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1、解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1设P(x,y)是椭圆+=1上的一点，F1为椭圆的左焦点，求|PFi|的最大值和6428最小值.分析：由于点F的坐标为(一6,0),因此只须设出点P的坐标(x,y),结合椭圆方程即可建立|PFi|关于横坐标x的目标函
2、数，再结合函数的即可求解解：椭圆的左焦点Fi坐标为(一6,0),根据两点的距离公式，得|PFi| = (x+6)2 + y2 =7 (x+6)2+(28-石x2) =932 233216(X + 3 ) 4 3 |，由已知，得xC8,8,函数3|x+32|在8,8上为增函数,3243332故|PF1|max=1|8+|=14,|PF1|min=：8+1|=2.点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何性质例2已知A
3、(4,0)、B(2,2),M是椭圆9x2+25y2=225上的动点，求|MA|十|MB|MA| 十 |MB| 转A关于O的对称的最大与最小值分析：由于A(4,0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题解析：如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆右焦点，则点Ai(4,0)(左焦点),由椭圆的第一定义，得|MA|十|MAi|=2a,|MA|=2a|MAi|,，|MA|+|MB|=(2a|MAi|)+|MB|=2a+(|MB-|MAi|),在AiBM中，|MB|MAi|gAiB|=2/i0,2/i0MB|MAi|b0)两个焦点为F1,
4、F2,如果曲线C上存在一点Q,使F1Q，F2Q,求椭圆离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，但是若借用三角函数的有界性求解，会有不错的效果.由于F1QXF2Q,因此可设/PFF2=%然后表示出相应的焦半径|QF1|、|QF2,结合定义即可建立离心率关于a的三角函数解：设/QF1F2=a,则|QF1|=|F1F21cosa=2ccos%|QF2|=|F1F2|sina=2csina,由椭圆定义知|QF”十|QF2|=2a,即2ccosa+2csin后2a,a sin a+ cos-)=a故椭圆离心率的最小值为1f= (当 a= 45 时取=),V2sin(汁 45 ) 2二.2点评：
5、本题建立离心率e关于”的目标函数的关键是利用三角函数处理RtQFiF2边角的关系.另外，利用三角函数的有界性求最值时，一定要注意角的范围四、利用椭圆的几何性质，建立变量不等式例4若A、B为椭圆三+9=13八0）的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使/AQBa2b2=120,求此椭圆离心率的最小值.分析：建立a、b、c之间的不等式是解决离心率最值问题常规思路.此题也就要将角转故考虑使用到角公式转化化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。为坐标形式运用椭圆中x、y的取值进行求解离心率的最值解：不妨设A（a0), B(ay0), Q(x , y),则 kAQ = x+ akBQ=,x a
6、利用到角公式及AQB = 120x+ a x 一 a 2ay 厂得=tan120 (x=a),即;2一； = V3y yx2 + y2a21 +,x+ a x -a又点A在椭圆上，故x2a2a2y22ab 2.消去x得丫卡又y4，即写一则4a2(a2-c2)b0)的两焦点为Fi、F2,问当离心率e在什么范围取值时，当椭圆上恒存在点P使/FiPF2=120时，求离心率最小值.分析：利用余弦定理建立|FiF2|与|PFi|、|PF2|的等式，利用均值定理解：设椭圆的焦点为2c,由椭圆定义|PFi|+|PF2|=2a,在45352中，由余弦定理得建立a、c的不等式，通过解不等式可求得离心率的最小值|
7、FiF2|2=|PFi|2+|PF2|22|PFi|PF2|cos/FiPF2=|PFi|2+|PF2|22|PFi|PF21cosi20=(|PFi|十|PF2|)2|PFi|PF2|,所以4a24c2=|PFi|PF2H|PFi|+|PF2|c23)2=a2,3a24c24,即3a24c2-a24-3-又0vevi,所以2至vi,故离心率最小值2点评：本题所涉及的三角形是一个一般的三角形，因此利用了余弦定理进行转化.另外本题还可以利用一条直线到另一条直线到角公式求解，不过过程要较为复杂些例6已知椭圆C:*+y2=i,设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点3O到直3线l的距离为一，求4AO
8、B面积的最大值.2分析：4AOB的高是已知的，因此只要用直线的斜率k结合弦长公式表示线段AB的长，即可将4AOB面积S表示为k的函数，再利用求函数值域方法就可求得最大值解：当ABx轴时，|AB|=3/3当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m,由已知黑一=43得m2=3(k2+i)Vi+k224把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m23=0,36k 2m 2.1AB12 = (1+k2)(XX1)2=(1+k2)(312(m 2-1)12(k2+ 1)(3k 2 + 1 - m2)3k2+1 一(3k2+ 1)23(k2+1)(9k 2+1)(3k2+ 1)212k 23+9k4 + 6k2+ 1 3 +129k2 + +6k212+中=4,当且仅当9k2= 口，即 k2k=F时等号成立，当k=0时，|AB|=、p,综上所述|AB|max=2，当|AB|最大时，ZAOB面积取最大值S=X|AB|max2=点评：解答本题的关键就是利用弦长公式确定直线斜率及利用均值不等式确定函数的最值.感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考
解答椭圆中最值问题策略
