点】翻折变换(折叠问题)；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移.【分析】据轴对称判断出点

14、A 变换后在 x 轴上方，然后求出点 A 纵坐标，再根据平移的距离求出点 A 变换后的横坐标，最后写出即可.【解答】解：解： ABC 是等边三角形 AB=3-仁 2,/点 C 到 x 轴的距离为 1+2X=三+1,横坐标为 2,- A ( 2,三 +1 ),第 2016 次变换后的三角形在 x 轴上方，点 A 的纵坐标为:+1,横坐标为 2-2016X仁-2014 ,所以，点 A 的对应点 A的坐标是(-2014 ,三+1)故答案为：(-2014 ,. +1).x 轴翻折，再的坐标为1108.如图是一张长方形纸片 ABCD 已知 AB=8 AD=7, E 为 AB 上一点，AE=5,现要剪下一

15、张等腰三角形纸片（厶 AEP，使点 P 落在长方形 ABCD 勺某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是_ .J3fiAR B【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理.【分析】分情况讨论：当 AP=AE=5 时，则厶 AEP 是等腰直角三角形，得出底边 PE=；AE=5 即可；2当 PE=AE=5 时，求出 BE,由勾股定理求出 PB 再由勾股定理求出等边AP 即可；3当 PA=PE 时，底边 AE=5;即可得出结论.【解答】解：如图所示：1当 AP=AE=5 时，/ BAD=90 ,AEP 是等腰直角三角形，底边 PE= lAE=5.二；2当 PE=AE=5 时，/ BE=AB- A

16、E=8- 5=3,/ B=90,底边 AP=,：n 上-=4!； 当 PA=PE 时，底边 AE=5;综上所述：等腰三角形 AEP 的对边长为 5 .二或 4 三或 5 ； 故答案为：5 .或 4 或 5.F FB三解答题:9.爱好思考的小茜在探究两条直线的位11置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1 )、图(2)、图(3)中，AM BN 是厶 ABC的中线，ANL BN 于点 P,像厶 ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设 BC=a AC=b AB=c.【特例探究】(1)如图 1,当 tan / PAB=1 c=4 二时，a= 4

17、 三,b= 4 三;如图 2,当/PAB=30 , c=2 时，a= 浙 ,b=;【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并 利用图 3 证明你的结论.【拓展证明】(3) 如图 4, ?ABCD 中，E、F 分别是 AD BC 的三等分点，且 AD=3AE BC=3BF 连接 AF、BE CE 且 BE! CE 于 E, AF 与 BE 相交点 G, AD=3 二,AB=3,求 AF 的长.【考点】四边形综合题.【分析】(1)首先证明 APB PEF 都是等腰直角三角形，求出PA PB、PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题.连接 E

18、F,在 RT PAB RT PEF 中，利用 30性质求出 PA PB PE、PF,再利用勾股定 理即可解决问题.(2) 结论 a2+b2=5c2.设 MP=x NP=y 贝 UAP=2x, BP=2y,利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题.(3)取 AB 中点 H ,连接 FH 并且延长交 DA 的延长线于 P 点， 首先证明厶 ABF 是中垂三角形， 利用(2)中结论列出方程即可解决问题.【解答】(1)解：如图 1 中，/ CE=AE CF=BF EF/ AB EF=AB=2 二, / tan / PAB=112/ PAB=/ PBA=/ PEFK PFE=45 , PF=PE

19、=2 PB=PA=4 AE=BF= .：. ： =2 二. b=AC=2AE=4, !-, a=BC=4 , !-.故答案为 4 I, 4 二.如图 2 中，连接 EF,TCE=AE CF=BF, EF/ AB EF= AB=1,/ PAB=30 , PB=1, PA=,在 RT EFP 中，/ EFPK PAB=30 ,2 2 2 2AEAE叮=：；工匸，BF=, a=BC=2BF=, b=AC=2AE=匸,故答案分别为j：Z(2) 结论 a2+b2=5c2.证明：如图 3 中，连接 EF. AF、BE 是中线， EF/ AB EF= AB,FPEAAPB.程理丄APAP-西_可设 FP=x

20、, EP=y,贝 U AP=2x, BP=2y,a2=BC2=4BF2=4(Fh+BF)=4x2+16y2,b2=A(C=4AE=4(PE+AP)=4y2+16x2,c2=A=AF2+BF2=4x2+4y2,a2+b2=20 x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.(3) 解：如图 4 中，在厶 AGE 和厶 FGB 中，13ZAGB=ZFGB斗ZAEG-ZFBGZAEG-ZFBG，IrAGEAFGB BG=FG 取 AB 中点 H,连接 FH 并且延长交 DA 的延长线于 P 点, 同理可证厶 APHA BFH AP=BF PE=CF=2BF即 PE/ CF, PE=CF四边形 CEPF 是平行四边形， FP/ CE/ BE! CE FP! BE 即 FH! BG ABF 是中垂三角形，由( 2)可知 AB+AF2=5BF2, AB=3 BF=_AD=, 9+AF2=5X)2, AF=4.14