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1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761176.1 定积分的元素法6.2 定积分在几何学上的应用(一)授课次序36教 学 基 本 指 标教学课题6. 1 定积分的元素法6.2 定积分在几何学上的应用(一)教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点定积分的元素法定积分在几何学上的应用教学难点面积公式参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学函数：function；定积分：definite integral课堂教学目标1 掌握定积分的元素法；2 掌握用定积分表达和计算平面图形的
2、面积的公式教学过程1定积分的元素法（25min）；2用定积分表达和计算平面图形的面积（65min）教 学 基 本 内 容第六章 定积分的应用6. 1 定积分的元素法 再看曲边梯形的面积: 设y=f (x)0 (xa, b). 如果说积分,是以a, b为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数就是以a, x为底的曲边梯形的面积. 而微分dA(x)=f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DAf (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以a, b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间的定积分: . 一般情况下, 为求某一量
3、U, 先将此量分布在某一区间a, b上, 分布在a, x上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间求定积分即得. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为 . 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为
4、 . 例1 计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间: 0, 1. (3)确定上下曲线: . (4)计算积分 . 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间: -2, 4. (3)确定左右曲线: . (4)计算积分. 例3 求椭圆所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为0, a. 因为面积元素为ydx, 所以.椭圆的参数方程为:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素: 由曲线r=j(q)及射线q =a, q =b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为. 曲边扇形的面积为. 例4. 计算阿基米德螺线r=aq (a 0)上相应于q从0变到2p 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解: . 例5. 计算心形线r=a(1+cosq ) (a0) 所围成的图形的面积. 解: . 备注栏教学后记6. 1 定积分的元素法 6.2 定积分在几何学上的应用(一) 第 3 页 共 3 页
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