332简单的线性规划问题一

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1、主讲老师：刘孟康主讲老师：刘孟康3.3.2简单的线性规划简单的线性规划问题问题(一一) 引入新课引入新课1. 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用产品，每生产一件甲产品使用4个个A配件耗配件耗时时1h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4个个B配件耗配件耗时时2h，该厂最多可从配件厂获得，该厂最多可从配件厂获得16个个A配配件和件和12个个B配件，按每天工作配件，按每天工作8h计算，该计算，该厂所有的日生产安排是什么？厂所有的日生产安排是什么？引入新课引入新课1. 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种两种配件生产甲、乙两种

2、产品，每生产一件甲产品使用产品，每生产一件甲产品使用4个个A配件耗配件耗时时1h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4个个B配件耗配件耗时时2h，该厂最多可从配件厂获得，该厂最多可从配件厂获得16个个A配配件和件和12个个B配件，按每天工作配件，按每天工作8h计算，该计算，该厂所有的日生产安排是什么？厂所有的日生产安排是什么？(1) 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x、y件，件， 由已知条件可得二元一次不等式组：由已知条件可得二元一次不等式组：引入新课引入新课1. 某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用产品，每生产一

3、件甲产品使用4个个A配件耗配件耗时时1h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4个个B配件耗配件耗时时2h，该厂最多可从配件厂获得，该厂最多可从配件厂获得16个个A配配件和件和12个个B配件，按每天工作配件，按每天工作8h计算，该计算，该厂所有的日生产安排是什么？厂所有的日生产安排是什么？(1) 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x、y件，件， 由已知条件可得二元一次不等式组：由已知条件可得二元一次不等式组：(2)将上述不等式组表示成平面上的区域，将上述不等式组表示成平面上的区域，引入新课引入新课(3)若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一万元，生产一件乙产

4、品获利件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排万元，采用哪种生产安排利润最大？利润最大？引入新课引入新课(3)若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一万元，生产一件乙产品获利件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排万元，采用哪种生产安排利润最大？利润最大？设生产甲产品设生产甲产品x乙产品乙产品y件时，工厂获得的件时，工厂获得的利润为利润为z,则则z=2x+3y.上述问题就转化为：上述问题就转化为：引入新课引入新课(3)若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一万元，生产一件乙产品获利件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排万元，采用哪种生产安排利润最大？利润最大？设生产甲产品设生

5、产甲产品x乙产品乙产品y件时，工厂获得的件时，工厂获得的利润为利润为z,则则z=2x+3y.上述问题就转化为：上述问题就转化为：当当x、y满足不等式满足不等式并且为非负整数时，并且为非负整数时，z的最大值是多少？的最大值是多少？讲授新课讲授新课1. 上述问题中，不等式组是一组对变量上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是的约束条件，这组约束条件都是 关于关于x、y的一次不等式，所以又叫线的一次不等式，所以又叫线 性约束条件性约束条件.讲授新课讲授新课1. 上述问题中，不等式组是一组对变量上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是的约束条件，

6、这组约束条件都是 关于关于x、y的一次不等式，所以又叫线的一次不等式，所以又叫线 性约束条件性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示线性约束条件除了用一次不等式表示 外，有时也用一次方程表示外，有时也用一次方程表示.讲授新课讲授新课2. 欲求最大值或最小值的函数欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做叫做目标函数目标函数. 讲授新课讲授新课2. 欲求最大值或最小值的函数欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做叫做目标函数目标函数. 由于由于 z=2x+y又是又是x、y的一次解析式，的一次解析式， 所以又叫所以又叫线性目标函数线性目标函数. 讲授新课讲授新课3. 一般地，求线性目标

7、函数在线性约束一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称条件下的最大值或最小值的问题，统称 为为线性规划问题线性规划问题. 讲授新课讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称条件下的最大值或最小值的问题，统称 为为线性规划问题线性规划问题. 4. 满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)叫做叫做可行解可行解. 讲授新课讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称条件下的最大值或最小值的问题，统称 为为线性规划问题线性规

8、划问题. 4. 满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)叫做叫做可行解可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域. 讲授新课讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束一般地，求线性目标函数在线性约束 条件下的最大值或最小值的问题，统称条件下的最大值或最小值的问题，统称 为为线性规划问题线性规划问题. 4. 满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)叫做叫做可行解可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行使目标函数取得最大值或最小值的可行 解，它们都叫做这

9、个问题的解，它们都叫做这个问题的最优解最优解.例题分析例题分析 例例1. 设设 z2xy，式中变量，式中变量x、 y满足满足下列条件：下列条件：求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.)1( , 1,2553, 34 xyxyx讲授新课讲授新课42246yxOCAB02553 yx034 yx1 x讲授新课讲授新课)1( , 1,2553, 34 xyxyx 我们先画出不等式组我们先画出不等式组(1)表示的平面区表示的平面区域，如图中域，如图中ABC内部且包括边界，点内部且包括边界，点(0,0)不在这个三角形不在这个三角形区域内，当区域内，当x=0，y=0时，时，z=2x+y=0，点，点(0,

10、0)在直在直线线l0: 2x+y=0上上. 42246yxOCAB02553 yx034 yx1 x讲授新课讲授新课l042246yxOCAB02553 yx034 yx1 x 作一组和作一组和l0平行的直线平行的直线l:2x+y=z，zR. 讲授新课讲授新课l042246yxOCAB02553 yx034 yx1 x 作一组和作一组和l0平行的直线平行的直线l:2x+y=z，zR. 讲授新课讲授新课l0 可知，当可知，当l在在l0的右上方时，直线的右上方时，直线l上的上的点点(x,y)满足满足2x+y0. 即即z0，而且，而且l 往右往右平移时，平移时，z随之增随之增大，在经过不等式大，在经

11、过不等式组组(1)表示的三角形表示的三角形区域内的点且平行区域内的点且平行于于l的直线中，的直线中，42246yxOCAB02553 yx034 yx1 x 作一组和作一组和l0平行的直线平行的直线l:2x+y=z，zR. 讲授新课讲授新课l0讲授新课讲授新课42246yxOCAB02553 yx034 yx1 xl0以经过点以经过点A(5,2)的直线的直线 l2 所对应的所对应的z最大，最大，以经过点以经过点B(1,1)的直线的直线 l1 所对应的所对应的z最小最小.讲授新课讲授新课以经过点以经过点A(5,2)的直线的直线 l2 所对应的所对应的z最大，最大，以经过点以经过点B(1,1)的直

12、线的直线 l1 所对应的所对应的z最小最小.42246yxOCAB02553 yx034 yx1 xl2l0讲授新课讲授新课以经过点以经过点A(5,2)的直线的直线 l2 所对应的所对应的z最大，最大，以经过点以经过点B(1,1)的直线的直线 l1 所对应的所对应的z最小最小.42246yxOCAB02553 yx034 yx1 xl1l2l0讲授新课讲授新课以经过点以经过点A(5,2)的直线的直线 l2 所对应的所对应的z最大，最大，以经过点以经过点B(1,1)的直线的直线 l1 所对应的所对应的z最小最小.所以，所以，zmax=25+2=12， zmin=21+1=3.42246yxOCA

13、B02553 yx034 yx1 xl1l2讲授新课讲授新课练习练习1.解下列线性规划问题：求解下列线性规划问题：求z2xy的最大值和最小值，使式中的的最大值和最小值，使式中的x、y满足满足.11 yyxxy约束条件约束条件讲授新课讲授新课解：先作出可行域，见图中解：先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区域, 且求得且求得yxOABC11讲授新课讲授新课解：解：先作出可行域，见图中先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区域, 且求得且求得yxO)21,21(A)1, 1( B)1, 2( C11).1, 2( )1, 1( )21,21( CBA、作出直线作出直线l0:2x+y=0，

14、再将直线平移，当，再将直线平移，当l0平行线平行线l1过过B点时，可使点时，可使z=2x+y达到最小值，当达到最小值，当l0平行线平行线l2过过C点时，可点时，可使使z=2x+y达到最大值达到最大值.讲授新课讲授新课解：先作出可行域，见图中解：先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区域, 且求得且求得yxO)1, 1( B)1, 2( C11).1, 2( )1, 1( )21,21( CBA、)21,21(A作出直线作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当，再将直线平移，当l0平行线平行线l1过过B点时，可使点时，可使z=2x+y达到最小值，当达到最小值，当l0平行线平行线l2过过C

15、点时，可点时，可使使z=2x+y达到最大值达到最大值.讲授新课讲授新课解：解：先作出可行域，见图中先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区域, 且求得且求得yxO)1, 1( B)1, 2( C11l0).1, 2( )1, 1( )21,21( CBA、)21,21(A作出直线作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当，再将直线平移，当l0平行线平行线l1过过B点时，可使点时，可使z=2x+y达到最小值，当达到最小值，当l0平行线平行线l2过过C点时，可点时，可使使z=2x+y达到最大值达到最大值.讲授新课讲授新课解：解：先作出可行域，见图中先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区

16、域, 且求得且求得).1, 2( )1, 1( )21,21( CBA、yxO)1, 1( B)1, 2( C11l1l0)21,21(A作出直线作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当，再将直线平移，当l0平行线平行线l1过过B点时，可使点时，可使z=2x+y达到最小值，当达到最小值，当l0平行线平行线l2过过C点时，可点时，可使使z=2x+y达到最大值达到最大值.讲授新课讲授新课解：先作出可行域，见图中解：先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区域, 且求得且求得yxO)1, 1( B)1, 2( C11l1l0l2).1, 2( )1, 1( )21,21( CBA、)21,21

17、(A作出直线作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当，再将直线平移，当l0平行线平行线l1过过B点时，可使点时，可使z=2x+y达到最小值，当达到最小值，当l0平行线平行线l2过过C点时，可点时，可使使z=2x+y达到最大值达到最大值.讲授新课讲授新课解：解：先作出可行域，见图中先作出可行域，见图中ABC表示的表示的区域区域, 且求得且求得zmin=2( 1)+( 1)= 3，zmax=22+( 1)=3.yxO)1, 1( B)1, 2( C11l1l0l2).1, 2( )1, 1( )21,21( CBA、)21,21(A讲授新课讲授新课解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤

18、：讲授新课讲授新课解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤：u第一步：根据约束条件画出可行域；第一步：根据约束条件画出可行域； 讲授新课讲授新课解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤：u第一步：根据约束条件画出可行域；第一步：根据约束条件画出可行域；u第二步：令第二步：令z0，画直线，画直线l0； 讲授新课讲授新课解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤：u第一步：根据约束条件画出可行域；第一步：根据约束条件画出可行域；u第二步：令第二步：令z0，画直线，画直线l0；u第三步：观察，分析，平移直线第三步：观察，分析，平移直线l0， 从而找到最优解；从而找到最优解； 讲授新课

19、讲授新课解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤：u第一步：根据约束条件画出可行域；第一步：根据约束条件画出可行域；u第二步：令第二步：令z0，画直线，画直线l0；u第三步：观察，分析，平移直线第三步：观察，分析，平移直线l0， 从而找到最优解；从而找到最优解；u第四步：求出目标函数的最大值或最第四步：求出目标函数的最大值或最 小值小值.例例2.求求zxy的取值范围，的取值范围， 使式中的使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件： 0102022yxyx讲授新课讲授新课课堂小结课堂小结解答线性规划问题的步骤：解答线性规划问题的步骤：u第一步：根据约束条件画出可行域；第一步：根据约束条件画出可行域；u第二步：令第二步：令z0，画直线，画直线l0；u第三步：观察，分析，平移直线第三步：观察，分析，平移直线l0， 从而找到最优解；从而找到最优解；u第四步：求出目标函数的最大值或最第四步：求出目标函数的最大值或最 小值小值.