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1、精选优质文档-倾情为你奉上第9章 无穷级数（数一、三）9.1 常数项级数的概念与性质9.1.1 常数项级数的概念 设是给定的数列，则表达式称为常数项无穷级数，简称级数，记为。其中称为级数的通项。（1） 部分和数列：称为级数的前项和，称 为级数的部分和数列。（2） 级数收敛的充要条件是它的部分和数列收敛。备注：若的部分和数列存在极限，且，则收敛于和。“和”相对于级数收敛而言的，发散的级数没有和而言。称为级数的余项，且当收敛时有。9.1.2 常数项级数的性质（1） 设级数、分别收敛于常数，对于任意常数，则级数也收敛，且。备注：两收则和差均收，两发则和差不定，一收一发和差必发。（2） 任意改变、增加
2、、去掉级数前面有限项不会改变级数的敛散性。（3） 在一个收敛级数中任意添加括号得到的新级数仍收敛于原级数的和。备注：若任意添加括号得到的新级数发散，则原级数必发散。若任意添加括号得到的新级数收敛，则原级数不一定收敛。（4） 若级数收敛，则。（级数收敛的必要条件）备注：若，则级数发散。若，则级数的敛散性无法判断。（5） 几种特殊级数的敛散性 几何级数： 调和级数：发散 级数：例1：已知级数发散，则（）（A） 一定收敛 （B）一定发散（C）不一定收敛 （D）例2：若级数与均发散，则（）（A） 发散 （B）发散 （C）发散 （D）发散例3：设有以下命题：若收敛，则收敛；若，则发散；若收敛，则与均发散
3、。则以上命题正确的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3例4：判断下列级数的敛散性，若收敛求出其和。（1） 级数：（2） 级数：（3） 级数：（4） 级数：例5：求下列级数的和（1）（2）例6：求极限（）9.2 正项级数判别法9.2.1 正项级数的概念 设，则级数为正项级数。（1） 正项级数的部分和数列是单调递增的。（2） 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。9.2.2 正项级数的判别法9.2.2.1 比较判别法（1）设与均为正项级数，且，则 若收敛，则收敛；若发散，则发散。（2） 比较判别法的极限形式 设与均为正项级数，且，则 当时，则与具有相同的敛散性。 当时，若收敛，则收敛
4、。 当时，若发散，则发散。（3） 推论： 设级数为正项级数，则 若，（或）时，则发散。 若，且存在，则收敛。备注：比较判别法的关键是找到一个已知级数与之进行比较，然后利用已知级数的敛散性来判断其敛散性。正项级数中等价级数具有相同的敛散性，常常利用等价级数来判断级数的敛散性。9.2.2.2 比值判别法设为正项级数，且，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数的敛散性无法判断。备注：比值判别法适用于与含有公因子，且存在或为。9.2.2.3 根值判别法设为正项级数，且，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数的敛散性无法判断。备注：根值判别法适用于含有表达式的次幂，且存在或为。9.2.2.4
5、 柯西审敛判别法 设为正的单减函数，若收敛，则级数收敛，且收敛于。例7：判断下列级数的敛散性（1） （2）（3）（4） （5）（6）（7） （8）（9）（10）（11） （12）（13）（14）例8：若及收敛，证明下列级数也收敛（1） （2） （3）9.3 一般常数项级数9.3.1 交错级数（1） 定义：若，则级数为交错级数。（2） 莱布尼茨定理：若交错级数满足：；，则收敛，且收敛于和。备注：莱布尼茨定理只适用于交错级数的判定。若交错级数满足莱布尼茨定理的条件，用级数的前项部分和作为级数和的近似值，其误差的绝对值不超过。9.3.2 绝对收敛和条件收敛（1） 绝对值级数：级数称为的绝对值级数。（
6、2） 绝对收敛：若收敛，则绝对收敛。（3） 条件收敛：若发散，而收敛，则条件收敛。备注：判断常数项级数的敛散性，如果级数收敛则要具体说明是绝对收敛还是条件收敛，因而级数的敛散性有三种情况：绝对收敛；条件收敛；发散。9.3.3 一般常数项级数判别的步骤：判断通项的极限是否为零发散。 YES判断是否为正项级数 NO判断是否为交错级数莱布尼茨定理 NO判断是否收敛绝对收敛 NO判断是否收敛条件收敛 NO 发散例9：判别级数的敛散性。例10：判断下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散。（1） （2）例11：级数是绝对收敛，条件收敛还是发散。9.4 幂级数9.4.1 函数项级数的一般概念（1） 定义：设是
7、定义在上的函数列，则表达式是定义在上的函数项级数，记为=，其中称为通项。（2） 部分和：为的前项部分和。（3） 收敛域：若，收敛，即存在，则是的收敛点，收敛点的全体称为收敛域。（4） 发散域：若，发散，即不存在，则是的发散点，发散点的全体称为发散域。（5） 和函数：设函数项级数的收敛域为，对于上的任意一点都有，则称是在上的和函数。备注：和函数是相对于收敛域而言的。几何级数9.4.2 幂级数（1） 定义：形如的式子称为幂级数，其中称为幂级数的系数。备注：幂级数的收敛域总是非空的，是的收敛点。对于形如的级数可以通过变量代换转化为幂级数（2） 阿贝尔定理：如果收敛，对于的一切，则绝对收敛；如果发散，
8、对于的一切，则发散。（3） 定理1：如果幂级数既不是在原点一点处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必确定一个正数，当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数有可能收敛也有可能发散。则为幂级数的收敛半径，称为收敛区间。备注：若收敛半径，则仅在原点处收敛；若收敛半径，则在整个数轴上都收敛。幂级数只有在收敛半径端点处才可能条件收敛。设幂级数的收敛域为，则。（4） 收敛半径的求解方法不缺项：设幂级数的所有系数均不为零，且，则收敛半径缺项：形如与的级数求收敛半径，需要将通项作为整体用比值法或根值法进行求解，即或者（5） 幂级数的运算设幂级数与的收敛半径分别为，则，收敛半径备注：当时，其和的级数
9、的收敛区间可能扩大。，收敛半径（待定），收敛半径 （6） 幂级数的性质设幂级数的收敛半径为，收敛域为，则幂级数的和函数在其收敛域上连续；幂级数的和函数在其收敛域内可逐项积分，即 幂级数的和函数在其收敛区间内可逐项求导，即 备注：幂级数逐项积分或逐项求导之后，收敛半径不会发生变化，但是在收敛半径端点处的敛散性可能发生改变。幂级数在收敛域上具有任意阶导数。求幂级数和函数的两种思路：a逐项求导；b逐项积分，最终的目的是得到几何级数，直接写出和函数。例12：求幂级数的收敛半径。例13：求下列级数的收敛区间（1） （2）（3）例14：求下列幂级数的和函数（1） （2）（3）例15：设收敛，则级数（）（A
10、） 条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不定例16：设幂级数在收敛，在发散，则该幂级数收敛域为例17：求幂级数在区间内的和函数。例18：求幂级数的收敛域及和函数。例19：设为曲线与轴所围成区域的面积，记，求与的值。例20：验证函数满足微分方程，利用上面结果求幂级数的和函数。例21：求级数的和例22：已知级数在处条件收敛，则收敛半径为9.5 函数展开成幂级数（1） 泰勒级数的定义： 若函数在点的某领域内具有任意阶导数，则称幂级数为在处的泰勒级数。当时，称为的麦克劳林公式级数。（2） 函数展开成泰勒级数的充要条件 设函数在上具有任意阶导数，泰勒级数的收敛区间为，则=成立的充要条件是：在区间上，。（3） 常见函数的麦克劳林级数 备注：函数展开成幂级数是幂级数求和函数的逆运算。没有任意阶导数的函数是不能展开成幂级数的。将函数展开成幂级数后一定要注明其收敛区间。（4） 函数展开成幂级数的方法：直接法；间接法。备注：间接法是利用函数的线性运算法则，变量代换，求导或求积将已知函数转化成七种常见函数，然后利用其麦克劳林级数公式展开，依据是函数的唯一性定理。例23：将函数展开成的幂级数。例24：将下列函数展开成的幂级数。（1） （2）（3） （4）例25：将函数展开成的幂级数。例26：已知函数，则专心-专注-专业
第九章-无穷级数汇总(共15页)
