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1、极坐标系与参数方程疏编稿：侯彬审稿：安东明责编：辛文升、基础知识回顾1 .极坐标系&（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点0,由0点出发的一条射线 Ox, 个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向） 合称为一个极坐标系。0点称为极点，Ox称为极轴。平面上任意点Ox至U 0M的角度去来刻画，这两个数组成的有序数对，称为点M的极坐标。4称为极径，L称为极角。多数情况 下，我们用弧度制度量士。注意：平面上的点与其极坐标之间不具有对应关系，因为若点M的一组极坐标为_ -，则Q日+2炊）（k Z）也是点M的极坐标。若限定 弘U远，则除原点 外，点其极坐标一一对应。（2）极坐标系与直角坐标系的互化
2、在平面上取定了一个极坐标系,以极轴作为直角坐标系的& x轴的正半轴，以7T2的射线作y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。设M为平面上的一点，它的直角坐标为（ x, y）,极坐标为 9Q。画图可知:r 23 .2p =孟+ytan (x 0)或Ix（3）曲线的极坐标方程的概念在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程刃（口8）=0。如果曲线c是由极坐标1 满足方程的所有点组成的，则称此二元方程J1为曲线C的极坐标方程。也就是说：以方程的解为坐标的点在曲线C上； 曲线C上的点的至少一组坐标是方程的解。(4) 直线的极坐标方程 经过极点：-二二或+二斤二。 垂直于极轴且
3、与极点距离为a( 0) := 土说。 平行于极轴且与极点距离为a ( 0)：乜。(5) 圆的极坐标方程 圆心为极点，半径为 r:口二尸。 圆心为(r, 0),半径为r: Q =日。 圆心为，半径为r:一2 圆心为二，半径为r。 圆心为.,半径为r:- 宀：。2 参数方程包(1) 定义：平面直角坐标系上点的坐标x, y表示为第三个变量t的函数,-,参数t是联系x, y的桥梁，消去t即得到方程F(x, y)=0。注意：对t的每一取值，方程组确定的点(x, y)在曲线上；线上任一点(x, y)都可由t的某一取值通过方程组可得到。*(2) 已知直线经过定点Po(xo, yo),倾斜角为；，则方向向量一
4、，直线上任意一点X 二心 +icos cc十e、,卄口 RP -iv mtt y 二片如口e /丄、/ q怙、P(x, y)满足D，则X c(t为参数)。注意：参数t的意义：t的符号：相对于 Po (xo, y)的位置。t的绝对值：|PoP|=|t|。若已知一般的方向向量1- 1 类似于上述过程时参数t就不具有上述参数方程的意义。K=屯+戊上=旳+曲(t为参数)，但此(3)圆一.-的参数方程:盂= 十F COS召丁二艸4疔垃占，日为参数。椭圆的参数方程:二、典型例题冏-ijt cos Bi.设点、，直线过极点且垂直于极轴, 极点的对称点的极坐标。I窿分别求点M关于极轴，直线,解：关于极轴：一一
5、；关于直线儿一 一门关于极点：y十。说明：点的极坐标不唯一，写出一组即可。2.把下列点的极坐标化为直角坐标：，B( 1，2)。国2解: (1) ： ，二,- A点直角坐标-、。)戸鸟=1= 2 x= cos = cos 22 丿 ，一 , 一 一 B点直角坐标3. 把下列点的直角坐标化为极坐标：A (1，- 1), B (1 , n ) _1解: (1)=: 一 ，亠 W门 ,-，又A在第四象限,-7(2)求直线与直线1 -：2 2 (x +y )(x 1)=023 n(4)儿-：曲线经过极点- (x2+y2)2=2a2xy5求直线 = 2_4/的倾斜角。由(2)求直线与直线1 -： _1的交
6、点P的坐标及|PM| 。(2)求直线与直线1 -： _1的交点P的坐标及|PM| 。解：法一：直线的方向向量_倾斜角为法二：消去t，将直线方程化为普通方程为-442V =-兀-| 即-3TT arctan ，倾斜角为：(2)求直线与直线1 -： _1的交点P的坐标及|PM| 。(2)求直线与直线1 -：兰+疋=1田&求椭圆- 上的点到M (2, 0)的距离的最小值。國解：设椭圆上点坐标- ：ri，J , M到椭圆上点的距离为 d=-24 cos + 4 + 20(1- cos3 8) =： 16cosJ 24cos + 24= 16(003/ 4*15CQ & 一12| g当_时 (2)求直线与直线1 -： _1的交点P的坐标及|PM| 。椭圆上点到 M （2, 0）的距离最小值为/亠。三、课后练习闔1 极坐标方程 ?_ 1二 表示的曲线是（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线/不閃口 20+ 2-725111（+） = 02. 已知动圆方程，那么圆心的轨迹是（）A.椭圆B.椭圆的一部分C.抛物线D.抛物线的一部分3. 圆込日-5血1已的圆心的极坐标是。4. 曲线 = 4si11 与2的交点的极坐标是 。j 2 + 2/45. 圆心在（2, 1）,半径为4的圆在直线一上所截的弦长为 。参考答案：0一）（魂）（N 爭1. B 2. D 3.- 4.5. 8
极坐标系与参数方程
