数学(文)二轮复习通用讲义：第二板块热点锁定

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1、翦之在廉热点锁定考前传授30个题点技巧力争“高人一招”题点技巧(一)巧用性质妙解函数解题技法一一学一招函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用.以对称性为例，若函数f(x)满足f(a+x)=f(bx),则函数图象关于直线x=a2b对称；若函数f(x)满足f(a+x)+f(bx)=c,则函数图象关于点ia22严称.典例(2018衡阳四中月考)函数y=f(x)在区间0,2上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是()AfdbfgX)B虑1)德)cf2：4：32,所以fg,f(3)f*/,即f|7f(1)01,设f(x)=x2+bxc(x0)的图

2、象关于原点对称，则a,b,C的值分别为()A.-1,-2,0B.1,2,0C.-1,2,0D.1,2,0解析：选D因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，即f(x)=f(x),设x0,所以f(x)=(x)，2(x)=x22x.因为f(x)=f(x),所以一f(x)=x22x,即f(x)=x2+2x.故a=1,b=2,c=0,选D.2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A.0f(1)f(3)B.f0f(1)C.f(1)0f(3)D,f(3)f(1)f(0)f(1),即f(1)00,则kf(x)与f(x)单调性相同

3、；若k0,则kf(x)与f(x)单调性相反.1(4)在公共7E义域内，函数y=f(x)(f(x)W0)与y=f(x)y=7-倜性相反；函数y=fxf(x)(f(x0)与y=f产调性相同.提示在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件.2 .有关函数奇偶性的常用结论(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0,fxx丁虫.(2)设f(x),g(x)的定义域分别是Di,D2,那么在它们的公共定义域上：奇十奇一奇，奇X奇一偶，偶+偶一偶，偶x偶=偶,奇X偶一奇.(3)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.3 .有关

4、函数f(x)周期性的常用结论(1)若f(x+a)=f(xa),则函数f(x)的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=f(x),则函数f(x)的周期为2|a|;1(3)若 f(x+a) = Xx则函数f(x)的周期为2|a|;1(4)右f(x+a)=；，则函数f(x)的周期为2|a|.fx题点技巧(二)最值函数大显身手解题技法一一学一招最值函数的定义:a, ab,b为实数，则mina,b=5b, b b ba.解有些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼(1严而信，baybmaxa,b;-也/牺，卬喝b.典例已知函数f(x)=x2+px+q过点(&0),(&0),若存在整数n,使na1B.

5、minf(n),f(n+1)4八一，、1C. minf(n),f(n+1)=4D.不能确定2解析因为a,3为f(x)=0的根，所以f(x)=x+px+q=(xa)(x3,f(n)=(na)(n-3),f(n+1)=(n+1-a)(n+1-),minf(n),f(n+1)/f(n)f(n+1)=7(a-nJ3-njn+1aJn+113、/匕J=，故选B.答案B经典好题一一练一手1 .设a,b为平面向量，则()A. min|a+b|,|ab|min|a|,|b|C. max|a+b|2,|ab|2w|a|2+|b|2D. max|a+b|2,|ab|2|a|2+|b|222|a+b|2+|a-b|

6、222解析：选Dmax|a+b|2,|a-b|22=|a|2+|b|2,故选D.a, ab,a b= 0, c=后 +pb(归0,m0,且入十 尸1),则当max c a, c b取最小值时,|c|=()2. (2018 兰州模拟)记 maxa, b= 已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,b,a245.y414.c=5a+产版441即maxca,cb的最小值为5,此时入=5,5,2/5一5.题点技巧(三)成图在胸巧比大小解题技法一一学一招哥数、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”或“成图在胸”.解决这类问题首先要区分这

7、些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小.典例已知a=耍b=Jn3, 23c=譬，则a, b, c的大小关系是 5.(用“”表不排列)解析法一(数形结合法)：变形(2, ln 2)与点。0)连线的斜率.同理,ln2ln2-0a=2=20，则a表示函数丫=lnx图象上的点ln3ln3-0ln5ln5-0b=T=:r(T，c=t=-5-Q-分别表示(3,ln3),(5,ln5)与点(0,0)连线的斜率.作出函数y=lnx的图象，标出相应点的位置，观察可知bac.法二(构造函数法)：令丫=y=一学，令y=一学=0,得*=?所以函数xxx在xC(

8、0,e)上单调递增，在xC(e,+8)上单调递减，函数在x=e处取得极大值，所以ba,bc,再作差比较a与c的大小，易知bac.答案bac经典好题一一练一手1.已知实数a,b满足不等式log2alog3b,则不可能成立的是()A.0ba1B.0ab1C.0a1bD.1ba解析：选D如图y=g(x)表示以2为底的对数函数图象，y=f(x)表示以3为底的对数函数图象，根据log2alog3b,彳导1ba不可能成立，故选D.2.设 a, b, c 均为正数,且 2a= log2a, Q)=%b )= log2G 则(A. abcC. cab解析：选A法B. c baD. bac首先确定a是函数丫=2

9、与丫= log2x图象的交点的横坐标，b是函y= g j与y= iog1x图象的交点的横坐标,c是函数y= gj与y= log2x图象的交点的横坐标.分别画出函数y=2x,y=gj,y=log2x,y=log2x的图象(图象略)，易知ab1,即log2a1,解得0a2.0%J1,即log2b1,解1得2Vb1.0Vg:1即0log2c1,解得1c2.ab0且aw1)的单调性;(2)指数相同，底数不同，如xa与xa,利用哥函数y=xa的单调性比较大小；(3)底数指数都不同，如ax1与bx2,寻找中间变量0,1或bx1或ax题点技巧(四)特值探路秒杀小题解题技法一一学一招特值探路法就是运用满足题设

10、条件的某些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊角、特殊数列等对选择题各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判断选项正确与否的方法.有时，也会取特殊位置，特殊模型等特征入手，简化运算，速得结论.典例设四边形ABCD为平行四边形，|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2旋，则疝疝=()A.20B.15C.9D.6解析若四边形ABCD为矩形，建系如图.由BM=3MC,DN=2NC,知M(6,3),N(4,4),AM=(6,3),NM=(2,-1),AmNM=6X2+3X(-1)=9.答案C技法领悟取特例法具有简化运算和推理的功效，比

11、较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例解选择题时，要注意以下两点：第一，取的特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.经典好题练一手1 .存在函数f(x)满足对任意xCR都有()2,A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|解析：选D在A中，取x=0,可知f(sin0)=sin0,即f(0)=0,再取x=；,可知f(sinM=sin。即f(0)=1,与f(0)=0矛盾，故A错误；同理可知B错误；在C中，取x=

12、1,可知f(2)=2,再取x=1,可知f(2)=0,与f(2)=2矛盾，故C错误.由排除法知选D.2,设椭圆C:x-+y=1的长轴的两端点分别是M,N,P是C上异于M,N的任意一43点，则PM与PN的斜率之积等于.解析：取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0,回又M(2,0),N(2,0),所以kpM kpN =坐名34.答案：34题点技巧(五)应用导数开阔思路解题技法一一学一招1 .函数的单调性与导数的关系(1)f(x)0?f(x)为增函数；(2)f(x)x2ex1在1,2上恒x成立.令h(x)=x2ex-1,则h(x)=ex1(x2+2x)0在1,2上恒成立，即h(x)在1,2上单调递增

13、，所以h(x)=x2ex1在1,2上的最大值为h(2)=4e,即m4e.所以实数m的取值范围为4e,+oo).(2)因为f(x)=又叫)在x=1处有极值，所以f(1)=e-m=0,解得m=1,经检验符合题意.所以f(x)=ex1+Lg(x)=f(x)-n=ex1+-n.xx对g(x)求导，得g(x)=ex1-2,x当xC(0,1)时,g(x)0,g(x)为增函数.所以g(x)在x=1处取得极小值g(1)=e0+1n=2n.依题意，g(x)在(0,+8)上有零点，所以g(i)w0,即2-nW0,所以n2.所以n的最小值为2.技法领悟本题的求解涉及两类题型的求解方法：(1)求参数的取值范围问题，方

14、法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题.(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f(t),而函数又在此区间有零点，则结合图形解析，可得”1)0(或。W0).经典好题一一练一手2x3+3x2+1(x0)是()A.Jln2,i；B,0,3n21C.(-巴0)D.j00,$n21解析：选D设丫=2x3+3x2+1(2WxW0),则y=6x(x+1)(2WxW0),所以一2Wx0,1x0时，y0时，y=eax在(0,2上的最大值e2aw2,所以0aw2m2,当a=0时，y=K2,当a0,得xC0,ei所以函数g(x)在0,e:上单

15、调递增，令g(x)2,人lnx3令h(x)=+2，则xC(0,令h(x)0,得xC(0,e),所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,令h(x)0,得xC(e,+8),所以函数h(x)在(e,+8)上单调增减,所以 h(x)max= h(e) =J+3J + 3=2e 2 e 2 2 2即h(x)2lnx,所以方程21f(x)|3x=2lnx无解.题点技巧(六)三角问题重在三变解题技法一一学一招“三变”是指变角、变数与变式(1声角(x=3,a= ( a+ 3) 322数特别是“ 1”的代换,1 = sin2。+ co$2 0= tan 45 等.2cos a=1 + cos 2a.22, si

16、n a=1 cos 2a2.tan a Man 3= tan 311 ?tan atan 3)2sin ocos a 2tan asin 2a= 2sin acos a= sin2 + co/ = tan2 + 1cos 2a= cos a.2 cos，sin asin a= T-2：2sin a+ cos a21 tan a2-7.tan a+ 1典例若 sin 2a= 55, sin(M a)=W0,且 a兀L跃Tt, I,则a+ 3的值是)7兀 A-4B9_n:5-7兀CN了解析因为必工,，兀，所以2aC又 sin 2a=坐, 5jt2兀所以 cos 2a=2155 .故 3- a兀,%

17、 ,于是cos(3-a)=OF，所以cos(a+3)=cos2a+(3a)=cos2acos(3a)sin2osin(3a)2_5V310工=510厂5X10=2且a十队5：2兀!故a+3=7f.答案A经典好题练一手1 .已知a为锐角，若sin/6k5,则cos2a-6I解析：cos|2a，三 6（兀 兀、2 a+ 3 2 厂-尸 sinRa+3户 sin 2 （计6 =因为a为锐角,sin+6卜5，所以* a+*3，故cosa+6 = 5,所以 C0S2-6 卜 2xi乂424人=_525.答案:24252 .若。后,0吟,sin号4=5,cos百3=255,则cosw一“j的值为解析:由题

18、易知一6；“;,32-；一看所以cos弓cos/_=525.题点技巧（七）三角换元妙解最值解题技法一一学一招解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化,这种方法叫换元法.换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化隐含关系为显性关系等，在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用.22典例（2018湖北荆少M质检）设P为曲线Ci：X+1=1上一点，Q为直线C2：x-V2y5=0上一点，则|PQ|的最小值为解析 设P（242cos2sin力，则点P到直线C2的距离d=|2 ,2cos a 2.2sin a- 5|1+2（G4co

19、s a+ 4 厂 535 4cos, a+技法领悟可转化为椭圆上椭圆和圆上的两个动点或椭圆和直线上两个动点之间距离的最值问题,的点到圆心的距离或椭圆上的点到直线的距离的最值问题，利用点到直线的距离公式，结合正、余弦函数的有界性或二次函数求解即可.经典好题一一练一手1 .(2019届高三海南八校联考)函数f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx,C的最小值是.解析：f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx=(sinx+cosx)2+sinx+cosx1,令sinx+cosx=t,则t=72sin3+4I,.x-4,41x+je0,2LRwtw也，.原函数可化为g(t)=t2+t1

20、(0wtwg).函数g(t)=t2+t1的图象开口向上，其对称轴的方程为t=-2,当0wtwO2时，g(t)单调递增.当t=0时，g(t)取得最小值一1.答案：122 .设P,Q分别为圆x2+(y6)2=2和椭圆Xo+y2=1上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则|QF“+|QP|+|QF2|的最大值为.解析：由椭圆定义知|QF+|QF2|=2a=2匹，则|QF+|QP|+|QF2|=2历十|QP|.又圆9 sin a+-50 .因为一心C(0,6),半径r=2,设椭圆上一点Q的坐标为(师cos%sina)(”为参数)，则|CQ|=*J(V10cos(sina-62=9sin2a-12sina

21、+46=一一2一，10),贝Ub=7k,c=8k,由余弦定理可得25k2+64k2-49k21cosB=2x5kx8k=2所以B=60.2K5kK8k2答案60技法领悟本题是一道关于解三角形的题目，熟练掌握三角形重心性质的向量表达式以及余弦定理是解答此题的关键.经典好题一一练一手，.、.，一、，-.21 .在ABC中，AB=BC=2,AC=3,设G是ABC的内心，若AG=mAB+nAC,则m的值为.n一-解析：AG=mAB+nAC,.AG=m(GB-GA)+n(GC-GA),(1-m-n)GA+mGB+nGC=0,9是9BC的内心，由三角形内心的性质，得2GA+3GB+2GC=0,m=3n2.

22、答案：32 .已知ABC的外心、垂心分别为O,H.若OH=m(OA+OB+8C)，则m=.解析：如图，连接BO并延长交ABC的外接圆于点E,连接EA,EC,HA,HC,因为H是AABC的垂心，所以AH1BC,又BE为。O的直径，所以EC1BC,所以AH/EC,同理可证CHIEA,所以四边形AHCE为平行四边形，故OH=OA+AH=OA+EC=OA+OCOE=OA+OB+OC,又滞=m(OA+OB+8C),所以m=1.答案：1常用结论一一记一番1 .三角形三边中线的交点叫三角形的重心，它到三角形顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.三角形重心性质的向量表达式：点O是ABC的重心？OA+8B+OC=

23、0.2 .三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.三角形外心性质的向量表达式：点O是4ABC的外心？18A|=|OB|=rOC|或OA2=Ob2=oc2.3 .三角形的三个内角平分线的交点叫三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.三角形内心性质的向量表达式：点O是4ABC的内心？a8A+bQB+cOC=0（a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对白边）.4 .三角形三边上的高的交点，叫三角形的垂心，它与顶点的连线垂直于对边.三角形垂心性质的向量表达式：点O是4ABC的垂心？OA8B=OBQC=OC8A.题点技巧（

24、九）巧妙建系妙解向量解题技法一一学一招平面向量作为高考必考内容，常以选择题或填空题的形式出现，而且具有一定难度，若采取建立坐标系的方法，则可在很大程度上降低解题难度坐标法是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点的坐标表不出来，向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题（平行、垂直、夹角、模郡可以套用相应的公式解决.如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，均可尝试用坐标法解决问题1典例在平面上，已知AB11AB2,|OB1|=|OB2|=1,ap=AB1+AB2,若|OP|2,则|OA|的取值范围是（）A.0,15C噌,2B.

25、D.解析连接PBi,PB2,由AB1UB2,AP=ABi+AB2,得四边形AB1PB2为矩形，故以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，且PBiX轴，PB2/y轴，设Bi(xi,yi),B2(X2,y2),则x2+y2=1,x2+y2=1,A(xi,y2),P(x2,yi),又|OP|=X2+yi,.兀一1.非直角ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=1,C=%.若sinC315 B.-4+sin(A-B)=3sin2B,则ABC的面积为()153.433D.28解析：选D因为sinC+sin(AB)=sin(A+B)+sin(AB)=2sinAcosB=6sinBcos

26、B,因为ABC非直角三角形，所以cosBw。，所以sinA=3sinB,即a=3b.又c=1,C=：,由余弦定理得a2+b2ab=1,结合a=3b,可得b2=7,所以S=2absinC=2b2sin3=3283.故选D.4.2.如图所示，圆内接四边形ABCD中，BC=6, AB = 4, AD = 2CD =(1)求圆的半径R;(2)若点P在圆周上运动，求四边形 APCD面积的最大值.解：(1)因为四边形ABCD内接于圆,所以/ABC+ZADC=180.连接AC(图略)，因为BC=6,AB=4,AD=4,CD=2,由余弦定理可得AC2=42+62-2X4X6cosZABC=42+222X4X2

27、cos(180-/ABC),一一1解得coszABC=2,因为0ZABC2xyxy=xy,所以xyw28,当且仅当x=y时取等号，所以S四边形APCD=2V3+3xy2,nCN*),则数列an的通项公式an解析由an=2ani+1(n2,nCN*)得，an+t=2(ani+t)(n2),所以2t1=1,解an+1得t=1,所以an+1=2(an1+1)(n2),所以=2,又aI+1=2,所以an+1是以2an1+1为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2n,所以an=2n-1.答案2n-1技法领悟形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数，pq(p-1)w0)的递推公式，先用待定系数法把

28、原递推公式转化为an+1+t=p(an+t),其中t=一q一,再转化为等比数列求解.P-1经典好题一一练一手1.已知数列an中，a1=1,an+1=2nan(nN),则数列an的通项公式为(A.an=2n1.n/n-1C.an=2七一JBan=2n2nD.an=2-2解析：选C因为an+1=2nan,所以an*1=2n,所以这图a4ana1a2a3-=21X22X23X-X2nan-1-(n2),即篝，”忆2丁,所以an=2n-1aTn,故选C.a12222.在数列an中，a1=1,(n2+2n)(an1-an)=1(nN),则数列an的通项公式an=21111-J1Il牛析：由(n+2n)(

29、an+1an)=1得an+1an=2=2*nn+2卜所以a2a1=?_1x(1_n_1ii_nX13a3a2=25-4,an1an2=2中一2nanan1=2w1n+1)1.1_L1所以an=(anani)+(an1-an2)+(a3a2)+(改一a0+a1=2x+2口+1nl+172n+1-42n(n+1)答案:72n+1一42n(n+1)常用结论一一记一番等差(比)数列的重要结论(1)数列an是等差数列？数列can是等比数列；数列an是等比数列，则数列loga|an|是等差数列.(2)an,bn是等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，若40,则普=Sm1.bmT2m1(3)首项为正(或

30、为负)递减(或递增)的等差数列前n项和最大(或最小)问题转化为解不等式?n0或!an0，也可化为二次型函数Sn=An2+Bn来分析，注意nCN*.|an+10XJ(4)等差(比)数列中，Sm,S2m-Sm,S3mS2m,(各项均不为0)仍是等差(比)数列.题点技巧(十二)掌握规律巧妙求和解题技法学一招求数列的前n项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法.(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消.(3)错位相减法：若an为等差数列，bn为等比数列，则对于数列anbn的前n项和可用错位相减法.(4)倒序相加法：如果一个数列a

31、n与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法.(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列.典例(2018东北三省三校第二次联考)已知数列an满足a1=3,an+=2ann+1,数列bn满足b1=2,bn1=bn+an-n,nCN.(1)证明：ann为等比数列；(2)数列cn满足Cn =an- n(bn+1 我 1+1 y求数列Cn的前n项和Tn.解(1)证明：因为an+1=2an_n+1,所以an+1(n+1)=2(ann).又a1=3,所以a1-1=2,所以数列ann是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知，ann=22n1

32、=2n.所以bn+1=bn+ann=bn+2n,即bn+1bn=2n.b2b1=21,b3b2=22,b4一b3=23,bn-bn1=2n1.2，12以上式子相加，得bn=2+)=2(n2).1-2当n=1时，bi=2,满足bn=2n,所以bn=2n.所以Cn=11*n*n 1.2+1 2+1ann2n(bn+1Jbn+i+1)(2n+1jf2n1+1)112n1.所以Tn=-一2+12+12+1技法领悟求解此类题需掌握三个技巧：一是巧拆分，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的和，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即

33、根据差式的特征进行准确求和.经典好题一一练一手1.在等差数列an中，a2=2,a3+a5=8,在数列bn中，加=2,其前n项和Sn满足bn1=Sn+2(nCN)(1)求数列an,bn的通项公式；(2)设Cn=an,求数列Cn的前n项和Tn.bn解：(1)设等差数列an的公差为d.右2=2,a3+a5=8,a1+d=2,2a1+6d=8,解得a1=1,d=1,.an=n.bn+1=Sn+2(nN*),bn=Sn1+2(nN*,n2),得，bn+1bn=SnSn1=bn(nCN*,n2),.bn+1=2bn(nCN*,n2).b1=2,b2=2+2=2b1,.bn是以2为首项，2为公比的等比数列，

34、bn=2n.ann123n1,n(2)01=m=可，则Tn=2+22+23+2T+?1，l=1_123nT+ 3,2n+ 1-得，1T n= 1 + /+1 n2n2n7i1-211-2n 2+n2n+1= 1 2n+1 则2入=2?+T+了+n+2Tn=22n2.已知等差数列an的前n项和为Sn,且?足4=24,S=63.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn=2an+(1)nan,求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d,解得a1 = 3,d= 2,，4X37X6由题知/n+ 1 Vn；-_、,，_、.，一,anan1a2(3)an=(anan1)+(an1an2)+

35、(a2a1)+a1=a,an1an2a11(4)n(n+1)=n(n+1)(n+2)(n1)n(n+1);3(5)1-Jn(n+1j(n+2)2j(n+1)(n+1jn+2)2(6)2dr+12n+1 .题点技巧(十三)求得通项何愁放缩解题技法一一学一招数列与不等式的综合是高考的难点，其难点往往在于递推式的合理变形与放缩，举例说明数列的放缩.典例设数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=an+2n+1+1(nCN*),且a1，a?+5,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切正整数n,有+,+3.a1a2an2解(1)由2Sn=an+120+1+1,得2Sn+1=an+2-

36、2n+2+1,两式相减得an+2=3an+1+2n+12S1=a23?a2=2a1+3,a3=3a2+4=6a1+13,a1,a2+5,a3成等差数列？a1+a3=2(a2+5)?a1=1.an+1=3an+2n?an+1+2n+1=3(an+2n),数列an+2n为首项是3,公比是3的等比数列.则an+2n=3n,nnan=32.(2)证明：当n=1时,7=13,a12. + 1+a1a21 J_ 32- 2n2时，i|In!?2?3n2X2n?an2n?：$.1.111.0,将函数f(x)的零点按从小到大依次排成一列，得到数列an,nCN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记 bn =2

37、an + 1,设数列bn的前n项和为1 册，求证：Tn0,.一兀兀令f(x)=0,得2x=2+kTtkeN),解得x=1+2k(kN),所以an=2n-1,nCN.故数列an的通项公式为an=2n1,nCN.(2)证明：由(1)可知bn=12an+111 1(2n+1 j 4n2+4n 4n(n+1)1-O4 n n+1)4x 1所以Tn=b1+b2+bn1n+12(n+1-1)k=1ak解：(1)(ak+1ak+2)2=(a1a2)(a6k+1a6k+2),将已知代入得(k+2)2=2(6k+2),解得k=8.(2)证明：由题意知a2=2,an0,nCN.当n=1时，1=12(V2-1),命

38、题成立.当n2时，由an+1an=n+1得anan-1=n,所以an(On+1an1)=1,=an+1an1.从而有 Z+ Z (ak+ 1 ak-1)=an+ l+anak ai k_1k_ 22, 2jan+ian - 2 = 2(yJn-1 _1)常用结论一一记一番几种常见放缩形式:11n1n11111(2)7n2-1=2ln-nTlJ；舟=22n1T七I)(4)1 2n 2n + 11=1 2n+2114n 1 4n + 311(n+23/n -Vn 10,典例已知实数x,y满足约束条件ix+y-40,则z=|x+2y4|的最大值为x-y-5 0,表木的平面区域(如图中阴影部分所示)及直线x+2y4=0,可知点A(7,9)到直线 x+ 2y-4=0 的距离最大，所以最优解为(7,9),将最优解(7,9)代入目标函数z= |x+ 2y- 4|可得目标函数的最大值为21.(x,y)到直线x+2y4=0的距离的乖倍，作出线性约束条件答案21技法领悟形如 z = |Ax + By +C|的目标函数，可变换为a2+b2z1A2+B22 |Ax+By+ C|+ B2 ；2+ B2,联想点到直线的距离公式即可