2013高考数学精讲精练(新人教a版)第06章不等式(精)

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1、七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载的实际问题中发挥着重要的作用 .解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和 性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式 和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式 求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。2.一元二次不等式是一类重要

2、的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不 等式与相应函数、方程的联系和相互转化。3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相 关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问 题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载(1)已知 a，b为正常数，x、y 为正实数，且a+二x(2) 已知x 0，y 0，且x 2y xy =30，求xy的最大值.分析：问题(1)可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从

3、而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题(2)既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不入y等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解解：(1)法一：直接利用基本不等式：abbxay第 1 课基本不等式【考点导读】1.能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2.能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1“ab0”是“ ab0, y0, a0由旦 0 得y-b0二 x+yOB+a+by-b当且仅当ab，即y-by-b时，等号成立y = b+ . abx = a + aba+b=1y（2）法一：由x 2y xy =30，可得，30 - x y =

4、(0：x：30)230 x x xy =2-(2 x) 34(2 x) -642 +x注意到（x 2）旦一2,x 2）戶6x+2 Vx+2可得，xy汨8-当且仅当64，即x= 6时等号成立，代入x，2y xy = 30中得y = 3，故 xy 的x 2 x +2最大值为 18.x,y R，x 2y _2、2xy =2 2 xy代入x 2y xy = 30中得：2 2 . xy xy乞30解此不等式得0乞xy乞18.下面解法见解法一，下略.点拨：求条件最值的问题， 基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决七彩教育网 教学资源分享平台，无

5、需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载【反馈练习】1设 a1,且m=loga(a21),n = loga(a-1), p = loga(2a)，则m,n,p的大小关系为2已知下列四个结论:若_ +则-；x,y R，则Igx lgy_2、lgxlgy；其中正确的是xy=1, (x y)2=6,. x y = M6.由以上得即当-.2.- .2 时等号成立说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式.本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式.要若a,b R,则若xR-,则若x R-

6、则2x2-2x2- =2。3已知不等式(x y)a)一9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 6x y4.( 已知：x y 0，且：xy=1，求证:x2y2，并且求等号成立的条件.-2 2(2)设实数 x, y 满足 y+x2=0, 0a1，求证:x yWio心*解：(1)分析：由已知条件xX，y. R，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有x-y，无法利用xr_2._xy,故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现(xy)1型，再行论证.(xy)证明:x y 0, x - y 0.又xy =1,y2(XT)22xy=(x_y)丄x y- _等号成立-1(x”(x2y严2.当且仅

7、当(x(x2y)时：(X - y)2=2,y2= 4.6 .2x =七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载注意灵活运用均值不等式.七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载(3)x 1 x-3 2x2-x-2(4)-4Ax- 2 2解：（1）原不等式化为3x2-4x-4 : 0，解集为:x：2(2)原不等式化为x2zv2x 30，解集为R(3)原不等式化为x2zvx：0，解集为.12_ x2 x2x : 4, 得22 2 1212xx

8、-2x -24,得22X22x -10 x22x - 5：0 x-J :”：61：x：第 2 课 一元二次不等式【考点导读】1.会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。2.能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题【基础练习】1.解不等式：(1) -3x24x 40(2)-ayx公2=2a2(XV80a22a8loga(axay)loga(2a8) =loga2七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中

9、试卷、课件、教案等教学资源免费下载a -1当 a=0 时，当a -2=2，二 x $a -1.x (-、6 -1, -、.2 -1)U(. 2 -1 宀 6 -1)点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号对应方程，的判断、 以及对应方程两根大小的比较2.函数的定义域为y二log!(x2-1)V 2-、2 一 1 u 1,迄x-3-2-101234y60-4-6-6-4064.若不等式x2+bx +c 0的解集是xx 3 或x -1，则b=【范例导析】c= _-3_例.解关于X的不等式a(x -1)x -21(a =1)分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论解：原不等式等价

10、于(a_1)x-(a_2)a严1等价于:x 2(a-20 x - 2(*)al时，(*)a0：a_21lAxa_2或a11-a_1 a_1a_1x -2式等价于 x_M32当 0a2,a -12 xa_2；a -1当 a0 时,a -22,a-2x0 的解集是七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载综上所述可知：当 a0 时，原不等式的解集为(a ，2)；当 a=0 时，原不等式的解集a 2a1为0;当 0al时，原不等式的解集为(一a -1m，a_2)U(2，+)。a -1思维点拨：含参数不等式，应选择恰当的讨论

11、标准对所含字母分类讨论，要做到不重不漏.【反馈练习】2. 不等式ax2.bx.20解集为11，则 ab 值分别为-12，-2x :233. 若函数 f(x)=.尹議厂1的定义域为 R，则a的取值范围为| _1,4已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a 7)x+3 + a 2a20 解集，且 M 中的一个元素是 0,求 实数 a的取值范围，并用 a 表示出该不等式的解集.解：原不等式即(2x a 1)(x+ 2a 3)2T 则 一2a 3 15（一a 1）2此时不等式的解集是x | 3 - 2a :：x :第 3 课线性规划【考点导读】1.会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等

12、式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组1.若关于x 的不等式2ax ax a -1：0,的解集为 R,则a的取值范围是?-,0 1此时不等式的解集是a 1x|T：-x 3 - 2a3，由 2-2a 33 - 2a :2七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载2.能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载代数问题的思想.【基础

13、练习】1.原点（0,0 ）和点 P（ 1,1 ）在直线的两侧，贝 U a 的取值范围是 0a2x十y a o-界的阴影部分）是（A ）x -y 10A（0,2）（_2,0） C.（0,_ 2） D（2,0）4. 由直线 x+y+2=0, x+2y+1=0, 2x+y+仁 0 围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为x y 20 x 2y 1：02x y 1：05. 在坐标平面上，不等式组.，所表示的平面区域的面积为3y _ x -13j -3x +12【范例导析】例1.设 x,y 满足约束条件 & _4y ：-3，求目标函数 z=6x+10y 的最大值，最小值。*3x +5y兰25、x兰1分

14、析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在 y 轴上截距的最大值与最小值问题.解：先作出可行域，如图所示中，ABC的区域，2.设集合A=(x, y)|x,y,1x-y 是三角形的三边长；,则A所表示的平面区域（不含边BD3下面给出四个点中, 位于Xy_：0,表示的平面区域内的点是（CAC七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载k且求得 A(5,2),B(1,1),C(1,22)參15X例 1 图作出直线 S：6

15、x+10y=0，再将直线 s 平移当 Lo的平行线过 B 点时，可使 z=6x+10y 达到最小值当 Lo的平行线过 A 点时，可使 z=6x+10y 达到最大值所以zmin= 16；Zmax=50点拨：几个结论：（1）、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也 可能在边界处取得。（2）、求线性目标函数的最优解， 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义一一在 y 轴上的截距或其相反数。x - y 2 _ 0 x +y _4 启 02x _ y _5 兰 0（1） 求z=x 2y的最大和最小值。（2） 求y的取值范围。z =x（3） 求22的最大和最小值。z = x + y解析：注

16、意目标函数是代表的几何意义解：作出可行域。= 7 2 9 2)例 2.已知(1)z=x 2yu y =1z，作一组平行线 I:x22x y -4 =02x-y-5=0得最优解 B（ 3，1），二z .=3215。解nnx _ y 2 = 0得最优解2x y 5=0七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载z =x2 y2=（x -0）2（y -0）2表示可行域内的点（x,y）到（0,0）的距离的平(2)口表示可行域内的点（x,y ）与（x 00，0）的连线的斜率。从图中可得,kOBOA加=3匕三-3 3(3)七彩教育

17、网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载取值范围.例 3.本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少万元？分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1 ）设出变量，列出约束条件及目标 函数；（2）画出可行域（

18、3）观察平行直线系z=3000 x 2000y的运动，求出目标函数的最值.联立x y = 300,解得x =100, y =2005x 2y =900.点M的坐标为（100,200）.Zmax二3000 x 2000y二700000（兀）方。从图中易得,ZminOF2, （ OF 为 O 到直线 AB 的距离），22=1302=8,OCj=2抡点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义,OFOFOFzmax=13zmin=8从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为X分钟和y分钟，总收益为Z元，由题意得X y 300， 500 x 200 y 9000

19、0,目标函数为z =3000 x 2000y.元一次不等式组等价于x y 300，5x 2y2,则z=2x_y的取值范围是仝，x -yV2，0VyV3,5.画出以 A （3， 1）、B （ 1，1）、C （1，3）为顶点的厶 ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x 2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式一一不等式组；求以 所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点 A、B、C，则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所求 ABC 区域 直线 AB 的方程为 x+2y仁 0，

20、BC 及 CA 的直线方程分别为 x y+2=0，2x+y 5=0 在厶 ABC 内取一点 P （1，1） ，分别代入 x+2y 1，x y+2，2x+y 5得 x+2y 10，x y+20，2x+y 5 0, x y+2 0, 2x+y 5w0 下的最大值为 11 , 最小值为5第 4 课不等式综合【考点导读】能利用不等式性质、 定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等 .【基础练习】3当点(x y)在直线x+3y-2 = 0上移动时，z=3x+27y+1的最小值是74.对于 0 m4x+m 3 恒成立，则 x 的取值范围是 x 3 或 xv1

21、【范例导析】(1 )若pQ，求实数 a 的取值范围。1.若函数1x -2g x的大小关系2.函数01上恒为正，则a的取值范围是 Ovav2例 1、已知集合1P 律2，函数厂log2ax2- 2x 2的定义域为Q七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载分析：问题（1 ）可转化为ax2_2x 2.0在1,2_2型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数解:（ 1）若P Q =，. ax22 222x x所以(2)内有有解；从而和问题（2 ）是同一类-2x 20在1内有有解02当%.-时,_2u _-4，1

22、a-4,所以 a 的取值范围是 a_4方程log2(ax2-2x + 2 )=2在内有解，则ax22x一2 =0在1丘，2j内有解。所以a2=2x卩+盯一1IX 2 丿 21，2时,时，log2ax2-2x 2 =2在丄2运，内有解点拨：本题用的是参数分离的思想例 2甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本 （以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元（1）把全程运输成本y元表示为速度vkm/h的函数，并指出这个函数的定义域;（2） 为了使全程运输成本最小， 汽车应以多大速度行

23、驶? 分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：（1 ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为全程运输成本为S 2 Sa故所求函数为y二a bv s( bv)vv va，定义域为y = s( bv)bv(0,（2）若方程|og2（ax22x+2）=2在 一 12忖2内有解，求实数 a 的取值范围。七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载，行驶速度应为J点拨：本题主要考查建立函数关

24、系式、不等式性质(公式)的应用也是综合应用数 学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题.【反馈练习】1设0 c a，函数f (x) =loga(a2x_2ax2)，则使f (x) v 0的x的取值范围是(o,畑)2如果函数2的单调递增区间是(-a，a，那么实数 a 的取值范围是 _y=log1(x 2x-3)3a 0 )设方程 f (x)=x 的两个实根为 xi和 X2.如 果 X12x2 1 .证明：设g(x)=f (x)X=ax 1x1,且 a 0.，由 2：x：4 得 g 2 0，且(2)由于&a、b、v都为正数,故有zas(v，即+ bv) K s 2 丿 bvas( bv) _ 2s . ab v当且仅当=bv，即 一av. b时上式中等号成立.，则A、时:a，v=；_ b全程运输成本y最小;易证0 :V. c，函数a单调递减，即V= c时，y = f (v) = s(- +bv)vayminS( bc)c综上可知，为使全程运输成本y最小,在1时，行驶速度应为va.b七彩教育网 教学资源分享平台，无需注册、无需登录即可下载七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载g（4）0，即严 + 2b -1 vOj _ 4a b c 丄 _ 2a,由-_4-2a,得 a J16a+4b-3c0,424288a2a 4a2a