第6讲高效演练分层突破

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1、基础题组练1 .设厶ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c若a = 2, c= 2 3, cos A=且bc,则 b=()C. 2解析：选 C.由余弦定理 b2+ c2- 2bccos A= a2,得 b2-6b + 8= 0,解得 b= 2 或 b= 4,因为bB，贝U sin Asin BB.在锐角三角形 ABC中，不等式sin Acos B恒成立。在厶ABC中，若acos A= bcosABC必是等腰直角三角形D.在 ABC中，若B= 60, b2= ac,UA ABC必是等边三角形解析：选ABD .对于A ,在厶ABC中，由正弦定理可得 一J =匚,所以sin Asi

2、n B sin A sin Bnn n n? ab? AB,故A正确；对于B,在锐角三角形 ABC中，A ,B 0,-，且A + B/，则nAnnB0,所以 sin Asin 2 B = cos B,故 B 正确；对于 C,在 ABC 中，由 acos A = bcos B,n利用正弦定理可得 sin 2A= sin 2B，得到2A= 2B或2A= n 2B,故A= B或A= B，即 ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D ,在厶ABC中，若B= 60, b2= ac,由余弦定理可得，b2= a2+ c2 2accos B,所以 ac= a2 + c2 ac,即（a c）2= 0,解

3、得 a= c.又 B =60,所以 ABC必是等边三角形，故D正确.故选 ABD .b276. 在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 acos B c-= 0, a2= bc,r r bbc,则-=.c解析：由acos B c 2 = 0及正弦定理可得sin AcosB sin C sin B2=0.因为 sin C = si n(A + B) = sin Acos B + cos As in B,所以一sin B2ar-7cos A sin B = 0,所以 cos A=,即 A =于由余弦定理得 a2= ?bc= b2 + c2 + bc,即 2b2 5b

4、c+ 2c2 = 0,又 bc,所以b= 2. c答案：27. (2020 河南期末改编)在厶 ABC 中，B=扌,AC = .3 ,且 cos2C cos2A sin2B = . 2sinBsin C,贝U C =, BC =.解析：由 cos2C cos2A sin2B= 2sin Bsin C ,可得 1 sin2C (1 sin2A) sin2B= .2sin Bsin C,即 sin2A sin2C sin2B= , 2sin BsinC.结合正弦定理得 BC2 AB2 AC2=J2ACAB,所以 cos A=，A=n 则 C =冗答案：5n 28. (2020兰州模拟)已知在 AB

5、C中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且asin B + bcos A= 0.(1)求角A的大小；若a = 2 5, b = 2,求边c的长.解：(1)因为 asin B+ bcos A= 0,所以 sin Asin B+ sin Bcos A = 0,即 sin B(sin A + cos A) = 0,由于B为三角形的内角，所以 sin A + cos A = 0,所以一2si nA + n = 0,而A为三角形的内角(2)在厶 ABC 中，a2= c2 + b2 2cbcos A,即 20= c2 + 4 4c 学,解得 c= 4.2(舍去)或 c= 2 ,2.9. (20

6、20福建五校第二次联考)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别是 a , b , c,且.3 acos C= (2b . 3c)cos A.(1)求角A的大小；若a = 2，求 ABC面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A 3sin Ccos A,从而 3s in (A + C) = 2sin Bcos A,即.3sin B= 2sin Bcos A.又B为三角形的内角，所以sin B丸，于是cos A =宁,又a为三角形的内角，所以a= n由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccos A,得 4 = b2 + c2-2bc232bc-

7、 3bc,所以bcw 4(2 + ,3),所以1Sbc= gbcsin A2bc,可得92bc+ 2bc =4bc,解得bew 9,当且仅当b = c时等号成立，所以由a2 = b2 + c2 2bccos A,可得a2= b2 + c2- |bc= (b+ c)2- 8bc 9 4 3,当且仅当b - c时等号成立，所以a的最小值为 3. 故选B .3. （2020湖北恩施2月质检）在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 cos B= 3, b = 4, Sabc = 4寸2,则厶 ABC 的周长为 .3解析：由cos B = 3，得sin B = ,由三角形面积

8、公式可得 2acsin B=址# = 4 2,1则 ac= 12，由 b2= a2+ c2 2accos B,可得 16= a2 + c2 2X 12X?贝U a2+ c2= 24，联立可得a = c= 2 .3,所以 ABC的周长为4.3+ 4.答案：4.3 + 4asin A + bsin B csin C 2 34在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,sin Bsin C=a, a=2西若b 1 , 3,则c的最小值为解析：as in A + bs in B csi n C 2 3a2+ b2 c23由sin Bsin C= Ta，得 2ab = 3 sina

9、2+ b2 c2C.由余弦定理可知 cos C=药,即3cos C = 3sin C,所以tan C = 3,故cos C1=2 所以 c2= b2 2 3b+ 12= (b . 3)2+ 9,因为 b 1 , 3,所以当 b= 3时，c 取最小值3.答案：355.(综合型)在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c , ?c a cos B = bcos A.(1)求cos B的值；若a = 2, cos C=乂求厶ABC外接圆的半径 R.5解：(1)因为 3c a cos B = bcos A ,5所以结合正弦定理，得sin C sin A cos B = sin Bco

10、s A ,所以 |sin Ccos B= si n(A + B) = sin3c.又因为sin C丸，所以cos B=3.(2)由(1)知，sin B =cos2B = 5.5因为 cos C= W?,所以sin C =VT73X 40 8077 + 517 = 85所以cos A=b2 + c2-a22bc(2 ,7) 2 + 22- 622X 2X 2.714.4所以 sin A = sin(B+ C)= sin Bcos C+ cos Bsin C= 5X1 a 1所以R=2s=齐856. (2020重庆市学业质量调研) ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知 AB

11、C 的面积为 accos B，且 sin A= 3sin C.(1)求角B的大小;若c= 2, AC的中点为D，求BD的长.解：(1)因为 Sabc= 2acsin Bnaccos B,所以 tan B= , 3n又0v Bv n所以B = 3.(2)sin A= 3sin C,由正弦定理得，a= 3c,所以a = 6.由余弦定理得，b2 = 62 + 22- 2X 2X 6X cos 60=28,所以 b= 2 , 7.因为D是AC的中点，所以AD = .7.所以 BD2= AB2+ AD2-2AB ADcos A = 22 + ( . 7)2- 2X 2X、7X = 13.所以BD = 13.