空间立体几何点线面判断与证明

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1、常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数生授课时间：月日授课老师：赵鹏飞课题空间立体几何点线面判断与证明教学目标（通掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以过本节课学及证明面面垂直，面面平行等方法和步骤，了解关于几何体中一些基本的计算和比值。生需掌握的知识点及达到程度）本节课考点及单元测试15%中所占分值比例学生薄弱点，证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分，使用性质时没有给出应有的条件需重点讲解导致扣分，计算的失误使得自己失分。内容课前检查上次作业完成情况：优口良口中口差口建议:考向1空间中点、线、面位置关系的判断1 .平面的基本性质的应用公理1:证

2、明“点在面内”或“线在面内”.(2)公理2及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明线”“点线共“三点共要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.2.空间中点、线、面之间的位置关系程讲义部分(3)公理3:确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明0001(1)已知m,n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是()A.若m/&n/a,贝Um/nB.若m，a,n?a,则mnC.若m，a,mn,则n/aD.若m/a,mn,则n，a下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直

3、线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】(1)对于选项A,m与n还可以相交或异面；炉F连赠C,/可以是n?a;对手连成D,还前似是n/a或n?域n与a相父.(2)对于命题A,这两条直线可以相交或为异面直线，A错误；对于命题B,这两个平面可以相交，.二B错误；对于命题D,这两个平面还可能相交，一.D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确.故选C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质

4、逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况.解题时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象.何目囱解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义,然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决.(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题.考向2异面直线所成的角1 .两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的冗锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角.若记这个角为8,则K0,22 .判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内

5、一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面.E3OEIO2(1)(2014大纲全国，4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A1BXA.6B.6c.1D.m33(2)如图，已知二面角a-MN-B的大小为60,菱形ABCD在面B内，A,点在棱MN上，/BAD=60是AB的中点，DO，面%垂足为O.- fic证明：AB，平面ODE;求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解析】(1)如图，取AD的中点F,连接CF,EF,则EF/BD,/CEF即为异面直线CE与BD所成的

6、角.设正四面体的棱长为2,则CE=CF=31EF= 一BD = 1.2CE2+EF2-CF2由余弦定理得cos/CEF=2CEEFCE与BD所成角的余弦值为(2)证明:如图，; DO a,一.故选B.AB? a, . .DO AB.连接BD,由题设知，4ABD是正三角形.又E是AB的中点，DE，AB.而DOADE=D,故AB，平面ODE.因为BC/AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即/ADO是异面直线BC与OD所成的角.由知，AB，平面ODE,所以ABXOEXDEXAB,于是/DEO是二面角o-MN-B的平面角，从而/DEO=60.不妨设AB=2,则AD=2.易知DE=a/3

7、.在RtOE中，DO=DEsin60上23连接AO,在RtzAOD中，cosDO=当二/=3.AD24故异面直线BC与OD所成角的余弦值为3.4【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线.解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里.特别为直角三角形.000求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.(2)证：证明作出的角为所求角.(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角.*注意两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内

8、角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.考向3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语百图形谛言符号谛言判止止理不在平面内的一条直线与此平间内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行？线向平行)l?aa?a?l/al/a性质止理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一半向与此平闻的父线与该直线平行(简记为线向平行？线线平行)aIIaa?B?a/baAB=b1注意直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法.E3DEID1(2014北京，17,14分)如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱垂直于

9、底面，ABXBC,AAi=AC=2,BC=1,E,F分别是AiCi,BC的中点.(1)求证：平面ABEL平面BiBCCi;(2)求证：CiF/平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明ABL平面BiBCCi;(2)取AB的中点G,构造四边形FGECi,证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可.【解析】(1)证明：在三棱柱ABC-AiBiCi中，BB底面ABC.所以BBiAB.又因为ABXBC,所以ABL平面BiBCCi.所以平面ABEL平面BiBCCi.(2)证明：如图，取AB中点G,连接EG,FG.因为G,F分别是AB,BC的

10、中点，所以FG/AC,且FG=1AC.2因为AC/A1C1,且AC=AiCi,E为A1C1的中点，所以FG/ECi,且FG=ECi.所以四边形FGECi为平行四边形.所以CiF/EG.又因为EG?平面ABE,CiF?平面ABE,所以CiF/平面ABE.(3)因为AAi=AC=2,BC=i,ABXBC,所以AB=aC2-BC2=，3.所以三棱锥E-ABC的体积V=SzBCAAi=X-X#xiX2=.33230000.i.证明线面平行问题的思路(一)(i)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.证明线面平行问题的思路(二)(i)

11、在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行;(4)转化为线面平行.目图吃回(2013江苏，18,13分)如图，在边长为i的等边三角形abc中,AF与DE交于点G.将BC*2D,E分别是AB,AC上的点，AD=AE,F是BC的中点,ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中(1)证明：DE/平面BCF;证明：CF，平面ABF;当AD=2时，求三棱锥F-DEG的体积.3解：(1)证明：在等边三角形ABC中，AD=AE,ADAE.一=一，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,DBE

12、CDE/BC.DE?平面BCF,BC?平面BCF,DE/平面BCF.证明：由图，在等边三角形ABC中，F是BC的中点,.AFXBC,在三棱锥中仍有AFXCF,1BF=CF=.2在三棱锥A-BCF中，BC=Y22.BC2=BF2+CF2,.CFXBF.又BFnAF=F,.CF，平面ABF.(3)由可知GE/CF,结合(2)可得GE，平面DFG.Vf-deg=Ve-dfg1 1=-x-DGFGEG32= -x-x-x -x1X-3一324考向4面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语百图形谛言符号谛言判止止理一个平闻内的两条相交直线与另一个平间平行，则这两个平间平行(简记为线面

13、平行？闻闻平行)/7口a?ab?aanb=P?allBa/Bb/B性质止理如果两个平行平闻同时和第三个平向相交，那么它们的交线平行Za/0aA丫=a?a/bK尸b/平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意定是第三个平面与两平行平面相交，具交线平行.OEIO2如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，O是底面中心，AiO,底面ABCD,AB=AAi=，2.证明：平面AiBD/平面CDiBi;(2)求三棱柱ABD-AiBiDi的体积.2【解析】（1）证明：由题设知，BBi统DDi,四边形BB1D1D是平行四边形，.BD/BiDi.又BD?平面CDiB

14、i,.BD/平面CDiBi.AiDi统BiCi统BC,一四边形AiBCDi是平行四边形，.AiB/DiC.又AiB?平面CDiBi,AiB/平面CDiBi.又BDAAiB=B,平面AiBD/平面CDiBi.AiO,平面ABCD,AiO是三棱柱ABD-AiBiDi的高.又.AOmIaCmI,AAi=也，.AiO=a/aa2-ao2=i.又S/ABD=X，2X，2=1,.VABD-AiBiDi=SzabdAiO=1.【点拨】解题需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高.E)圆目囱,1.判定面面平行的四个方

15、法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.2 .平行问题的转化关系线线平行内山田图(2014十校联考，18,12分)如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，D是BC上一点，且A1B/平面ACD,D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1/平面AC1D.证明：如图，连接AiC交ACi于点E,连接ED.四边形AiACCi是平行四边形，.E是AiC的中点.AiB/平面ACiD,平面AiBCn平面ACiD=ED,A1B/ED.E是AiC的中点，D是BC的中

16、点.又Di是BiCi的中点，DiCi统BD,四边形BDCiDi为平行四边形,.BDi/CiD.又AiBABDi=B,DEADCi=D,平面AiBDi/平面ACiD.考向5线面垂直的判定与性质冗ABCD, AB = 2, /BAD= 一31M为BC上一点，且BM =一 2直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语百图形谛言符号谛言判一条直线与半卸内的两na,b?a止7aCb=O条相交直线都垂直，则该?la止报“O:/la直线与此平闻垂直Hb理11性质垂直于同一个平间的两/hMaa/_Ly?a/b止条直线平行IT|bXa理0国国团1如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以。为中心的菱形，PO,底面(1)

17、证明：BS平面POM;(2)若MPLAP,求四棱锥P-ABMO的体积.【思路导引】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证OMIBM,再由线面垂直的判定定理证明;(2)将底面四边形ABMO分为AABO与AMBO来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弓S定理求出PO,代入棱锥的体积公式求解.【解析】(1)证明：如图，连接OB,因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，所以AOXOB.因为/BAD=g,故OB=ABsin/OAB=2sin1.又因为BM=1,且/OBM=,23在AOBM中，OM2=OB2+BM22OBBMcos/OBM=12+12-2X1x-Xcos-=32234所以ob2=om2

18、+bm2,故ombm.又PO,底面ABCD,所以POXBC.又OM?平面POM,PO?平面POM,OMAPO=O,所以BC，平面POM.(2)由(1)可得，OA=ABcos/OAB=2cos；=木设PO=a,由PO,底面ABCD知，HOA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由APOM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+3.4如图，连接AM.ftABM中，AM2=AB2+BM22ABBMcosZABM=2212兀212X2x-Xcos一二一234由已知MPLAP,故4APM为直角三角形,321则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+-=-444日 C彳寸a =231

19、32，a=-2(舍去)即P=2此时S四边形ABMO=S/AOB+SHMBJAOOB+-BMOM22111353一x73X1+-x22228所以四棱锥P-ABMO的体积115.3216Vp-ABMO=1S四边形ABMOPO=gX&(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直.(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直.(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论.2.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性

20、质定理.考向6面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理符号语言i?一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平止理面互相垂直性质止理两个平面互相垂直，则一个平间内垂直于交线的直线垂直于另一个平间L111aX0l?B?UaaA0=alaO0E3D2（2014江苏，16,14分）如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAXAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证：（1）直线PA/平面DEF;（2）平面BDE，平面ABC.【思路导引】（1）利用三角形中位线的性质找到线线平行,平行的判定定理进行求证；（2）要证面面垂直可考虑寻找线面垂直,再运用直线与平面

21、要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直.【证明】（1）因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE/PA.又因为PA?平面DEF,DE?平面DEF,所以直线PA/平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA=6,BC=8,所以DE/PA,DE=-PA=3,EF=-BC=4.22又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以/DEF=90,gPDEXEF.又PALACDE/PA,所以DELAC.因为ACnEF=E,aC?平面ABC,EF?平面ABC,所以DEH面ABC.又DE?平面BDE,所以平面BDEL平面ABC.1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面

22、垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.垂直问题的转化关系划定I判宓判任I纹纹垂H线而垂仃面而垂fC性质性质I性质考向7线面角、二面角的求法1 .线面角1XB围 线Q氾 ，的 a a I )优 面 线 2),.7 12 3。00角 面 二 2/A0-0-QC1,OA? a, OB? & OAL, OBL,则二面角8的范围：0(2)若二面角 P-AD-B * 60 0 ,证明：平面PBC，平面ABCD;求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【思路导引】（1）因

23、为E, F分别是所在棱的中点,可取PB的中点M ,证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明.连接PE,BE,由题意知/PEB=60,心PEB中利用余弦定理证出BEXPB.XBEXAD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；由知BE，平面PBC,则/EFB即为直线EF与平面PBC所成的角.AM.【解析】（1）证明：如图，取PB中点M,连接MF,因为F为PC中点.故MF/BC且MF=1BC.2由已知有BC/AD,BC=AD.又由于E为AD的中点，因而MF/AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM.又AM?平面PAB、而EF?平面PAB,所以EF/平面

24、PAB.证明：如图，连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD的中点，故PELAD,BEXAD,所以/PEB为二面角P-AD-B的平面角.在APAD中，由PA=PD=/5,AD=2,可解得PE=2.在4ABD中，由BA=BD=/2,AD=2,可解得BE=1.在4PEB中，PE=2,BE=1,/PEB=60,由余弦定理，可解得pb=/3,从而/PBE=90,gPBEXPB.又BC/AD,BEXAD,从而BEXBC,因止匕BE,平面PBC.又BE?平面ABCD,所以平面PBC,平面ABCD.如图，连接BF.由知，BE,平面PBC,所以/EFB为直线EF与平面PBC所成的角.由PB=6及

25、已知，得/ABP为直角.而MB=一PB=,可得AM221111所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为11BEEF 11又BE=1,故在Rt在BF中，sin/EFB=国何段囹-1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角.2 .空间角的找法(1)线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足.(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法；垂面法.其中定义法是最常用的方法.课巩固练习：堂1.如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形，PAL平面ABCD,PA=AD练=2,AB

26、=1,BMPD于点M.沿AC折起到PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图所示，点E, F分别为棱PC, CD的中点.(1)求证：平面OEF/平面APD;(2)求证：CD，平面POF;(3)若AD=3,CD=4,AB=5,求四棱锥E-CFO的体积1.解：(1)证明：:PA，平ABCD,AB?平闻ABCD,.paxaB.VABXADADAPA=A,AD?平面PAD,PA?平面PAD,.AB，平而PAD.,.PD?平面PAD,.ABXPD.错题回顾,.BMPD,ABABM=B,AB?平面ABM,BM?平面ABM,.PD平面ABM.AM?平面ABM,.AMPD.(2)由

27、(1)知,AMPD,又PA=AD,则M是PD的中点.在RtZPAD中，AM=/2在RtMDM中，MC=JMD2+DC2=4,-Szacm=AMMC=22设点D到平面ACM的距离为h,由Vd-acm=Vm-acd,得一SZACMh=-Szacd丁PA.332设直线则sincosCD与平面ACM所成的角为9,CD3，直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为F332.证明：（1）如图所示，取SB中点E,连接ME,.M为SA的中点，故ME/AB,且ME=1AB.2.N为CD的中点，故CN=1AB,从而ME/CN,且ME=CN,2四边形MECN是平行四边形， MIN/EC.又EC?平面SBC,MN?平面S

28、BC, 直线MN/平面SBC.如图，连接AC,BD相交于点O.SA，底面ABCD,故SALBD. 四边形ABCD是菱形，.ACXBD.又SAAAC=A,故BDL平面SAC.又BD?平面SBD,平面SBDL平面SAC.CE.II+3.解：（1）证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC所以PO,平面ADC,所以POLAC.因为AB=BC,所以。是AC中点.又点E是PC的中点,所以OEMPA,PA?平面PAD.所以OEII平面PAD.同理OF/平面PAD.又OEAOF=O,OE,OF?平面OEF,所以平面OEF/平面PAD.证明：因为OF/AD,ADXCD,所以OFLCD.又POL平面ADC,CD?平面ADC,所以POXCD.又OFAPO=O,所以CD,平面POF.(3)因为/ADC=90,AD=3,CD=4,所以而点所以1Szacd=-X3X4=6,2O,F分别是AC,CD的中点,SzCFO=_SZACD=一,42由题意可知4ACP为边长为5的等边三角形,所以OP =即点P到点面ACD的距离为又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为1 3,故 Ve-cfo=X73 2学生课堂评价： 优口良口中口学生总结（课上完成）：教师课堂反馈（课上完成）：家庭作业：教研组长签字：感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考