解析几何求轨迹方程的常用方法

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1、解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1 .定义法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，那么可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2 .直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标x,y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，那么可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数，分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=ft，y=gt，进而通过消参化为轨

2、迹的普通方程Fx,y=0。4 .代入法相关点法：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律，该点坐标满足某曲线方程，那么可以设出Px,y，用x,y表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5:交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程，该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程5 .一例1：ABC的顶点A,B的坐标分别为-4,0，4,0，C为动点，且满足sinBsinA-sinC,求点C的轨

3、4迹。例2：ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,假设a,c,b依次构成等差数列，且acb,AB2,求顶点C的轨迹方程.【变式】：圆（x+4尸+y=25的圆心为Mi,圆（芨一4尸+=I的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。【变式】：OC:（x石）2y216部一点A（V3,0）与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于P,求点P的轨迹方程二：用直译法求轨迹方程例3:一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a,AM=b,求AB中点M的轨迹方程?IPAI【变式】：动点Px,y到两定点A一3,0和B3,0的距离的比等于2即12，求动点P的轨迹方|PB|程？三：用参

4、数法求轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值围。例4.过点P2,4作两条互相垂直的直线li,12,假设li交x轴于A点，12交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。例5:过抛物线y22Pxp0的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.【变式】过圆O:x2+y2=4外一点A4,0，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。四：用代入法求轨迹方程22例6点B是椭圆x2A1上的动点，A(2a,0)为定点，习ab例7：如图，从双曲线C:x2y21上一点Q引直线l:x方程.【变式】如下图，P(4,0)是圆x2+y2

5、=36的一点，A、B是圆上的轨迹方程t线段AB的中点M的轨迹方程。y2的垂线，垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹y/X两动点，且满足/APB=90,求矩形APBQ的顶点Qy.BY-q4RjoP.x/jf、f五、用交轨法求轨迹方程22一，一xy_,例8.椭圆31abo的两个顶点为Ai(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于Pi、P2,求AiPi与abA2P2交点M的轨迹方程.2例9:如右图，垂直于x轴的直线交双曲线1于M、N两点，A,A2为双曲线的左、右顶点，求直线AiMb2与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状六、用点差法求轨迹方程2例i0椭圆y2i,2iii求过点PL,1且

6、被P平分的弦所在直线的方程；222求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；3过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;课后作业1 .在ABC中，B,C坐标分别为-3,0，3,0，且三角形周长为16,那么点A的轨迹方程是.2 .两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是.3 .圆的方程为（x-1）9.过原点作直线l和抛物线y x 4x 6交于A、B两点，求线段 AB的中点M的轨迹万程。+y2=1,过原点O作圆白勺弦0A,那么弦的中点M的轨迹方程是2_24.当参数m随意变化时，那么抛物线yx2m1xm1的顶点的轨迹万程为。5：点M到点F4,0的距离比它到直线x50的距离小1,那么点M的轨

7、迹方程为。6:求与两定点0。1,0、A30距离的比为1：2的点的轨迹方程为7 .抛物线y24x的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。8 .动点P到定点F1,0和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。10、定点A(3,0),P是圆x2+寸=1上的动点，/AOP的平分线交AP于M,求M点的轨迹。11、常数a0,经过定点A(0,a)以后(，a)为方向向量的直线与经过定点B(0,a),且以7(1,2a)为方向向量的直线相交于点P,其中R.求点P的轨迹C的方程，它是什么曲线；假设直线l:xy1与曲线C相交于两个不同的点A、B,求曲线C的

8、离心率的围.12、过点M(2,0),作直线l交双曲线x2y21于A、B不同两点，OPOAOB。1、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。2、是否存在这样的直线，使|OP|AB|?假设存在，求出l的方程；假设不存在，说明理由。补充例题:1.过抛物线y 2 = 4 p x ( p 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点 O在直线AB上的射影 M的轨迹。23.如图 11-5-1,圆 O : x22.一xy2.椭圆-2J=1(ab0),点P为其上一点，Fi、F2为椭圆的焦点，/FiPE的外角平分线为1,点F2关于l的对称点ab为Q,F2Q交1于点R(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成

9、的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为C,直线1y=k(x+J2a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.于另一点D.1求证：AD BC ；2假设点P在线段CD上，且 PAD PBC ,求点P的轨迹方程.求轨迹方程的常用方法答案由 sin B sin A5 .-sin C,可知 b a 45c 10,即 | AC | 4|BC|10,满足椭圆的定义。令椭圆方程为2 a2yy 1 ,那么a b5,c4)b 3,那么轨迹方程为2x255),图形为椭圆不含左，右顶点例2:o解：如右图,以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意,a,c,b构成等差数列，2c

10、a即|CA| |CB|21ABi 4，又 CB |CAC的轨迹为椭圆的左半局部.在此椭圆中，a 2,c1 , b J3 ,故C的轨迹方程为1(x 0,x2).【变式】解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:.;|PM1|-5=|FMa|-l|PM1|-|PMa|=4动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4故所求轨迹方程为2222a=2, b2=12。8 0切，那么动圆的圆心 M的轨迹是:2：一动圆与圆O：xy1外切，而与圆C：xy6xA:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支|MO|R1,满足双曲线定义。应选 D。【解答】令动圆半径为R,那么有，那么|MO|-|MC|二2|M

11、C|R1二：用直译法求曲线轨迹方程例3:一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为(x,y)由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，1_1-OM=-AB2aa,22a,x2M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.,一，1【点评】此题中找到了OM=AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有以下几种情况：21代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出，那么采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3运用有

12、关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】：动点Px,y到两定点A一3,0和B3,0的距离的比等于2即LPA12，求动点P的轨迹方|PB|程？【解答】|PA|=J(x3)2y2,|PB|J(x3)2y24y2|PA|(x3)2y2222代入1一12得)q2(x3)2y24(x3)2|PB|.(x3)2y2化简彳导x-5

13、2+y2=16,轨迹是以5,0为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值围。例4.【解析】分析1:从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出作为参数，建立动点M坐标x,y满足的参数方程。解法1:设Mx,y，设直线l1的方程为y-4=kx2，kw。1由l1l2,则直线l2的万程为y4(x2)k4八、li与x轴交点A的坐标为(2-,0),k2、I2与y轴交点b的坐标为(o,4一)，k.M为AB的中点，消去k,彳导x+2y-5=0。另外，当k=0时，AB中点为M1,2，满足上述轨迹方程；当k不存

14、在时，AB中点为M1,2，也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x+2y5=0。分析2:解法1中在利用kik2=-1时，需注意ki、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性：1|MP|-|AB|2解法2:设Mx,y，连结MP,那么A2x,0，B0,2y,|1，l2,.PAB为直角三角形1由直角二角形的性质，|MP|31ABi(x2)2(y4)2-(2x)2(2y)2化简，得x+2y5=0,此即M的轨迹方程。分析3:设Mx,y，由I1H2,联想到两直线垂直的充要条件：kk2=1,即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M

15、为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。A 2x, 0, B 0, 2y。解法3:设Mx,y，M为AB中点,又l1,I2过点P2,4，且I/l2.PAXPB,从而kPAkPB=-1,而kPA4 02 2xkB4 2y2 044 2y2 2x 21,化简，得x 2y 5 0注意到l1，x轴时,l21 y 轴，此时 A2, 0，B0, 4中点M1,2，经检验，它也满足方程x+2y5=0综上可知，点M的轨迹方程为x+2y5=0。【点评】1,1)解法1用了参数法，消参时应注意取值围。解法2,3为直译法，运用了kPAkPB=-1,|MP|一|AB|这此2等量关系。用参数法求解时,般参数可选用具有某种物

16、理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，1 ,，、，,-.直线oa的万程为y kx ,由直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值围对动点坐标取值围的影响例5:解：设M(x,y),直线OA的斜率为k(k0),那么直线OB的斜率为y kx2 解得y 2px2Pk2,IPA(2P,2P),同理可得B(2pk2,2pk).2Pkkk由中点坐标公式，得x 斗 pk2k ，消去k ,得y2P .y pk kp(x 2p),此即点M的轨迹方程BC的中点M的轨迹。【变式】过圆O:x2+y2=4外一点A4,0，作圆的割线，求割线被圆截得的弦解法一：“

17、几何法”设点M的坐标为x,y，因为点M是弦BC的中点，所以OMXBC,所以|OM|2+|MA|2=|OA|2,即(x2+y2)+(x-4)2+y2=16化简得：x22+y2=4由方程与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为x22+y2=40Wx0得k2w,所以x3时，方程变为J(x1)2y7x34,J(x1)2y27x,化简得寸=一胎便一4)。故所求的点p的轨迹方程是尸=板口学43)或y12(x-4)00,解得k(,426)(4276,)。设A1力，B3方，Mx,y，由韦达定理得工二。4k4ka6)6,)。点M的轨迹方程为y2x24x,x(,76)(病，)10、解：如

18、图，设M(x,y卜P(xi,y1)。由于OM平分/ AOP, 故M分AP的比为：| AM |MP |OA|=3|OP|由定比分点公式，得 x3 3x11 3xi即yi3(x 4)43y由于2=1，故*x 4)2( 1，即 (x 4)291633故所求轨迹是以(一,0)为圆心，以一为半径的圆。4411、解：(1)用交轨法a过A以m为万向向重的直线万程为：yax过B以n为方向向量的直线方程为：ya2ax由消去得:2y2a2x1.p的轨迹为双曲线.12(2)联立方程2y2ax2x21消去y得(12a2)x22x1a2依题意有2a212a20_224(12a)(1a)c廷且e3,即040012、解：代

19、入们、2x设直线l的方程为yk(xy21得(1k2)x24k2x2)，4k20,1时，设A(Xi,y1),Bd*),那么XiX24k21k2，X1x24k21k21YiY2k(x12)k(x22)k*4k21k24k4k1k2设P(x,y),由OPOAOB,那么(x, y) (Xi X2，yy)(与1 k事)1 k4k21 k4k1 k2k (k 0)x4k991再将一k代入y2得（x2）2y24y1k当k0时，满足1式；当斜率不存在是，易知P（4,0）满足1式，故所求轨迹方程为（x2）2y24,其轨迹为双曲线；当k1时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。0。2|OP|AB|,所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是OAOB0,即x1x2当k不存在时，A、B坐标分别为（2,J3）,（2,，3）,不满足上式。又仍化简得:ViV22/xk(x12)(x2)(k21)(4k21)2k2*4k2k21k214k2k21k210,此方程无实数解，故不存直线l使OAPB为矩形。2y25,点A(3,0),B(3,0),C为圆O上任意一点，直线CD与BC垂直，并交圆O