第11、12、13章电磁学

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1、第十一章 真空中的恒定磁场引 言一、人类对磁现象的认识历史 课本P125-126 1. 磁性天然磁铁（Fe3O4）或人造磁铁具有能吸引铁、钴、镍等物质的特性磁性；磁铁具有磁极N极、S极，N极、S极同时存在，不可分割（磁单极子）；磁极之间有相互作用力磁力。同号磁极相斥，异号磁极相吸。2. 历史战国时期（公元前300年）有“磁石”等记载；东汉时期王充：“司南”指南的记载描述；11世纪：指南针；1819年：奥斯忒发现电流对小磁针的作用；1820年：安培发现磁铁对载流导线或载流线圈的作用；1822年：安培提出了有关物质磁性本质的假说分子电流观点，认为一切磁现象的根源是运动的电荷（即电流）。3. 磁性起

2、源和电、磁本质的统一性运动电荷既能产生磁效应，也能受磁力的作用。一切磁现象都起源于电荷的运动。它们之间的相互作用力均为运动电荷之间的作用力。例子：4. 计算机科技与电磁技术（1）存储器 磁芯、Floppy and Hard disk、MO机等；（2）微型电机；（3）CRT显示器；课外阅读材料网址：（电脑风云五十年第37回）lls/b1.htm二、本章内容简介本章着重讨论恒定电流激发磁场的规律和性质。主要包括：磁感应强度；毕奥萨伐尔定律；真空中磁场的高斯定理；安培环路定理；电流或运动电荷在外磁场中的受力安培力和洛仑兹力。本讲重点：磁感应强度；毕奥萨伐尔定律；本讲难点：毕奥萨伐尔定律的应用；11-

3、1 磁感强度 磁场的高斯定理 一、磁场电流或运动电荷之间相互作用的磁力是通过磁场而作用的。故磁力称为磁场力。二、磁感（应）强度 1. 运动电荷在磁场中受力实验和结果（大量实验结果表明） （1）磁场力方向 ，即始终垂直与组成的平面；（2）磁场力大小Fq,v；F与的方向有关，但有两种特殊情况：时，时，F =达到最大值（3）在某点有确定值，即反映该点磁场强弱的性质。2. 磁场中某点磁感强度的定义（1）方向：+q 电荷的的方向，或者该点处的小磁针N极的指向。（2）的大小：3. 说明（1）是描述磁场中各点磁场的强弱和方向的物理量，是矢量点函数，即。若场中各点都相同，则称该磁场为匀强磁场。例如：（2）单位

4、特斯拉（T）高斯（G） （3）常见磁场的磁感应强度大小的数量级，参阅课本P129表。（4）可以用电磁铁来产生磁场，在如图所示的电磁铁两极表面之间约4-10cm宽的空气隙中，可以产生3T的强磁场。三、磁场的高斯定理注意和静电场的结论进行对照比较。（一） 磁感（应）线磁感应线（线）是为形象描绘磁场空间分布而人为描绘出的一系列曲线族。1. 定义（1）方向：规定磁场中任一磁感应线上某点的切线方向，代表该点磁感应强度的方向。（2）大小：通过垂直于磁感应强度的单位面积上的磁感应线根数等于该处的量值。即磁感应线的疏密程度反映了磁场的强弱。2. 特点（1）由于磁场中某点的磁感强度的方向是确定的，所以磁场中任意

5、两条磁感线不会相交。与电场线一样。（2）每一条磁感线都是围绕电流的闭合曲线，没有起点，也没有终点。这一特性与电场线完全不同，因为磁场是一种涡旋场。（3）磁感应线与电流I的方向关系右手定则。（二）磁通量 磁感线稠密的地方，磁感强度大；磁感线稀疏的地方，磁感强度小。1. 定义通过磁场中某一曲面的磁感线数称为通过该曲面的磁通量，用表示。若磁场是非均匀的，曲面S是任意的，则通过面积元dS的磁通量为：而通过有限曲面S的磁通量2. 说明（1）磁感线从闭合曲面内穿出时，；而当磁感线从闭合曲面外穿入时，。（2）磁通量的单位：韦伯(Wb) （3）磁通量的计算公式在后面电磁感应章节将会用到。（三）磁场的高斯定理由

6、于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，故总通量为零，即，这就是磁场的高斯定理，它反映了磁场是无源场（）这一重要特性。11-2 毕奥萨伐尔定律Biot-Savart Law如何计算磁场的磁感强度？点电荷点电荷系(带电体) 元电流电流(载流体）一、毕奥萨伐尔定律 （1820年10月）1. 文字表述载流导线上任一电流元在真空中某点P处产生的磁感强度，大小；方向垂直于和所组成的平面，并沿矢积的方向。2. 数学表达式：或3. 说明（1）真空磁导率；（2）沿位置矢量方向的单位矢量；（3）的方向即由经小于180的角转向时的右螺旋前进方向；（4）任意载流导线（段）在P点处的磁感强度可由下式求得：二、毕奥萨伐尔定律应

7、用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。 例1.（课本P216）载流长直导线的磁场（1）一段载流直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为。所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即： （1）由图得：,因此：此外，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：，方向？（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子、 （4）解题的关键：确定电流起点的和电流终点的。例2:（课本P217）圆形载流导线轴线上的磁场）设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导

8、线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕萨定律得：方向如图：，所有形成锥面。将进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有：因为 常量，所以 因为 所以 方向：沿 x 轴正方向，与电流成右螺旋关系。讨论：（1）圆心处的磁场：，。（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。三、磁偶极矩1. 定义圆电流的磁矩，如果电流回路为N 匝线圈，则载流线圈的总磁矩为：2. 磁偶极子及磁偶极磁场当圆电流的半径很小或讨论远离圆电流处的磁场分布时，把圆电流称为磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。磁偶极子磁矩为：磁偶极矩磁场为：分子、原子、电子、质子等

9、都可以等效为圆电流（具有磁矩）。地球可以等效为大磁偶极子，磁矩大小为：例3：（课本P133 载流直螺线管的磁场）设有一密绕直螺线管。半径为 R ，通电流 I。总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为：电流为：。其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为代入上式得：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场（2）当时，为无限长螺线管。此时，管内磁场。即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，

10、方向与轴线平行满足右手定则。（3）半无限长螺线管左端面（或右端面），此时因此：，即其端面中心轴线上磁感应强度的大小为管内的一半。 布置作业课本P266第3题、P267第6题第十九讲本讲重点：磁通量、磁场中的高斯定理、安培环路定理。本讲难点：安培环路定理的应用（续第二节）四、运动电荷的磁场导体中的电流是大量自由电子的定向运动。因此，电流磁场的本质是这些运动电荷产生的磁场的宏观表现。下面由毕奥萨伐尔定律推出运动电荷所产生的磁感强度。电流元对应的截面积为S。设其中单位体积内有n个分别带电q、以速度作定向运动的正电荷，则单位时间通过截面S的电量（即电流强度）为由毕奥萨伐尔定律得，并注意到和的方向一致，

11、可得：在电流元对应的体积内带电粒子数目为： 因此每一个以速度运动的电荷，在距它为处所产生的磁感强度为：方向为右手螺旋方向。（注意上述公式在vc不适用） *例4：（课本P137）11-3 安培环路定理静电场：、为有源无旋场保守场。磁场：，无源场，一、安培环路定理 1. 表述 真空中的磁场中，沿任何闭合路径L一周的矢量的线积分（即的环流），等于闭合路径内所包围并穿过的电流的代数和的倍，而与路径的形状大小无关。 2. 验证（1）如图，设在真空中有一电流强度为I 的无限长直导线，方向如图，在垂直于电流I 的平面上任取闭合路径 L 为积分路径，磁感应强度的环流为：因为，所以的环流为：。 （2）若闭合路径

12、上某处dl不在上述平面内，则可以正交分解为平行于上述平面的分量和垂直于上述平面的分量，即，这时， （3）若I 在L 外（L未包围I）则（4）若L 包围 +I1，-I2 ，则 （5）其他情况 3. 注意事项（1）电流的正负规定：若电流流向与积分回路的绕向满足右手螺旋关系，电流取正值；反之取负值。（2）只有环路内的电流对的环流有贡献。（3）闭合路径 L 上每一点的是所有电流（包括闭合曲线外的）产生的磁感强度的矢量和。注意每一点的和的环流是两个不同的概念。（4）安培环路定理是描述磁场特性的重要规律。磁场中的环流一般不等于零，说明磁场属于非保守场。（5）定理仅适用于稳恒电流的稳恒磁场；二、安培环路定理

13、的应用举例当电流分布具有对称性时（无限长、无限大、柱对称等），可应用安培环路定理求磁场分布。1. 例题例1：（课本P144载流长直螺线管内的磁场分布）设此长直螺线管可视为无限长密绕螺线管，线圈中通电流I，单位长密绕n匝线圈，求管内磁场分布。解：由对称性分析，磁场分布如图1。管内 部线平行于轴线，离轴等距离处大小相等。管外部贴近管壁处趋近于零。取过管内任一点 P 的矩形回路abcda为积分回路L，绕行方向为（如图2），则环流为：因为、，故由安培环路定理得：解得：（为均匀磁场）方向：右手螺旋定则 例2：（课本P146 载流螺绕环的磁场分布）环形螺线管称为螺绕环。设螺绕环轴线半径为R，环上均匀密绕

14、N 匝线圈，通有电流 I。求环内磁场分布。解：（1）环管内环内的线为一系列与环同心的圆周线，在环内任取一点P1，取过P1点作以O点为圆心，半径为 r 的圆周为积分回路L，方向与电流 I 构成右手螺旋方向，由安培环路定理得的环流为，即当环很细，R 很大时，即Rd 时，可认为rR，令，（磁场集中在环内，且均匀分布）（2）环管外任取一点P2，过P2作扇形积分回路 abcda，其绕行方向符合右手螺旋定则，由安培环路定理，的环流为：注意到：，故得P2处的磁感应强度为：，即环管外无磁场：。例3：（课本P146无限长载流圆柱形导体的磁场分布）设真空中有一无限长载流圆柱体，圆柱半径为R，圆柱横截面上均匀地通有电流I，沿轴线流动。求磁场分布。解：由对称性分析，圆柱体内外空间的磁感应线是一系列同轴圆周线。（1）rR 应用安培环路定理得：，即得 （2）rN 例题7. 如图，两条平行的长直载流导线和一个矩形导线框共面。已知，导线框的长度为a，宽为b，求导线框内的感应电动势。 解：分别求1、2。取面积元dS，则。所以：同理：所以：